基于形函數(shù)插值的流線追蹤方法

劉 洪，趙隆順

(中國(guó)石油冀東油田分公司，河北 唐山 063004)

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基于形函數(shù)插值的流線追蹤方法

劉 洪，趙隆順

(中國(guó)石油冀東油田分公司，河北 唐山 063004)

油藏?cái)?shù)值模擬中，壓力和飽和度分布與流線有著密切的關(guān)系，流線在注水量劈分、注水效率計(jì)算方面具有重要的價(jià)值，目前計(jì)算流線主要通過(guò)流線數(shù)值模擬方法或采用歐拉法通過(guò)壓力分布直接計(jì)算質(zhì)點(diǎn)流速追蹤流線。常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬方法可以直接獲取不同時(shí)刻壓力場(chǎng)分布，但由于實(shí)際地質(zhì)建模使用的網(wǎng)格步長(zhǎng)太大，直接計(jì)算流線會(huì)產(chǎn)生極大誤差。在采用油藏?cái)?shù)值模擬方法獲取油藏壓力場(chǎng)分布的基礎(chǔ)上，利用形函數(shù)插值理論對(duì)壓力場(chǎng)進(jìn)行插值加密，然后采用流線追蹤算法計(jì)算油水井間流線的分布，達(dá)到常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)也能計(jì)算流線的目的。建立的基于形函數(shù)插值的流線追蹤算法簡(jiǎn)單易行，可以作為油藏?cái)?shù)值模擬的一個(gè)后處理程序，相比流線模擬技術(shù)，該方法無(wú)需考慮模擬精度的問(wèn)題，卻能實(shí)現(xiàn)流線計(jì)算的目的，對(duì)實(shí)際油藏動(dòng)態(tài)分析和油藏?cái)?shù)值模擬歷史擬合有重要的指導(dǎo)意義。

油藏?cái)?shù)值模擬；流線追蹤；形函數(shù)插值；有限差分法

0 引 言

流線模擬方法將三維物理問(wèn)題化解為流線組成的一維線段進(jìn)行求解，極大提高了模擬速度[1]。同時(shí)，流線能直觀反映注入水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是可以確定水線的推進(jìn)方向和距離，指導(dǎo)水淹圖繪制，為開(kāi)發(fā)調(diào)整方案編制提供動(dòng)態(tài)指導(dǎo)[2]。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者認(rèn)為流線還可以在注水效率、注采分配、產(chǎn)量劈分方面有更廣泛的應(yīng)用，并介紹了利用流線進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析的方法及應(yīng)用效果[3]。

盡管流線模擬技術(shù)有很好的前景，但其精度的不確定性使得其無(wú)法取代常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)的主導(dǎo)地位，只能作為常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬方法的補(bǔ)充，無(wú)法得到深入的發(fā)展和應(yīng)用[4]。目前，主流的商業(yè)化軟件(如Eclipse)多數(shù)基于有限差分法理論，能給出各時(shí)刻壓力和飽和度的分布，但是飽和度圖不能像流線一樣清楚地觀察從注水井到采油井的流動(dòng)過(guò)程。在油藏?cái)?shù)值模擬的基礎(chǔ)上，如果能夠直接計(jì)算流線分布，不僅保證了模擬精度(常規(guī)數(shù)值模擬結(jié)果作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù))，而且可以解決常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬飽和度圖像不能清楚觀察從注水井到采油井流線的問(wèn)題。

目前，追蹤流線基本上采用壓力梯度求矢量和確定質(zhì)點(diǎn)速度方向的方法[5]。有限元理論中的形函數(shù)插值方法能有效實(shí)現(xiàn)模擬壓力場(chǎng)任意點(diǎn)的屬性插值[6]，從而實(shí)現(xiàn)壓力或飽和度等屬性場(chǎng)網(wǎng)格加密。因此，建立了基于形函數(shù)插值方法的流線追蹤技術(shù)，給出通過(guò)油藏?cái)?shù)值模擬壓力分布計(jì)算流線的方法，通過(guò)實(shí)際油藏流線計(jì)算研究歷史流線的分布，揭示了油藏開(kāi)發(fā)過(guò)程中流線的變化規(guī)律，驗(yàn)證了油藏動(dòng)態(tài)分析的結(jié)論，可有效地指導(dǎo)開(kāi)發(fā)調(diào)整和綜合治理。

1 流線追蹤技術(shù)

流線是描述滲流場(chǎng)流體流動(dòng)的有效工具[7-8]，其能直觀反映油藏中流體在注入井與生產(chǎn)井之間的運(yùn)動(dòng)軌跡。

流線構(gòu)造方法[9-10]：給定流線起點(diǎn)(x0，y0)，按式(1)、(2)計(jì)算沿x、y方向的壓力梯度，式(3)給出了(x0，y0)處的壓力梯度方向，即(x0，y0)處的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向。

(1)

(2)

▽pT=▽pxi+▽pyj

(3)

式中：▽px為x方向的壓力梯度，MPa/m；▽py為y方向的壓力梯度，MPa/m；▽pT為(x0，y0)處的壓力梯度，MPa/m；p(x0，y0)為(x0，y0)處的壓力，MPa；p(x0+Δx，y0)為(x0+Δx，y0)處的壓力，MPa；p(x0，y0+Δy)為(x0，y0+Δy)處的壓力，MPa；i、j表示不同方向。

按式(4)、(5)可確定流線下一點(diǎn)的位置(x1，y1)，將(x1，y1)作為起點(diǎn)，重復(fù)以上流線計(jì)算方法，即可追蹤從(x0，y0)點(diǎn)出發(fā)的流線。

(4)

(5)

式中：Δs為搜索步長(zhǎng)，m。

2 基于形函數(shù)插值的網(wǎng)格加密技術(shù)

追蹤流線需要獲取油藏任意點(diǎn)的壓力和飽和度，因此，需要一種壓力場(chǎng)和飽和度場(chǎng)插值算法來(lái)輔助流線追蹤。對(duì)實(shí)際油藏進(jìn)行數(shù)值模擬研究時(shí)，若網(wǎng)格步長(zhǎng)太小，則大幅度增加計(jì)算量，而網(wǎng)格步長(zhǎng)太大，又極大影響數(shù)值模擬的精度，因此，實(shí)際地質(zhì)模型平面網(wǎng)格步長(zhǎng)一般為25 m×25 m。

該精度對(duì)于區(qū)塊模擬已足夠，但對(duì)于流線追蹤來(lái)說(shuō)還不夠。為解決該問(wèn)題，引入有限元形函數(shù)[6]插值方法，對(duì)數(shù)模粗化的網(wǎng)格壓力飽和度等屬性進(jìn)行插值加密，以獲取油藏任意點(diǎn)的壓力和飽和度分布。對(duì)于二維平面問(wèn)題，使用4節(jié)點(diǎn)線性單元(圖1a)能很好滿足要求(相應(yīng)的，三維問(wèn)題使用8節(jié)點(diǎn)線性單元)，二維母單元是(ξ，η)平面上的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1。

圖1 二維平面問(wèn)題的母單元

各節(jié)點(diǎn)線性單元形函數(shù)分別為：

(6)

(7)

(8)

(9)

在獲得數(shù)值模擬壓力分布后，對(duì)實(shí)際的地質(zhì)模型進(jìn)行形函數(shù)加密。加密前，平面上網(wǎng)格步長(zhǎng)為25 m×25 m；加密后，平面上網(wǎng)格步長(zhǎng)為5 m×5 m，網(wǎng)格數(shù)增加25倍。由于是對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行加密，因此，并沒(méi)有增加數(shù)值模擬的工作量，沒(méi)有耗費(fèi)時(shí)間。由圖2知，基于形函數(shù)插值加密算法后，不僅減小了網(wǎng)格步長(zhǎng)，而且保證了屬性分布的連續(xù)。

3 流線計(jì)算示例

選取1注3采井網(wǎng)地質(zhì)模型開(kāi)展數(shù)值模擬研究。模擬參數(shù)如下：水平滲透率為20×10-3μm2(不考慮非均質(zhì)性)，儲(chǔ)層孔隙度為0.2，網(wǎng)格尺寸為3 m×3 m×3 m，油井均以10 m3/d定液量生產(chǎn)，注水井以注采比為1進(jìn)行同步注水，設(shè)置P1井生產(chǎn)6個(gè)月后關(guān)井、P3井生產(chǎn)1 a后關(guān)井，模擬生產(chǎn)3 a，模擬得到生產(chǎn)3、9、15個(gè)月后的油藏的壓力分布(圖3)。

圖2 形函數(shù)插值加密效果對(duì)比

圖3 數(shù)值模擬壓力分布

以注水井為中心畫(huà)圓，等距選擇圓上若干個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，根據(jù)商業(yè)化油藏?cái)?shù)值模擬軟件得到的壓力分布進(jìn)行追蹤，可以得到該模型的流線計(jì)算結(jié)果(圖4)。由圖4可知，油井生產(chǎn)制度的變化對(duì)流線有顯著的影響，對(duì)于實(shí)際地質(zhì)模型，如果得到了不同時(shí)刻的油藏?cái)?shù)值模擬結(jié)果，通過(guò)流線追蹤技術(shù)即可獲取相應(yīng)流線分布。

圖4 流線追蹤計(jì)算結(jié)果

4 應(yīng)用實(shí)例

高深北區(qū)高66X1斷塊是一個(gè)典型的復(fù)雜斷塊油藏，目前注入水無(wú)效循環(huán)嚴(yán)重，油井普遍見(jiàn)水，累計(jì)存水率僅為0.54，近1/2的注入水被采出。從示蹤劑測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)看，注采受效方向多，而且水淹速度快。根據(jù)滲透率場(chǎng)和油藏?cái)?shù)值模擬得到的壓力場(chǎng)，分別計(jì)算了各小層流線分布(圖5)，借助流線分布可以確定不同小層注水的連通方向，進(jìn)而為注采調(diào)控和綜合治理提供決策依據(jù)。

Ⅱ18小層：G166-52注水井目前在該層注水，周圍鄰井生產(chǎn)該層的是G166-51、G166-53、G166-50井，G166-51、G166-53井與G166-52井之間有流線連通。

圖5 典型小層2015年12月流線計(jì)算結(jié)果

Ⅱ22小層：G166-41井和G166-43井目前在該層注水，周圍鄰井中G166-63、G166-53、G166-51、G166-42、G66X1井生產(chǎn)該層。其中，與G166-41井有流線連通的井有G166-42、G166-51、G66X1井；與G166-43井有流線連通的井有G166-42、G166-53、G166-63、G66X1、G166-51井。

Ⅱ23小層：G166-41井和G166-43井目前在該層注水，周圍鄰井中生產(chǎn)該層的有G166-42、G66X1、G166-53井。其中，與G166-41井有流線連通的井有G166-42、G66X1井；與G166-43井有流線連通的井有G166-42、G166-53、G66X1井。

5 結(jié) 論

(1) 利用實(shí)際地質(zhì)模型進(jìn)行流線追蹤時(shí)，網(wǎng)格步長(zhǎng)太小則增加數(shù)值模擬工作量，網(wǎng)格步長(zhǎng)太大導(dǎo)致井間網(wǎng)格數(shù)減小，影響流線模擬精度，可以使用形函數(shù)插值方法對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行整體加密，以此獲取精度更高的壓力和飽和度分布，解決流線追蹤精度問(wèn)題。

(2) 完成油藏?cái)?shù)值模擬歷史擬合后，可以獲取不同時(shí)刻壓力場(chǎng)的分布，建立的基于形函數(shù)插值的流線追蹤方法可以作為油藏?cái)?shù)值模擬的一個(gè)后處理程序，可解決常規(guī)油藏?cái)?shù)值模擬獲得流線分布的難題。

(3) 研究油藏?cái)?shù)值模擬過(guò)程中流線的變化規(guī)律，較壓力和飽和度場(chǎng)分布更直觀，可為動(dòng)態(tài)分析提供更多的依據(jù)，能更好地指導(dǎo)開(kāi)發(fā)調(diào)整和綜合治理。

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編輯 姜 嶺

20160120；改回日期：20160922

國(guó)家科技重大專項(xiàng)“渤海灣盆地黃驊坳陷灘海開(kāi)發(fā)技術(shù)示范工程”(2011ZX05050)

劉洪(1981-)，男，工程師，2003年畢業(yè)于江漢石油學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，2012年畢業(yè)于長(zhǎng)江大學(xué)油氣田開(kāi)發(fā)工程專業(yè)，獲博士學(xué)位，現(xiàn)從事油氣田開(kāi)發(fā)工作。

10.3969/j.issn.1006-6535.2016.06.018

TE312

A

1006-6535(2016)06-0082-04