Ceva定理在線共點(diǎn)問(wèn)題上的應(yīng)用

焦晶晶

【摘要】本文利用向量法和坐標(biāo)法證明Ceva定理，并進(jìn)一步推廣，使其也適用于過(guò)三角形三頂點(diǎn)的三線交點(diǎn)在三角形外這種情況，并且予以證明，最后我們利用Ceva定理解決三線共點(diǎn)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】Ceva定理；向量法；坐標(biāo)法；線共點(diǎn)

一、引言

線共點(diǎn)問(wèn)題在解析幾何中是比較常見(jiàn)，也是比較難的一類問(wèn)題，對(duì)于解決這類問(wèn)題的方法有很多種，例如向量法、坐標(biāo)法、解析法等等.本文介紹另外一種方法——應(yīng)用Ceva定理來(lái)證明.

Ceva定理是由意大利水利工程師、數(shù)學(xué)家Giovanni Ceva提出的，并且于1678年發(fā)表在《直線論》中.Ceva定理是關(guān)于過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的三條直線位置關(guān)系的一個(gè)定理，它在證明三線共點(diǎn)方面有著非常重要是作用，尤其是應(yīng)用在關(guān)于三角形中三條中線共點(diǎn)、三條高共點(diǎn)等問(wèn)題上是非常簡(jiǎn)單方便的.雖然在解析幾何中沒(méi)有介紹，但是我們做題或看一些資料的時(shí)候會(huì)有所接觸，因此本文就此定理和他的應(yīng)用做一簡(jiǎn)單的介紹.

我們?cè)谧C明Ceva定理時(shí)需要用到下面的定理：

定理在平面上三條直li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）共點(diǎn)的充要條件是A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0.

二、Ceva定理

Ceva定理：如圖1，在△ABC的三邊AB，BC，CA上有三點(diǎn)P，Q，R，使得APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，則AQ，BR，CP三線共點(diǎn)的充要條件是λμγ=1.

這里要注意一下Ceva定理中的線段為有向.

分析Ceva定理內(nèi)容是關(guān)于三線共點(diǎn)的，而證明三線共點(diǎn)方法有很多種，比如先設(shè)兩線交與一點(diǎn)再證第三條直線過(guò)其交點(diǎn)，或證三條直線都過(guò)共同的一點(diǎn)或利用向量法來(lái)證明等等.在這里我們利用向量法和坐標(biāo)法來(lái)證，首先看向量法，我們讓AQ，BR兩條直線交于一點(diǎn)O1，讓AQ，CP兩條直線交于一點(diǎn)O2，證明O1，O2兩點(diǎn)重合即AO1=AO2.其次對(duì)于坐標(biāo)法，我們把平面上的線共點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在放射坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、直線度方程的計(jì)算問(wèn)題.對(duì)于這兩種方法來(lái)說(shuō)，第二種方法思路簡(jiǎn)潔，方法直觀，學(xué)生更容易掌握.下面我們就用這種兩種方法來(lái)證明.

證明方法一：

設(shè)AQ，BR交于點(diǎn)O1，AQ，CP交于點(diǎn)O2，AB=e1，AC=e2，并且由條可知λ，γ，μ都不為-1，

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，BQ=μμ+1BC，CR=γγ+1CA.

∵AO1=nAQ=nAB+BQ=n（AB+μμ+1BC）

=n[AB+μμ+1（AC-AB）]=nμ+1AB+nμμ+1AC，BO1

=mBR=m（BC+CR）=mAC-AB+γγ+1CA

=mγ+1AC-mAB.

又∵AB=AO1+O1B，

∴AB=nμ+1AB+nμμ+1AC-mγ+1AC+mAB.

即nμ+1+m-1AB+（nμμ+1-mγ+1）AC=0.

由于AB，AC不共線，

所以nμ+1+m-1=0nμμ+1-mγ+1=0，解得n=μ+1μ+1+μrm=μ+μγμ+1+μγ，

∴AO1=1μ+1+μγAB+μμ+1+μγAC.

同理可知AO2=pμ+1AB+pμμ+1AC，

CO2=λqλ+1AB-qAC.

∵AC=AO2+O2C，

∴AC=pμ+1AB+pμμ+1AC-λqλ+1AB+qAC，

即pμ+1-λpλ+1AB+pμμ+1+q-1AC=0.

由于AB，AC不共線，

所以pμμ+1+q-1=0pμ+1-λqλ+1=0，解得q=λ+1λ+1+λμp=λ+λμλ+1+λμ，

∴AO2=λλ+1+λμAB+λμλ+1+λμAC.

若AQ，BR，CP三線交于一點(diǎn)時(shí)，則AO1=AO2，

即λλ+1+λμ=1μ+1+μγλμλ+1+λμ=μμ+1+μγ.

可得λμγ=1；

若當(dāng)λμγ=1時(shí)，可得到AO1=AO2，則AQ，BR，CP三線交于一點(diǎn)因此，AQ，BR，CP線共點(diǎn)λμγ=1.定理得證.

方法二：建立放射坐標(biāo)系{A；AB，AC}，

則A（0，0），B（1，0），C（0，1），

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，AR=1γ+1AC，BQ=μμ+1BC，

∴AP=AB+BQ=AB+μμ+1BC=AB+μμ+1（AC-AB）=1μ+1AB+μμ+1AC，

∴Pλλ+1，0，Q1μ+1，μμ+1，R0，1γ+1，

即線段AQ，BR，CP所在直線方程分別為：μx-y=0；x+（γ+1）y-1=0；（λ+1）x+λy-λ=0.

∴μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=-λμ（γ+1）+λ+1+λμ-λ=-λμγ+1.

由定理1可知，若AQ，BR，CP三線共點(diǎn)，

即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，則λμγ=1；

若λμγ=1，即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，則AQ，BR，CP三線共點(diǎn).

因此，AQ，BR，CP三線共點(diǎn)λμγ=1.定理證畢.

三、Ceva定理的推廣

Ceva定理只是研究了O點(diǎn)在三角形內(nèi)的任意位置，卻沒(méi)有研究O點(diǎn)在三角形三邊所在直線上、三角形外且不在三邊所在直線上的這兩種情況.

下面就這兩種情況，我們進(jìn)行討論.

首先，我們討論交點(diǎn)在三角形外且不在三邊所在直線上的情況.

命題1如圖2，在△ABC外取一點(diǎn)O，O點(diǎn)不在三邊的延長(zhǎng)線上，連接AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，則λμγ=1.

證明建立仿射坐標(biāo)系{A；AB，AC}，

則A（0，0），B（1，0），C（0，1），

因?yàn)锽DDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，

所以AE=1μ+1AC，AF=γγ-1AB，

AD=AB+BD=AB+λλ-1BC=AB+λλ-1（AC-AB）=-1λ-1AB+λλ-1AC，

即D-1λ-1，λλ-1，E0，1μ+1，F(xiàn)γγ-1，0，

那么，線段AD，BE，CF所在直線方程分別為：λx+y=0，x+（μ+1）y-1=0，（γ-1）x+γy-γ=0.

因?yàn)锳D，BE，CF三線交于O點(diǎn)，由定理1可知

λ101μ+1-1γ-1γ-γ=0，即λμγ=1.

由命題1可知當(dāng)交點(diǎn)在三角形外且不在三邊所在直線上時(shí)，三線交三邊線段的比例值之積等于1（如BDDC·CEEA·AFFB=1）是成立的.那么，對(duì)于它的逆命題是否成立呢？也就是說(shuō)，在△ABC的AC上取一點(diǎn)E，在BA，BC的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，連接BE、CF、AD，若λμγ=1，則BE、CF、AD三線交于一點(diǎn)，這個(gè)命題是否正確.顯然對(duì)這個(gè)命題是正確的，它的證明過(guò)程和命題1的證明過(guò)程是相似的，它利用了定理1的充分條件得到結(jié)論，我們?cè)谶@里就不再重復(fù)了.

這樣我們就得到一個(gè)定理：

定理2如圖2，在△ABC的AC上取一點(diǎn)E，在BA，BC的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，連接BE、CF、AD，則BE、CF、AD三線交于一點(diǎn)的充要條件為λμγ=1.

定理2的證明就是整合命題1和它的逆命題的證明的，在這就不詳述了.

定理2把Ceva定理進(jìn)一步的推廣了，也就是說(shuō)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的三線交點(diǎn)可以在三角形的外邊.在這里我們有一特殊情況，就是交點(diǎn)O與一頂點(diǎn)的連線平行于該頂點(diǎn)的對(duì)邊（如圖3）.那么我們就有下面一個(gè)定理.

定理3如圖3，在△ABC的AC上取一點(diǎn)E，在BA的延長(zhǎng)線取點(diǎn)F，連接CF，在CF上取一點(diǎn)O，使得AO//BC，并且CEEA=μ，AFFB=γ，則CF、BE交于點(diǎn)O的充要條件為μγ=1.

證明由于AO//BC，則AFFB=AOBC，AOBC=AEEC，

所以有AFFB=AEEC，得AFFB·CEEA=1，

即μγ=1連接BO，交AC與E′，

由于AO∥BC，則AFFB=AOBC，AOBC=AE′E′C，所以有AFFB=AE′E′C，

又由于μγ=1，即CEEA·AFFB=1，則點(diǎn)E、點(diǎn)E′重合，

即CF、BE交于點(diǎn)O.

綜合上述，CF、BE交于點(diǎn)O的充要條件為μγ=1.

其次，我們討論交點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的情況.

命題2如圖4，在△ABC的BC邊上任取一點(diǎn)O，則ACOB·COBA≠1.

證明假設(shè)ACOB·COBA=1，即COOB=BAAC，而O點(diǎn)是任取的，即O點(diǎn)在BC邊上移動(dòng)，所以COOB≠BAAC，與假設(shè)矛盾，所以結(jié)論正確.

說(shuō)明：（1）當(dāng)交點(diǎn)在三角形三邊的延長(zhǎng)線上，命題2也是正確的（如圖5）.

（2）命題2的逆命題不一定成立.

因此，由上面討論的得到的兩個(gè)命題和定理可知道，Ceva定理適用于交點(diǎn)在三角形內(nèi)或三角形外，而對(duì)于交點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的情形就不再適用了.

四、Ceva定理的應(yīng)用

前面幾節(jié)，我們對(duì)Ceva定理做了一定的了解，并對(duì)它進(jìn)行了推廣.在這一節(jié)中，我們就Ceva定理在線共點(diǎn)問(wèn)題上的應(yīng)用舉例說(shuō)明.

例1證明三角形的三中線共點(diǎn).

證明如圖6，在△ABC內(nèi)AD，BE，CF為中線，

即AFFB=1，BDDC=1，CEEA=1，所以AFFB·BDDC·CEEA=1.

由Ceva定理可知AD，BE，CF三中線交于一點(diǎn).

例2證明三角形三條高交于一點(diǎn).

證明如圖7，在△ABC內(nèi)AE，BF，CD為三角形的三條高，

由于CDAD=tgA，CDDB=tgB，AEBE=tgB，AEEC=tgC，BFCF=tgC，F(xiàn)BFA=tgA，

所以ADDB=tgBtgA，，BEEC=tgCtgB，CFFA=tgAtgC，

即ADDB·BEEC·CFFA=tgBtgA·tgCtgB·tgAtgC=1，

由Ceva定理可知三角形的三條高AE，BF，CD交于一點(diǎn).

例3證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).

證明如圖8，AN，BP，CM分別為△ABC的三條角平分線，

由角平分線的性質(zhì)可知AMMB=ACCB，BNNC=ABAC，CPPC=BCBA，

所以AMMB·BNNC·CPPC=ACCB·ABAC·BCBA=1，

由Ceva定理可知三角形的三條角平分線AN，BP，CM交于一點(diǎn).

例4證明三角形的一個(gè)角的角平線和不相鄰的兩外交的角平分線共點(diǎn).

證明如圖9，AD為△ABC中∠A的角平分線，CN，BM分別是△ABC兩外角∠MCB，∠CBN的角平分線，由角平分線定理和外角平分線定理可知ANNB=ACCB，BDDC=ABAC，MCMA=BCAB，

所以ANNB·BDDC·MCMA=ACCB·ABAC·BCAB=1，有定理2可知，AD，BM，CN三線交于一點(diǎn).

通過(guò)上面幾個(gè)例題，我們了解用Ceva定理證明三線共點(diǎn)的問(wèn)題是比較簡(jiǎn)單方便的，我們學(xué)習(xí)了Ceva定理后，就有多了一種解決三線共點(diǎn)問(wèn)題的方法.Ceva定理也有其局限性，它只適應(yīng)用平面幾何，并且是三線分別過(guò)三角形三頂點(diǎn)的這種情況，對(duì)于其他情況就不能用Ceva定理了.