淺談《近世代數(shù)》課程中的實(shí)例教學(xué)

甘愛(ài)萍　姜樣蘭

【摘要】從教學(xué)實(shí)際出發(fā)考慮改革教學(xué)方法，加強(qiáng)實(shí)例教學(xué).通過(guò)具體實(shí)例，逐一引導(dǎo)學(xué)生理解群的概念并掌握由半群到群的演繹過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考環(huán)與其子環(huán)的單位元之間的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】實(shí)例教學(xué)；半群；群；單位元

【基金項(xiàng)目】2013年，國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目，關(guān)于AI半環(huán)簇與Coway半環(huán)簇的研究，項(xiàng)目編號(hào)：11261021；2016年，江西師范大學(xué)博士啟動(dòng)基金，冪半群的若干研究.

引言

近世代數(shù)課程一方面由于概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象等，學(xué)生往往感到抽象難懂；另一方面，老師在教學(xué)中也存在直接用“定義—命題—定理—證明”的模式講解.這種傳統(tǒng)的近世代數(shù)課程教學(xué)模式單純地追求概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性和體系的完整性，勢(shì)必導(dǎo)致一些學(xué)生感到近世代數(shù)枯燥乏味、無(wú)用，從而直接影響學(xué)生對(duì)近世代數(shù)課程和后繼課程的學(xué)習(xí)熱情.所以，近世代數(shù)課程的教學(xué)改革勢(shì)在必行.

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)眾多學(xué)者都對(duì)近世代數(shù)這門(mén)課程的教學(xué)改革提出了自己的設(shè)想.詳盡而細(xì)致的舉例將讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再進(jìn)行抽象這樣一個(gè)過(guò)程.應(yīng)該通過(guò)具體例子引出概念，由淺入深，這樣更有助于學(xué)生對(duì)概念的理解.從教學(xué)實(shí)際出發(fā)考慮改革教學(xué)方法，加強(qiáng)實(shí)例教學(xué)，將幾個(gè)重要實(shí)例滲透到教學(xué)的全過(guò)程.通過(guò)典型例子理解概念，舉一反三達(dá)到效果.強(qiáng)調(diào)要講好近世代數(shù)這門(mén)課程，就必須重視由具體到抽象原則的講課方法.所謂由具體到抽象的原則是指先舉出具體實(shí)例，由具體實(shí)例得出性質(zhì)、結(jié)論，進(jìn)而猜想抽象到一般情況是否成立，再利用邏輯推演證明其正確性，若能按照這樣的思路來(lái)處理每一個(gè)問(wèn)題，勢(shì)必會(huì)使學(xué)生感覺(jué)到近世代數(shù)也不是那么難理解.希望教師采用從實(shí)例中引出相關(guān)概念，然后再由概念舉出新的案例的教學(xué)方法.具體來(lái)講，就是先舉出具體實(shí)例，給學(xué)生一個(gè)直觀的理解，然后再介紹相關(guān)概念，最后采用正例反例并舉的方法，揭示概念的本質(zhì).通過(guò)以上學(xué)者的觀點(diǎn)可以看出，實(shí)例教學(xué)這種教學(xué)方式，有助于學(xué)生對(duì)概念的理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，優(yōu)化教學(xué)效果.本文以近世代數(shù)課程中群概念及環(huán)與其子環(huán)的單位元的講授處理為例具體闡述這一觀點(diǎn).

一、通過(guò)實(shí)例逐步闡述群的概念

群是近世代數(shù)中的一個(gè)最基本的概念，是近世代數(shù)的基石.因而正確理解其概念是學(xué)好近世代數(shù)的關(guān)鍵.郭聿琦、王正攀、劉國(guó)新探討了群概念的一個(gè)講授處理，他們主要給出群與幾類(lèi)相關(guān)半群的等價(jià)刻畫(huà)，以及建立群與諸多類(lèi)型半群之間的聯(lián)系.這里，我們主要通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生理解由半群到幺半群再到群的過(guò)程.下面，我們先引進(jìn)半群，半群的左幺元、右幺元和幺半群等的概念，再結(jié)合實(shí)例理清楚它們之間的關(guān)系.

定義1令為非空集S上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，記a·b為ab，其中a，b∈S.如果S中的運(yùn)算滿足結(jié)合律，即：

（a，b，c∈S）（ab）c=a（bc），

則稱(chēng)S為一半群.

例1在非空集合I上定義一個(gè)二元運(yùn)算：（a，b∈I）ab=a.易證，I構(gòu)成一個(gè)半群，稱(chēng)之為左零半群.對(duì)偶地，可定義右零半群Λ.

例2設(shè)R為實(shí)數(shù)域，令M=ab00|a，b∈R，N=ab00|a，b∈R，a≠0，易證M，N關(guān)于通常的矩陣的乘法都構(gòu)成半群.

定義4若半群S滿足條件：

（e∈S）（a∈S）ea=a，

則稱(chēng)e為S的一個(gè)左幺元.對(duì)偶地，可定義半群S的右幺元.若e既是S的左幺元，又是S的右幺元，則稱(chēng)e為S的幺元，稱(chēng)含幺元的半群為幺半群.

一般地，半群可能不含左（右）幺元，也可能含有多個(gè)左（右）幺元.例如，左（右）零半群中的每一個(gè)元素都是它的右（左）幺元.在例2中，1b00（這里，b為任意實(shí)數(shù)）是M也是N的左幺元，但M，N都不含右幺元.

自然地，在課堂教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的問(wèn)題：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，左右幺元相等嗎？對(duì)于這一問(wèn)題，我們很容易給出肯定的回答.這是因?yàn)?，如果e，f分別為半群S的左，右幺元，那么f=ef=e.由此我們得到如下結(jié)論：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，則左幺元和右幺元相等，且它們都是半群的幺元.進(jìn)一步，若半群含幺元，則幺元唯一.

定義5設(shè)e半群S的幺元.如果對(duì)任意a∈S，存在b∈S，使得ab=ba=e，則稱(chēng)b為a的逆元，稱(chēng)S為群.

一般地，（幺）半群未必是群.例如，整數(shù)集Z關(guān)于通常的數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)幺半群，但不是群.那么，什么時(shí)候半群會(huì)成為一個(gè)群呢？下面定理給出了半群為群的幾個(gè)充分必要條件.

定理6令S為一半群，則下列各款等價(jià)：

（1）S為一群.

（2）S中存在左幺元，且S中每一元素關(guān)于這一左幺元存在左逆元，即（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

（3）S中存在右幺元，且S中每一元素關(guān)于這一右幺元存在右逆元，即（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

（4）對(duì)任意a，b∈S，方程ax=b和ya=b在S中有解.

定理6的證明可在文獻(xiàn)[7]-[9]中找到，在這里我們略去其證明.根據(jù)定理6自然地，在課堂教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題：

①若半群S中有左（右）幺元，且S中每一元素關(guān)于這一左（右）幺元存在右（左）逆元，即

（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

或者（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

S是否構(gòu)成群？

②若半群S滿足：對(duì)任意a，b∈S，方程ax=b或者ya=b在S中有解.

S能否構(gòu)成一個(gè)群？

上述兩個(gè)問(wèn)題的回答都是否定的.這是因?yàn)?，前面我們已?jīng)提到1000是例2中的半群N的左幺元，又易得N中每一元素ab00關(guān)于這一左幺元存在右逆元1a000，但N不是幺半群，從而不是群.故問(wèn)題①的回答是否定的.由于左零半群I滿足：對(duì)任意a，b∈I，方程ya=b在I中有解b；右零半群Λ滿足：對(duì)任意a，b∈Λ，方程ax=b在Λ中有解b；故問(wèn)題②的回答也是否定的.

二、通過(guò)實(shí)例逐步闡述環(huán)與其子環(huán)的單位元的關(guān)系

眾所周知，環(huán)中有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算+（稱(chēng)為加法）和·（稱(chēng)為乘法），環(huán)對(duì)乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)半群，從而環(huán)的乘法幺元（稱(chēng)之為環(huán)的單位元）未必存在.但是含單位元的環(huán)是普遍存在的，因?yàn)楦鶕?jù)文獻(xiàn)[9]152頁(yè)例題9可知，任意一個(gè)沒(méi)有單位元的環(huán)都可看成一個(gè)有單位元的環(huán)的子環(huán).在教學(xué)中，為了讓學(xué)生理清環(huán)與其子環(huán)的單位元的關(guān)系，我們可以通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生掌握以下事實(shí).

（一）環(huán)R含單位元，而其子環(huán)未必含單位元

例如整數(shù)環(huán)Z有單位元1，而其子環(huán)偶數(shù)環(huán)2Z不含單位元.

（二）環(huán)R不含單位元，但其子環(huán)可能含單位元

例3設(shè)R為實(shí)數(shù)域，令R=ab00|a，b∈R，S=a000|a∈R，則R關(guān)于矩陣的加法與乘法構(gòu)成環(huán)且S是R的子環(huán).易證R不含單位元，但其子環(huán)S含單位元1000.

（三）環(huán)R含單位元，其子環(huán)也含單位元，但環(huán)R的單位元與其子環(huán)的單位元未必相等

例如，例3中的環(huán)S是M2（R）（實(shí)數(shù)域R上的2階矩陣環(huán)）的子環(huán)，它的單位元1000與M2R的單位元1001不相等.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上可以看出：通過(guò)認(rèn)識(shí)實(shí)例、運(yùn)用實(shí)例、構(gòu)造實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生理解和掌握抽象的概念和結(jié)論，可以提高學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維能力，使學(xué)生掌握基本的代數(shù)方法，掌握具體與抽象、一般與特殊的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，為以后的學(xué)習(xí)工作打下牢固的基礎(chǔ).

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