曲線(xiàn)中切點(diǎn)連線(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用探析

黃奎飛

江西省玉山第一中學(xué)

曲線(xiàn)中切點(diǎn)連線(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用探析

黃奎飛

江西省玉山第一中學(xué)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)非常多，運(yùn)算要求特別高，所以學(xué)生遇到解析幾何的問(wèn)題非常畏懼，但教師如果在平常教學(xué)中善于總結(jié)、分類(lèi)知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)激發(fā)學(xué)生的興趣。本人就一類(lèi)切點(diǎn)的連線(xiàn)問(wèn)題與之共勉。

曲線(xiàn)；切點(diǎn)；問(wèn)題解析

1、在求圓的切線(xiàn)問(wèn)題中有這樣結(jié)論：若圓C的方程為：x2+y2=R2，點(diǎn)P(x0,y0)在圓C上，則過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為xx0+yy0=R2，教師可以在深入分析這個(gè)方程，若點(diǎn)P(x0,y0)不在圓C上，則xx0+yy0=R2又表示曲線(xiàn)的什么方程。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到這個(gè)方程表示過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B，這個(gè)方程是AB的連線(xiàn)方程。不難發(fā)現(xiàn)橢圓也有相似的結(jié)論：

例2：如圖所示，已知橢圓C+=1(a＞b＞0),c=a2-b2)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)O到直線(xiàn)BF的距離為，ΔABF的面積為1-

（1）求橢圓C的方程（2）過(guò)直線(xiàn)x=4上的動(dòng)點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M,N，求ΔOMN面積的取值范圍。2

解：（1）+y=1

（2）由結(jié)論可得：直線(xiàn)MN的方程是x+ty=1

消去x整理得(4+t2)y2-2ty-3=0

∴S△OMN的取值范圍是

2、拋物線(xiàn)同樣有相似的結(jié)論，推導(dǎo)過(guò)程都是一樣的（略）

（1）若拋物線(xiàn)C∶x2=2py(p＞0)，點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線(xiàn)C外，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B，則AB的連線(xiàn)方程為：xx0-py-py0=0。

（2）若拋物線(xiàn)C∶x2=-2py(p＞0)，則AB的連線(xiàn)方程為：3py-xx0-py0=0。

（3）若拋物線(xiàn)C∶y2=2px(p＞0)，則AB的連線(xiàn)方程為：yy0-px-px0=0。

（4）若拋物線(xiàn)C∶y2=-2px(p＞0)，則AB的連線(xiàn)方程為：yy0+3px+px0=0。

例3：已知拋物線(xiàn)C∶x2=4y,F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，設(shè)P為直線(xiàn)l∶x-y-2=0的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB.

（1）在直線(xiàn)l上取點(diǎn)P(4,2)，求直線(xiàn)AB的方程。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|+|BF|的最小值。

解：（1）拋物線(xiàn)的方程為x2=4y,即y

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，其中,則切線(xiàn)PA,PB的斜率分別為

同理可得切線(xiàn)PB的方程為x2x-2y-2y2=0因?yàn)榍芯€(xiàn)PA,PB均過(guò)點(diǎn)P(4,2)。

所以

4x1-4-2y1=0,4x2-4-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程4x-4-2y=0的兩組解.

故直線(xiàn)AB的方程為4x-2y-4=0,即2x-y-2=0。

（2）由拋物線(xiàn)定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)P(x0,y0)，由（）知直線(xiàn)AB的方程為x0x-2y-2y0=0，聯(lián)方消去x整理得y2+(2y0-)y+=0。

由根與系數(shù)的關(guān)系可得

所以當(dāng)y0=-1時(shí)，|AF|+|BF|取得最小值，且最小值為5。

從中可以總結(jié)出雙曲線(xiàn)也有相似的結(jié)論：

在做解析幾何題目中平常多歸納，多總結(jié)，在題目中充分利用好這些結(jié)論會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。