利用圖像等式表征，增進(jìn)學(xué)生理解和倍、差倍關(guān)系應(yīng)用問題

錢滿

“和倍、差倍”問題是具有典型意義的一類數(shù)學(xué)問題，因?yàn)榇蠹叶颊J(rèn)為“比較難”，沒有進(jìn)入傳統(tǒng)教材中作為一般學(xué)習(xí)的要求，但是浙教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)的教材對(duì)兩步計(jì)算的應(yīng)用問題中的“求倍求和”問題做了重點(diǎn)的教學(xué).那么學(xué)生解決這類問題的真實(shí)情況如何？上學(xué)期我們教研組著重從畫圖法入手，借助畫圖這個(gè)“拐棍”來幫助學(xué)生提高解決和倍、差倍問題.我們發(fā)現(xiàn)，教師重視了畫圖法的教學(xué)后，學(xué)生在解決單一的和倍、差倍問題時(shí)，大部分孩子愿意通過畫圖來分析、理解題意，解決問題.這樣一來，大大提高了學(xué)生解題的正確率，也提高了學(xué)生解題、析題的能力.但是，課本P66頁整理與應(yīng)用二【2】又出現(xiàn)了用圖形推算表示和倍、差倍關(guān)系的知識(shí)，學(xué)生無法把這個(gè)知識(shí)和已經(jīng)學(xué)過的和倍、差倍關(guān)系知識(shí)聯(lián)系起來，再加上圖形推算對(duì)學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)，獨(dú)立教學(xué)，我們教得焦頭爛額，學(xué)生還是一知半解.在教學(xué)此類應(yīng)用問題時(shí)，能不能把這一塊圖像等式表征應(yīng)用問題的知識(shí)與我們的畫圖法相結(jié)合，并通過圖形等式推算解決這類問題呢？當(dāng)時(shí)因?yàn)闀r(shí)間緊，沒有深入展開研究.這學(xué)期，需要進(jìn)行應(yīng)用問題過關(guān)檢測，“和倍、差倍”問題也是其中一塊重要的內(nèi)容之一.于是，我們就重新思考了這個(gè)問題，就此我們開展了教學(xué)研究.

學(xué)生在三上已經(jīng)學(xué)習(xí)過“求倍求和、求倍求差”問題了，因此對(duì)三年級(jí)1、2兩班共84人進(jìn)行了一次測試，測試題如下：

1.看圖列式計(jì)算

①②

2.解決問題

①大客車有7輛，小轎車的輛數(shù)是大客車的7倍，大客車和小轎車一共有多少輛？大客車比小轎車少多少輛？

②大客車和小轎車一共有56輛，小轎車的輛數(shù)是大客車的7倍，大客車和小轎車各有多少輛？

③小轎車比大客車多42輛，小轎車的輛數(shù)是大客車的7倍，大客車和小轎車各有多少輛？

3.求各圖形所表示的數(shù)

①☆×3+☆×5=216②△×7-△×2=120

③○=3×□○+□=240

學(xué)生獨(dú)立完成測試題后，我們對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析：

123

①②①②③①②③

正確人數(shù)5546763935707449

正確率65.5%54.8%90.5%51.2%41.6%83.3%88.1%58.3%

從以上表格中我們可以看出，“和倍、差倍”問題以線段圖的形式出現(xiàn)比較有利于學(xué)生解題，同時(shí)也明晰了倍數(shù)與份數(shù)，份數(shù)與具體量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.但同樣的題，只有純文字，沒有呈現(xiàn)線段圖時(shí)，一半左右的學(xué)生能將這類問題轉(zhuǎn)化成圖，利用圖來幫助解題，但也有一部分學(xué)生對(duì)于將文字應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成圖還存在一定的困難，還需要我們加強(qiáng)引導(dǎo).另外我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于圖形等式推算掌握還是比較理想的，特別是①、②兩題.第③題的錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在代入這個(gè)環(huán)節(jié)，有部分學(xué)生一時(shí)想不到.用圖像等式表征應(yīng)用問題的數(shù)量關(guān)系，并通過圖形等式推算解決這類問題時(shí)，圖形等式推算方法的學(xué)習(xí)與技能訓(xùn)練是一個(gè)重要基礎(chǔ).

在后續(xù)的訪談中，一部分學(xué)生覺得這類題目還是有些難度，問他們這些題是否是同類題時(shí)，學(xué)生的回答不確定居多，可見在學(xué)生的思維里還沒有成功建構(gòu)“和倍、差倍”問題的模型，有待我們加強(qiáng)訓(xùn)練.針對(duì)這些問題，我們展開了課堂教學(xué)研究.

教學(xué)預(yù)案

在○里填運(yùn)算符號(hào)：

★÷=15÷=20

★=○15=○20

一、初識(shí)“和倍、差倍”問題

1.建構(gòu)模型

①獨(dú)立完成，并觀察特點(diǎn).

你能說說兩個(gè)圖形之間的關(guān)系嗎？（引導(dǎo)學(xué)生用誰是誰的幾倍來表示數(shù)量之間的關(guān)系.）

②總結(jié)：這樣的等式能告訴我們兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系.

2.模型應(yīng)用

①獨(dú)立思考并解題：

□×6+□=315

☆×6-☆=315

你能解決這樣的圖形等式嗎？說說你是怎么解答的？

②出示：△+○=504

現(xiàn)在你能解決這一題嗎？等式的兩個(gè)部分還能合并嗎？為什么？那你認(rèn)為該怎么辦？

預(yù)設(shè)：圖形一樣、增加一個(gè)等式.

出示：△=○×5，現(xiàn)在你能解決了嗎？

那如果告訴你△÷○=5呢？

③總結(jié)：原來我們可以用替換的方式解決這樣的圖形等式.

④鞏固練習(xí).

3.概括“和倍、差倍”問題

①出示：△÷○=5△+○=504

你能根據(jù)等式說說△和○之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

②出示：○÷□=4○-□=135

這樣的等式你能說說它們的數(shù)量關(guān)系嗎？

③總結(jié)：這樣的等式告訴我們兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，以及這兩個(gè)數(shù)的和或差.其實(shí)它們就是我們以前學(xué)過的——“和倍、差倍”問題.

二、再探“和倍、差倍”問題

1.編題

①出示：◆÷☆=3◆-☆=90

如果◆代表故事書，☆代表科技書，你能根據(jù)剛才說的數(shù)量關(guān)系來編一道應(yīng)用問題嗎？

②結(jié)合學(xué)生回答，呈現(xiàn)線段圖.

能解決剛才編的題了嗎？結(jié)合圖形等式解答.

2.觀察并溝通線段圖與圖形表征之間的關(guān)系

科技書（☆）

故事書（◆）

能找到它們之間的關(guān)系嗎？

總結(jié)：“和倍、差倍”問題除了用畫圖法能幫助我們解題，還可以利用圖像等式表征的形式，用圖形等式的方法來解決.

3.獨(dú)立練習(xí)

出示：售出的冰紅茶比桃汁多96瓶，售出的冰紅茶是桃汁的4倍.售出的冰紅茶、桃汁各多少瓶？用▲表示冰紅茶售出的數(shù)量，用●表示桃汁售出的數(shù)量.

▲÷●=4▲-●=96

4.遷移，研究用圖形等式的方法編題、解決和倍問題.

三、課堂小結(jié)

上完課后，我們又馬上跟進(jìn)了后測，測試題如下：

1.列式計(jì)算各圖形所表示的數(shù)

①△÷○=3②△÷○=4

△+○=124△-○=123

2.用圖形等式的方法解決問題

①同學(xué)們共做了紅花和黃花270朵，紅花的朵數(shù)是黃花的2倍.紅花和黃花各做了幾朵？

②奶油糖比水果糖多132顆，奶油糖的數(shù)量是水果糖的4倍.奶油糖和水果糖各有幾顆？

3.根據(jù)下面的等式，你能編一道應(yīng)用問題嗎？

□÷☆=4□+☆=125

根據(jù)學(xué)生的答題情況，我們進(jìn)行了分析，數(shù)據(jù)如下：

123

①②①②

正確人數(shù)8078696449

正確率95.2%92.9%82.1%76.2%58.3%

從后測情況可以看出，“和倍、差倍”應(yīng)用問題用圖像等式形式表征出來，再利用圖形等式推算來解決，學(xué)生還是有能力掌握的.學(xué)生的思維里已清晰地構(gòu)建了“和倍、差倍”問題的模型，它大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，并且在系統(tǒng)訓(xùn)練后掌握得比較好.課后也訪談了部分學(xué)生，他們說以前總認(rèn)為這是兩類題，第二類圖形推算甚至更難，但現(xiàn)在學(xué)了以后，發(fā)現(xiàn)它們之間是有聯(lián)系的，這樣就比畫圖更簡潔明了，計(jì)算也非常方便.

利用代數(shù)思維的解題方式來解決問題，是浙教版編排中的一大特色，也占了很大的比重.對(duì)中低段的學(xué)生來說，我總覺得用代數(shù)思維來解題，他們會(huì)比較難理解.但通過用圖像等式表征“和倍、差倍”問題，利用圖形等式推算來解決這類問題，我驚喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于代數(shù)思維方式是完全可以接受的，也更有利于學(xué)生找到對(duì)應(yīng)關(guān)系.其次，用圖形等式表征的形式，它使一個(gè)逆向的數(shù)量關(guān)系得以正向的表達(dá)，不僅使學(xué)生在解決“和倍、差倍”問題時(shí)的思維過程更加簡單，也有助于學(xué)生構(gòu)建“和倍、差倍”問題的數(shù)學(xué)模型.從孩子的編題情況來看，說明有一半以上的孩子已經(jīng)基本理解這類問題的基本結(jié)構(gòu)了.當(dāng)然這個(gè)方式，它也有一定的局限性，在以后的教學(xué)中，我們還將繼續(xù)去研究、去發(fā)現(xiàn).