高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例

李雪峰

【摘要】高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要工具.但很多學(xué)生卻對(duì)高數(shù)的學(xué)習(xí)不重視.本文通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用，以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)的積極性.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)是經(jīng)管類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，但很多學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)高數(shù)“沒(méi)有什么用”，因而對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)失去興趣，覺(jué)得它枯燥乏味.即便是學(xué)習(xí)也只是為了應(yīng)付考試，并沒(méi)有真正掌握.本文就通過(guò)一些例子說(shuō)明高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣，從而使學(xué)生們重視高數(shù)的學(xué)習(xí).

特別說(shuō)明，本文中涉及的經(jīng)濟(jì)函數(shù)的定義出自書[1]和[2].

一、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)常用函數(shù)

（一）需求函數(shù)與供給函數(shù)

需求函數(shù)是指消費(fèi)者在一定的價(jià)格水平上對(duì)某種商品有支付能力的需要：人們對(duì)某一商品的需求受許多因素的影響，如價(jià)格、收入、替代品、偏好等.一般研究中，需求量Qd是價(jià)格p的函數(shù)，此函數(shù)稱為需求函數(shù)，記為Qd=f（p）.

供給函數(shù)是生產(chǎn)者或銷售者在一定價(jià)格水平上提供市場(chǎng)的商品量.一般而言，供給量Qs是價(jià)格p的函數(shù)，記為Qs=g（p）.

（二）總成本函數(shù)

成本是指生產(chǎn)制造產(chǎn)品所投入的原材料、人的勞動(dòng)力與技術(shù)等生產(chǎn)資料的貨幣表現(xiàn).它是產(chǎn)量的函數(shù)，記為C（x），其中x為產(chǎn)量.

總成本函數(shù)由固定成本和可變成本兩部分組成.固定成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量（或銷售量）x無(wú)關(guān).可變函數(shù)是x的函數(shù)，因此總成本是x的函數(shù)，記為

C（x）=C0+V（x）

其中C0是固定成本，x是產(chǎn)量（或銷售量），V（x）是可變成本.

（三）總收益函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)

總收益函數(shù)是指一定量的產(chǎn)品出售后所得到的全部收入，若產(chǎn)品的銷售單價(jià)為p，銷售量為x，則總收益函數(shù)為R（x）=P（x）.

平均收益函數(shù)為R（x）=R（x）x=xP（x）x=P（x）.

若產(chǎn)品的銷售量即是生產(chǎn)量，則生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的總利潤(rùn)函數(shù)等于總收益函數(shù)與成本函數(shù)之差，即L（x）=R（x）-C（x）.

（四）邊際函數(shù)與彈性函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中又稱為邊際函數(shù).

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量Δyy0=f（x0+Δx）-f（x0）f（x0）與自變量的相對(duì)該變量Δxx0之比，當(dāng)Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在，則稱此極限為f（x）在x=x0處彈性，記為EyEx|x=x0.

若f（x）在任意x處可導(dǎo)，則稱EyEx=xy·f′（x）為f（x）在x處的彈性函數(shù).

二、極限在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用

極限概念是微積分中最基本的概念.微積分中很多概念都是用極限概念來(lái)表達(dá)的.如導(dǎo)數(shù)和定積分在定義時(shí)都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上.而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中同樣有很多概念也是通過(guò)極限概念來(lái)定義的.所以掌握極限的概念及其思想方法對(duì)于掌握經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要概念有很大的幫助.下面就通過(guò)一個(gè)例子——復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問(wèn)題，來(lái)說(shuō)明極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用.

例1有本金10000元，存款一年，年利率為12%，求到期本利之和為：

（1）如果一年計(jì)息1期；（2）按連續(xù)復(fù)利計(jì)息.

三、經(jīng)濟(jì)中的最值問(wèn)題

在生產(chǎn)銷售中，到處可見(jiàn)“最大、最小”這類問(wèn)題.生產(chǎn)者追求最低成本，銷售者要得到最大利潤(rùn)等等.這些實(shí)際問(wèn)題的解決辦法就要借助高等數(shù)學(xué)中的求解最大值與最小值的方法.

例2某專門賣寵物用品連鎖店的市場(chǎng)推銷部門研究他們銷售的金魚缸泵價(jià)格需求曲線近似為

p=120-20lnx（0

其中x為每周銷售這種泵的數(shù)量，p是每個(gè)泵的價(jià)格（以元為單位）.若每個(gè)泵的成本為30元，試求每周取得利潤(rùn)的最大值以及相應(yīng)的每周泵的銷售量.

解由已知可求得收益函數(shù)R（x）為

R（x）=px=（120-20lnx）x=120x-20xlnx.

其成本函數(shù)為C（x）=30x，

因此利潤(rùn)函數(shù)為

L（x）=R（x）-C（x）=120x-20xlnx-30x

=90x-20xlnx，

則L′（x）=90-20lnx-20=70-20lnx.

令L′（x）=0，求得L（x）的駐點(diǎn)為x=e72≈32.

又因?yàn)長(zhǎng)″（x）=-20x<0，

所以L（x）在x=32處取得極大值.而在0

L（32）=90×32-20×32ln32=640（元）.

此時(shí)相應(yīng)每個(gè)泵的價(jià)格為p=120-20ln32≈50（元）.

四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)了一元函數(shù)積分學(xué)后就知道在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本函數(shù)，總收入函數(shù)，利潤(rùn)函數(shù)分別是邊際成本函數(shù)，邊際收入函數(shù)，邊際利潤(rùn)函數(shù)的原函數(shù).那么再根據(jù)定積分定義及其計(jì)算方法，便可求得相應(yīng)的函數(shù).

例3已知某商品的邊際收益為R′（x）=200-12x（元/單位），其中x表示該商品的產(chǎn)量.求該商品的總收益函數(shù)，并求當(dāng)商品的產(chǎn)量達(dá)到100單位時(shí)總收益.

解函數(shù)為

R（x）=∫x0（200-12t）dt=[200t-t24]x0=200x-x24，

則平均收益函數(shù)為R（x）=R（x）x=200-x4.

當(dāng)生產(chǎn)100單位時(shí)，總收益為

R（100）=200×100-10024=17500（元），

平均收益為R（100）=200-1004=175（元）.

高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用的例子還有很多，由于篇幅有限，在此不再列舉.通過(guò)這些例子，足以說(shuō)明學(xué)習(xí)高數(shù)對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的重要性.沒(méi)有高數(shù)課程的鋪墊，專業(yè)課就很難順利進(jìn)行.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅為專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且還可以在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力.這種能力可以更好地幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]莊興元，董建華.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2009：2-5.

[2]竇連江.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：13-14.

[3]張慶堯.實(shí)用數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008：111-114.