類歐拉方程的解法探討

徐一調(diào)

【摘要】本文從歐拉方程的特征出發(fā)定義了類歐拉方程的相關(guān)概念，并使其盡量得以簡(jiǎn)化，最后給出齊次與非齊次方程解的形式，具有一定的創(chuàng)造性.

【關(guān)鍵詞】歐拉方程；類歐拉方程；重根因子；齊次與非齊次

已知形狀為xndnydxn+a1xn-1dn-1ydxn-1+…+an-1xdydx+any=0的方程稱為歐拉方程.（這里a1，a2，…，an-1，an為常系數(shù)）.引進(jìn)自變量的變換x=et之后歐拉方程可變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊次線性微分方程

dnydtn+b1dn-1ydtn-1+…+bny=0.（1）

而變形后的微分方程有形如y=eλt的解，從而歐拉方程有形如y=xλ的解.代入歐拉方程之后便可得到確定λ的代數(shù)方程λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an=0.（2）

此方程亦為（1）的特征方程.若特征方程的m重特征根為λ=α+iβ，對(duì)應(yīng)于歐拉方程的2m個(gè)實(shí)數(shù)解為

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnm-1|x|cos（βln|x|），

xαsin（βln|x|），xαln|x|sin（βln|x|），…，xαlnm-1|x|sin（βln|x|）.

事實(shí)上，當(dāng)β=0的時(shí)候，λ為實(shí)數(shù)，以上解的形式仍適用（下文給出的齊次與非齊次方程解的形式均可體現(xiàn)這點(diǎn)）.上述為歐拉方程的形式以及解的討論.

當(dāng)方程的形式為xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+

an-1xddx+anky=0時(shí)，我們稱其為類歐拉方程，其中k（k∈N）稱為重根因子或放大倍數(shù).為探究其解的形式，我們不妨從較為簡(jiǎn)單的n=2，k=2入手，研究解方程的過(guò)程從而推廣到任意情形中去.

首先考察方程x2d2dx2+xddx-42y=0，仍設(shè)y=xλ并代入方程中，有

x2d2dx2+xddx-4x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

x2d2dx2+xddx-4[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）x2d2dx2+xddx-4xλ=0，

（λ2-4）[λ（λ-1）xλ+λxλ-4xλ]=0，

（λ2-4）2xλ=0.

從而λ1，2=2，λ3，4=-2.

此方程的解為y=c1x2+c2x2ln|x|+c3x-2+c4x-2ln|x|.我們不難發(fā)現(xiàn)，（λ2-2）2xλ=0這一等式中，λ2-4來(lái)自于特征方程（2）中，而指數(shù)2則來(lái)自于所考察方程的2次運(yùn)算（而不能說(shuō)2是指數(shù)，應(yīng)注意2的含義），通過(guò)與歐拉方程進(jìn)行比較，考察方程多出了兩個(gè)二重根，這正是2次運(yùn)算的影響，實(shí)際上也是重根因子k的影響.從而我們由此推廣可以得到將y=xλ代入類歐拉方程之后的代數(shù)方程：

[λ（λ-1）…（λ-n+1）+a1λ（λ-1）…（λ-n+2）+…+an]kxλ=0.（3）

實(shí)際上，上面方程仍可以化簡(jiǎn)為：

（Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an）kxλ=0.

令R=Anλ+a1An-1λ+a2An-2λ+…+an=∑ni=0aiAn-iλ，并稱為歐拉因子.其中a0=1，Anλ=λ（λ-1）…（λ-n+1），

則最終化簡(jiǎn)為Rkxλ=0.（4）

事實(shí)上，（3）（4）式的得出完全可以由y=xλ代入類歐拉方程經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)后得出而不依賴于考察方程的類比.

在考慮重根因子（放大倍數(shù)）之后的解的形式（若（4）式的km重根為λ=α+iβ）為

xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|），xαcos（βln|x|），xαln|x|cos（βln|x|），…，xαlnkm-1|x|cos（βln|x|）.下面繼續(xù)研究它對(duì)應(yīng)的非齊次方程.

對(duì)于方程xndndxn+a1xn-1dn-1dxn-1+…+an-1xddx+anky=f（x），其中f（x）≠0.我們稱之為類歐拉常系數(shù)非齊次方程.考慮到較為一般情形，設(shè)f（x）=Pn（x）eαx（acosβx+bsinβx）.

①若α±iβ不是特征根，特解的形式為

Q（1）n（t）e（α+iβ）t+Q（2）n（t）e（α-iβ）t，

即為Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ.

②若α±iβ是特征根，且為mk重根（m∈N，k為重根因子），其特解形式為

[Q（1）n（ln|x|）xα+iβ+Q（2）n（ln|x|）xα-iβ]lnmk|x|.

其中Pn（x），Q（1）n（t），Q（2）n（t），Q（1）n（ln|x|），Q（2）n（ln|x|）均為x（或t或ln|x|）最高次冪不超過(guò)n次的多項(xiàng)式.

不難看出，類歐拉方程在非齊次方程以及對(duì)應(yīng)的齊次方程的解的形式比歐拉方程更具有推廣意義.因?yàn)楫?dāng)k=1時(shí)類歐拉方程退化為歐拉方程，其齊次與非齊次方程解的形式完全適用.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]李忠，周健瑩.高等數(shù)學(xué)下冊(cè)（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009：192.