“充要條件”的判斷方法

劉族剛

“充要條件”是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，主要討論命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系. 它不僅是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換的邏輯基礎(chǔ)，還是后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)證明等內(nèi)容的基礎(chǔ)，同時(shí)也是高考命題中實(shí)現(xiàn)知識(shí)交融交匯的重要載體. 因而，掌握“充要條件”的概念以及判斷方法顯得尤為重要. 本文對判斷“充要條件”的幾種常用方法加以盤點(diǎn)，僅供參考.

定義判斷法

例1 設(shè)[an]是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為[q]，則“[q<0]”是“對任意的正整數(shù)[n]，[a2n-1+a2n<0]”的（ ）

A. 充要條件

B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件

D 既不充分也不必要條件

分析 要判斷[p]是[q]的什么條件，就要看以下兩個(gè)問題是否成立：一個(gè)是條件[p]能否得到結(jié)論[q]；另一個(gè)是條件[q]能否得到結(jié)論[p].

解 由題意得，[a2n-1+a2n=a1q2n-2（1+q）].

（1）又[a1>0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].

但當(dāng)[q<0]時(shí)，[1+q]的符號不能確定，從而[a2n-1+a2n<0]不一定成立，

即[q<0]不能得到[a2n-1+a2n<0].

（2）由[a2n-1+a2n<0]可得， [q<-1<0]，

所以，由[a2n-1+a2n<0]可以得到[q<0].

綜上可知，正確選項(xiàng)為C.

答案 C

點(diǎn)撥 定義判斷法是最直接、最常見的判別方法. 注意：若[p?q]為真，則以下說法是等價(jià)的：①[p]是[q]的充分條件；②[q]是[p]的必要條件；③[p]的一個(gè)必要條件是[q]；④[q]的一個(gè)充分條件是[p].

遞推判斷法

例2 若[A，B]都是[C]的充要條件，[D]是[A]的必要條件，[B]是[D]的必要條件，則[D]是[C]的什么條件.

分析 本題條件、結(jié)論都比較空洞、抽象，不能用具體命題[D?C]與[C?D]的正確與否去判斷，宜采用“遞推判斷法”來解.

解 由已知得，[A?C]，[B?C]，[A?D]，[D?B]，如圖.

由推理的傳遞性可知，[D?C]，同時(shí)[C?D]，于是[C?D]. 故[D]是[C]的充要條件.

點(diǎn)撥 對于較復(fù)雜的（如連鎖式）推理關(guān)系的判斷，一般可用遞推判斷法來解. 注意：充分條件具有傳遞性，即由[A1?A2?…?An]得，[A1?An]，亦即[A1]是[An]的充分條件. 必要條件也有傳遞性，即由[A1?A2?…?An]得，[A1?An]，亦即[A1]是[An]的必要條件. 同理，充要條件也有傳遞性.

集合判斷法

例3 設(shè)[p]：實(shí)數(shù)[x，y]滿足[（x-1）2+（y-1）2≤2]，[q]：實(shí)數(shù)[x，y]滿足[y≥x-1，y≥1-x，y≤1，] 則p是q的 條件.

分析 此例直接求解較為困難. 由題中的不等式（組）聯(lián)想到線性規(guī)劃的知識(shí)，故作出可行域，利用集合間的關(guān)系（區(qū)域是否被覆蓋）直觀求解.

解 滿足命題[p：]實(shí)數(shù)[x，y]滿足[（x-1）2+（y-1）2≤2]的實(shí)數(shù)對[（x，y）]對應(yīng)的點(diǎn)的集合[P]是以[D（1，1）]為圓心且過原點(diǎn)（半徑為[2]）的圓及其內(nèi)部（如圖）.

滿足命題[q：]實(shí)數(shù)[x，y]滿足[y≥x-1，y≥1-x，y≤1]的實(shí)數(shù)對[（x，y）]對應(yīng)的點(diǎn)的集合[Q]是圖中的[△ABC]及其內(nèi)部.

由圖知，[Q?P]（即[Q]被[P]覆蓋）.

即[q?p]，但[p]不能推出[q]，故p是q的必要不充分條件.

點(diǎn)撥 集合判斷法的要點(diǎn)是：找出條件[p]和結(jié)論[q]表示的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. 用集合法判斷時(shí)，常與圖示法結(jié)合，通過形象直觀的圖形，簡化解題過程，降低思維難度. 一般地，若[p?q]，且[p≠q]，則[p]是[q]的充分但不必要條件. 若[q?p]，且[q≠p]，則[p]是[q]的必要但不充分條件. 若[p=q]，則[p]是[q]的充要條件. 若[p?q]，且[q?p]，則[p]是[q]的既不充分又不必要條件.

反例判斷法

例4 若[a1，a2，b1，b2，c1，c2]均為非零實(shí)數(shù)，不等式[a1x2+b1x+c1>0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分別為集合[M]和[N]，試判斷“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么條件，并說明理由.

分析 判斷一個(gè)較抽象、繁難的命題，往往可以嘗試反例法（也稱特殊值法），即列舉一個(gè)（或多個(gè)）符合命題條件但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子，從而說明該命題不成立.

解 由[x2-3x+2>0]與[-x2+3x-2>0]得，

[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].

顯然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命題的條件不是充分條件.

由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不滿足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命題的條件不是必要條件.

綜上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要條件.

點(diǎn)撥 “以例外證明規(guī)律”是一個(gè)簡便而又實(shí)用的方法，通常一個(gè)例外足以反駁任何自封為規(guī)律或普遍性的命題. 判斷一個(gè)命題為真命題，必須嚴(yán)格證明，但要判斷一個(gè)命題為假命題，只需舉一個(gè)反例就行. 換言之，要說明[p]不是[q]的充分條件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特別的，對于[p]是[q]的不充分或不必要條件類的問題，列舉反例是準(zhǔn)確、快捷的方法.

等價(jià)轉(zhuǎn)換法

例5 若命題[p：x≠3，或y≠4]，命題[q：x+y≠7]，則[p]是[q]的_______條件.

分析 題設(shè)與結(jié)論均為否定形式，加之有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的出現(xiàn)，直接求解往往困難或容易出錯(cuò)，若利用“否定之否定是肯定”這個(gè)結(jié)論，則問題迎刃而解.

解 考慮逆否命題：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].

顯然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，

即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].

所以[p]不能推出[q]，但[q?p].

即[p]是[q]的必要不充分條件.

點(diǎn)撥 當(dāng)某一命題不易直接判斷條件與結(jié)論的充要關(guān)系（特別是對于否定形式或“[≠]”形式的命題）時(shí)，可利用等價(jià)轉(zhuǎn)換法來解決. 等價(jià)轉(zhuǎn)換法是利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的特性，將已知命題轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題求解，即要判斷[p]是[q]的什么條件，只需判斷[?q]是[?p]的什么條件即可.

充要條件是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容. 在學(xué)習(xí)過程中，準(zhǔn)確理解定義是基礎(chǔ)，正確判斷充要關(guān)系是重點(diǎn)，熟練應(yīng)用充要關(guān)系解決相關(guān)問題是關(guān)鍵. 深刻理解充要條件的意義，掌握充要條件的常用判別方法，不但能有效地進(jìn)行充要關(guān)系的判斷與證明，更有助于提升數(shù)學(xué)邏輯思維能力、推理及論證能力.