排列組合的常見類型及解法

王庶

常見排列組合問題可分為相異元素不允許重復(fù)的問題，相異元素允許重復(fù)的問題和不盡相異元素的問題；而較復(fù)雜的排列組合問題往往是對元素（或位置）加以限制. 因此，掌握一些基本的排列組合的題型和方法，對學(xué)好本章內(nèi)容是很有必要的.

相異元素不允許重復(fù)的問題

例1 有北京、上海、廣州三個(gè)車站，需準(zhǔn)備幾種車票，有幾種票價(jià).

解析 車票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，故是排列問題；而票價(jià)與順序無關(guān)，故是組合問題. 因此有[A23=6]種車票，有[C23=3]種票價(jià).

點(diǎn)撥 此題為“相異元素?zé)o限制條件”的排列問題. 此類問題比較簡單，只需分清是組合問題還是排列問題，即可直接運(yùn)用公式求解.

例2 6個(gè)人站成一排，其中甲不站最左端也不站最右端，有多少種不同的站法.

解析 方法一（元素優(yōu)先法）：因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥耍实谝徊娇紤]甲，除去兩端位置甲有4種站法. 第二步讓其余的5人站在其他5個(gè)位置上，有[A55=120]種站法. 故滿足條件的站法共有[4×A55=480]種.

方法二（位置優(yōu)先法）：因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯?，故第一步先從除甲以外?人中任選兩人站在左右兩端，有[A25=20]種站法. 第二步再讓剩余的4人（包括甲）站在中間的4個(gè)位置，有[A44=24]種站法. 故共有[A25A44=480]種站法.

點(diǎn)撥 此例為“相異元素有限制條件”的排列問題，其解法通常是特殊元素（或位置）優(yōu)先法，即先考慮有限制條件的特殊元素（或位置），再考慮其他無限制條件的元素，此法也叫元素（或位置）分析法.

例3 5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同的排法.

解析 將3個(gè)女生看作一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有[A66=720]種排法. 然后女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有[A33=6]種排法. 故共有排法[A66A33=4320]種.

點(diǎn)撥 這是一道元素相鄰的排列問題. 對于某些元素要求排在一起的問題，可用“捆綁法”，即將這些元素看作一個(gè)整體（或看作一個(gè)元素），與其他元素進(jìn)行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進(jìn)行排列.

例4 （1）7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法；

（2）4個(gè)學(xué)生與4個(gè)老師排成一排，則學(xué)生與老師相間的排列共有多少種.

解析 （1）先將其余4人排成一排，有[A44=24]種排法，再將甲、乙、丙3人插入其余4人之間和兩端的5個(gè)縫隙中，有[A35=60]種排法，故共有[A44A35=1440]種排法.

（2）不妨先排學(xué)生，4個(gè)學(xué)生的排法有[A44=24]種. 再排老師，可分為兩類，即按順序排為“師生師生師生師生、生師生師生師生師”，其排法有[2A44=48]種. 故共有24×48=1152種不同的排法.

點(diǎn)撥 （1）對于某些元素要求間隔排列（或不相鄰）的問題一般使用“插空法”. 即先排無限制條件的元素，再將要求“不相鄰”的元素插入已排好的元素之間的“縫隙”中. （2）“元素相間”問題是“元素互不相鄰”問題的特殊情形，但又有所不同. “元素互不相鄰”問題只要“隔開”就行了，但“元素相間”問題不僅要“隔開”，而且要一個(gè)挨著一個(gè)地“隔開”. 要防止出現(xiàn)將“元素相間”問題誤解為“元素互不相鄰”問題（即第（2）小題得出結(jié)果為[A44?A45=2880]種）的錯(cuò)誤.

例5 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè).

解析 不考慮限制條件，六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有[A15A55=600]種，其中個(gè)位與十位上的數(shù)字順序一定，故所求的六位數(shù)共有[A15A55A22=300]個(gè).

點(diǎn)撥 對于某些元素順序一定時(shí)，可用“縮倍法”求解. 具體方法為：先將[n]個(gè)元素進(jìn)行全排列有[Ann]種排法，[m]個(gè)元素全排列有[Amm]種排法（[m≤n]），由于要求[m]個(gè)元素的順序一定，因此只能取其中的某一種排法，即若[n]個(gè)元素排成一列，其中[m]個(gè)元素順序一定，則有[AnnAmm]種排列方法.

例6 有9本不同的書，分成3組.

（1）每堆3本有多少種不同的分法；

（2）一堆5本，其他兩堆各2本，有多少種不同的分法；

（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少種不同的分法.

解析 （1）此分組屬于平均分組問題，并且不計(jì)每組順序，分組方法共有[C39C36C333！=280]種；

（2）在分組中，有兩組是均勻的，故分組方法共有[C59C24C222！=378]種；

（3）此分組屬于非均勻分組問題，由于不知3組中哪一組4本，哪一組3本，哪一組2本，故分組方法共有[C49C35C22=1260]種.

點(diǎn)撥 對于分組、分堆問題，要注意是“均勻分”還是“非均勻分”. 均勻分組要除以分組數(shù)的全排列數(shù)（組與組之間沒有順序），非均勻分組則不用除以分組數(shù)的全排列數(shù).

相異元素允許重復(fù)的問題

例7 有3封信和4個(gè)郵筒，則將3封信全部投入4個(gè)郵筒的所有不同投法種數(shù)有 種.

解析 由題意知，每封信都有4種可能的投法，故共有[4×4×4=64]種不同的投法.

點(diǎn)撥 對于元素可重復(fù)出現(xiàn)的問題，往往不能直接用[Amn]解決，而需分步考慮，運(yùn)用乘法原理來解 決.

例8 用5種不同的顏色給圖中4個(gè)區(qū)域涂色，若每一區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不能同色，共有多少種涂色方法.

解析 由題意可知，1、3區(qū)域可以同色，故應(yīng)分步考慮. 先涂區(qū)域2有5種方法，再涂區(qū)域4有4種方法，剩下三種顏色涂區(qū)域1、3各有3種方法，故共有[5×4×3×3=180]種涂法.

點(diǎn)撥 此類染色問題，一般采取分步或分類的方法解決. 具體來講，一方面要考慮涂幾種顏色的問題，另一方面，還要考慮相對（鄰）區(qū)域同色和不同色問題. 另外，此例也可以用“分組法”求解. 顯然，涂一色或兩色是不可能的. 如果涂三色，1，3同色，則分成1（或3），2，4三組，有[C35?A33=60]種方法；如果涂四色，則有[C45?A44=120]種方法. 故共有120+60=180種不同的涂色方法.

不盡相異的元素的問題

例9 從5個(gè)班中選10人組成校籃球隊(duì)，每班至少1人，有多少種不同的選法.

解析 由題意知，只要把人選出來就可以了，不用考慮順序. 因此可以將問題看成是“10個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少1球”的問題，然后用“隔板法”求解. 即先把10個(gè)人排成一排，再在其中9個(gè)間隙中選4個(gè)位置插入4塊“擋板”，將總體分成5個(gè)部分對應(yīng)著5個(gè)盒子，共有[C49=126]種不同選法.

點(diǎn)撥 “隔板法”是解決此類問題的有效方法之一. 對于此類問題，直接法不易解決，分類討論又十分麻煩，但若運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，交換位置，變換角度來思考，問題就可以轉(zhuǎn)化為相異元素的排列組合問題. 適當(dāng)轉(zhuǎn)化，既可化繁為簡、化難為易，又可開拓解題思路，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一些常見排列組合問題，往往對應(yīng)著不同的題型和方法. 在解決問題時(shí)，要在理解題意、掌握基本題型的基礎(chǔ)上，熟練運(yùn)用基本方法與技巧求解，不能拘泥于某種模式，更不能想當(dāng)然. 對某些較為復(fù)雜的問題，要靈活運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想方法，化陌生為熟悉，化繁難為簡易，在快速準(zhǔn)確求解的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)反思與“回頭看”，以達(dá)到提高解題能力之目的.