函數(shù)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)初探

舒曉懿

【摘要】2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在其第二部分課程目標(biāo)中明確提出“四基”，成為2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的一大亮點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂）》擬將提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它將與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想一起構(gòu)成高中數(shù)學(xué)的“四基”.本文將探究函數(shù)中具有的函數(shù)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；活動(dòng)；經(jīng)驗(yàn)

一、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之一：研究函數(shù)問題，定義域優(yōu)先

y=f（x）是函數(shù)，y-f（x）=0是方程，分析函數(shù)或者方程首先要關(guān)注討論的對(duì)象——自變量.定義域優(yōu)先指的是研究函數(shù)問題時(shí)，首先應(yīng)明確函數(shù)的自變量是什么，其范圍是多少，是連續(xù)的還是不連續(xù)的等.

例1函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）、f（x-1）都是奇函數(shù)，則（）

A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數(shù)

解析f（x+1）、f（x-1）都是奇函數(shù)得函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）、（1，0）對(duì)稱，類比三角函數(shù)得f（x）=f（x+4），即得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，選C.

上述的解法涉及的知識(shí)點(diǎn)是圖像平移、類比三角函數(shù)性質(zhì)，從函數(shù)的角度如何求解呢？從函數(shù)的自變量與變量角度解讀，奇函數(shù)的代數(shù)特征為：自變量互為相反數(shù)，其函數(shù)值互為相反數(shù)；其幾何特征為：點(diǎn)（x，f（x））與點(diǎn)（-x，-f（x））在函數(shù)f（x）圖像上，并關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

本題另解為：f（x+3）=f[（x+2）+1]

=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）

=f[（x-2）+1]=-f[-（x-2）+1]

=-f（-x+3）

二、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之二：研究函數(shù)問題，其圖像優(yōu)先

y=f（x）是函數(shù)，y-f（x）=0是方程，其聯(lián)結(jié)的橋梁是函數(shù)圖像.函數(shù)圖像能夠直觀形象地表示函數(shù)自變量與變量關(guān)系的變化情況，生動(dòng)地表現(xiàn)出函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)，可以幫助我們理解抽象函數(shù)關(guān)系的意義，同時(shí)函數(shù)圖像又是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ)，利用函數(shù)圖像可以更好地研究函數(shù)的性質(zhì).

例2已知f（x）=13x3+（2+m）x2-x在（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1且函數(shù)y=f（x）在（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，

∴函數(shù)y=f（x）在（1，3）上存在極值點(diǎn).

生1：求出f′（x）=0的根，轉(zhuǎn)化為求不等式；

生2：由零點(diǎn)存在性定理得：f′（1）f′（3）<0；

生3：分兩類：①函數(shù)y=f（x）在（1，3）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，②函數(shù)y=f（x）在（1，3）上存在一個(gè)極值點(diǎn)；

生4：∵f′（x）=x2+（4+2m）x-1的圖像開口向上且過定點(diǎn)（0，-1）.

∴函數(shù)y=f（x）在（1，3）上只存在一個(gè)極值點(diǎn).

∴f′（1）f′（3）<0.

從解法的運(yùn)算量來說，生4的解法最優(yōu)，其根本原因是生4結(jié)合了圖像特征判定“導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)”，而生3沒有分析導(dǎo)函數(shù)的圖像，雖然對(duì)零點(diǎn)存在性定理理解較好，但陷入了復(fù)雜的分類討論.

三、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之三：研究函數(shù)問題，其性質(zhì)優(yōu)先

函數(shù)三要素可以簡(jiǎn)化為二要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則.在求解函數(shù)試題時(shí)，通過研究函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)形成整體把握有利于解題，尤其是在求解一些較難的試題時(shí)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往能找到解題的切入點(diǎn).

例3設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

先看命題者給出的解法（主要討論第二問）：

法1（2）若a>12，由于x≠0時(shí)，ex>x+1，

可得e-x>-x+1，e-x-1>-x，

所以，-2ax<2a（e-x-1），

f′（x）

∴當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）12時(shí)f（x）≥0在x≥0 上不恒成立.

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞，12.

根據(jù)高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀，這道題的一般性的思考流程應(yīng)為：求導(dǎo)函數(shù)—解f′（x）>0—討論f（x）的單調(diào)性—解f（x）min>0，本題給學(xué)生設(shè)置的障礙是不能求解f′（x）>0.怎么辦？我們認(rèn)為，不能求解f′（x）>0時(shí)，應(yīng)基于經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)而研究導(dǎo)函數(shù)f′（x）的性質(zhì).

法2令g（x）=f′（x）=ex-1-2ax，

∴g′（x）=ex-2a，由x≥0得ex≥1，

∴當(dāng)a≤12時(shí)，g′（x）≥0恒成立，

即g（x）=f′（x）=ex-1-2ax≥g（0）=0恒成立；

當(dāng)a>12時(shí)，g′（x）=ex-2a存在零點(diǎn)x=ln2a，函數(shù)g（x）=f′（x）在（0，ln2a）上為減函數(shù)，在（ln2a，+∞）上是增函數(shù)，且g（0）=0，

∴當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，g（x）=f′（x）<0，而f（0）=0，

于是存在x∈（0，ln2a）使得f（x）

即a>12時(shí)f（x）≥0在x≥0上不恒成立.

本題解法涉及了二次求導(dǎo)，高考后引起了激烈的討論，有部分教師認(rèn)為超綱，其實(shí)從研究函數(shù)性質(zhì)的角度是沒有超綱的，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)是一種通性通法.