從簡(jiǎn)單開(kāi)始，逐步抽象概括
——《表面涂色的正方體》教學(xué)實(shí)錄

翟運(yùn)勝（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第26～27頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、情境引入，誘發(fā)問(wèn)題

師：媽媽做了一塊正方體形狀的面包，把面包的表面涂滿(mǎn)果醬，然后把這塊面包棱長(zhǎng)三等分，這樣這塊面包被分成了多少份呢？

生：3×3×3=27（份）。

師：大寶非常喜歡吃果醬，你認(rèn)為它會(huì)選擇哪一塊？為什么呢？

生：大寶會(huì)選頂點(diǎn)處的那一塊。因?yàn)檫@一塊上有三面是涂有果醬的。

師：二寶比較喜歡吃果醬，那么他會(huì)選擇哪一塊呢？

生：棱上的，因?yàn)槔馍系男≌襟w面包兩面沾有果醬。

師：三寶只要沾一點(diǎn)果醬的面包就可以了，他會(huì)選擇哪一塊呢？

生：三寶會(huì)選擇中間的那塊，因?yàn)檫@樣的一塊只有一面沾有果醬。

師：如果我們把這塊面包當(dāng)作正方體來(lái)思考，這就是我們今天要學(xué)的“表面涂色的正方體”，站在數(shù)學(xué)的角度，你想提出什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生：如果是表面涂色的正方體，像這樣，棱被3等分后，三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)呢？

二、從簡(jiǎn)單開(kāi)始，逐步歸納規(guī)律

1.探索棱3等分的正方體中各種涂色小正方體的個(gè)數(shù)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)三面涂色有幾個(gè)？你是怎樣數(shù)的呢？

生：8個(gè)，按頂點(diǎn)數(shù)的。

師：你發(fā)現(xiàn)這8個(gè)三面涂色的小正方體有什么相同的地方嗎？

生：這8個(gè)三面涂色的小正方體都在頂點(diǎn)處。

師：為什么三面涂色的都在頂點(diǎn)處呢？

師：頂點(diǎn)是正方體三條棱相交的點(diǎn)，每?jī)蓷l棱呢？

生：每?jī)蓷l棱組成了一個(gè)面，所以三面涂色的都在頂點(diǎn)處。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)兩面涂色的正方體有多少個(gè)？說(shuō)一說(shuō)你是怎樣數(shù)的呢？

生：一條棱上有1個(gè)兩面涂色的，一共有12條棱，所以就是12個(gè)。

師：為什么兩面涂色都在棱上呢?

生：因?yàn)閮蓚€(gè)面相交成了棱。

師：一面涂色的小正方體有多少個(gè)呢？

生：一面涂色的小正方體在每個(gè)面的正中間。一共有6個(gè)面。所以有6個(gè)一面涂色的。

2.探索棱4等分、5等分、6等分的正方體中各種涂色小正方體的個(gè)數(shù)。

師：如果棱4等分，那么各種涂色的小正方體又各有多少個(gè)呢？

（根據(jù)學(xué)生的回答相機(jī)出示下圖）

師：如果現(xiàn)在棱5等分,三面涂色的小正方體是多少個(gè)，兩面涂色的呢？一面涂色的呢？（示意圖略）

師：如果把棱6等分，三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體各有多少呢？（示意圖略）

（根據(jù)學(xué)生回答填寫(xiě)下表）

棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分棱平均分的份數(shù) 3 4 5 6小正方體的個(gè)數(shù) 27 64 125 216 3面涂色的個(gè)數(shù) 8 8 8 8 2 面涂色的個(gè)數(shù) 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1 面涂色的個(gè)數(shù) 1×16=16 4×6=24 9×6=54 16×6=96

三、比較歸納，概括規(guī)律

師：對(duì)照這些數(shù)據(jù)和我們思考的過(guò)程，你有什么想法？

三面涂色兩面涂色一面涂色棱2等分8 0×12=0 0×6=0棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分8 8 8 8 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1×6=6 4×6=24 9×6=54 16×6=96

師：讓我們來(lái)觀(guān)察三面涂色的情況，如果棱被n等分，三面涂色有多少個(gè)呢？

生：三面涂色有8個(gè)。

師：讓我們觀(guān)察兩面涂色的情況，如果棱被n等分，兩面涂色是多少個(gè)呢？你能用一個(gè)式子表示出來(lái)嗎？

生：（n-2）×12。

師：為什么可以這樣表示呢？

出示課件，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察思考下面兩個(gè)問(wèn)題：

（1）每條棱有（ ）個(gè)2面涂色的小正方體。

（2）12條棱有（ ）個(gè)2面涂色的小正方體。

師：讓我們來(lái)觀(guān)察一面涂色的情況，如果棱被n等分，一面涂色有多少個(gè)呢？你能用一個(gè)式子表示出來(lái)嗎？

生：大正方體一面上有（n-2）×（n-2）個(gè)一面涂色的小正方體，6個(gè)面上就有 6×（n-2）×（n-2）。

師：為什么可以這樣表示呢？

出示課件，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察思考下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）每個(gè)面有（ ）個(gè)1面涂色的小正方體。（2）6個(gè)面有（ ）個(gè)1面涂色的小正方體。

教師組織學(xué)生總結(jié)：

每條棱等分?jǐn)?shù) 三面涂色數(shù) 兩面涂色數(shù) 一面涂色數(shù)n 8 （n-2）×12 6（n-2）(n-2）

師：當(dāng)n=20時(shí),三面涂色的小正方體有多少個(gè)，兩面涂色的小正方體有多少個(gè)，一面涂色的小正方體有多少個(gè)呢？

生：三面涂色的小正方體有8個(gè)，兩面涂色的小正方體有216個(gè)，一面涂色的小正方體有1944個(gè)。

四、運(yùn)用規(guī)律，拓展規(guī)律

師：我們知道了棱20等分后，三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)，那么沒(méi)有涂色的小正方體有多少個(gè)呢？

生：20×20×20=8000（個(gè)），8000-8-216-1944＝5832個(gè)）。

師：沒(méi)有涂色的小正方體有多少個(gè)，如果這樣去求的話(huà)，是不是很麻煩，那么我們能不能也總結(jié)出相應(yīng)的規(guī)律呢？回憶剛才的過(guò)程，我們是怎樣找到不同涂色小正體的個(gè)數(shù)與大正方體棱的等分?jǐn)?shù)之間關(guān)系的呢？

生：先從棱3等分開(kāi)始，再到4等分、5等分，看沒(méi)有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)與棱的等分?jǐn)?shù)有什么關(guān)系。

師：從簡(jiǎn)單開(kāi)始，找出規(guī)律，找到了關(guān)系，就可以通過(guò)計(jì)算來(lái)解決了。

師：讓我們剖開(kāi)正方體的內(nèi)部，觀(guān)察這些沒(méi)有涂色的小正方體個(gè)數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？

師：正方體內(nèi)部表面沒(méi)有涂色的小正方體個(gè)數(shù)怎樣被數(shù)出來(lái)呢？如果棱長(zhǎng)等分成n等分呢？

棱平均分的份數(shù) 3 4 5 n沒(méi)有涂色的個(gè)數(shù) 13 23 33 （n-2）3

師：這個(gè)規(guī)律對(duì)不對(duì)呢？讓我們來(lái)驗(yàn)證一下。當(dāng)正方體的棱被20等分，我們已經(jīng)求出表面沒(méi)有涂色的正方體有5832個(gè)，那么等于多少呢？大家計(jì)算一下。

生：真的等于5832個(gè)。

師：這說(shuō)明我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律是正確的。