GdKP方程的最優(yōu)系統(tǒng)和群不變解

李婷，沃維豐

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 寧波 315211)

GdKP方程的最優(yōu)系統(tǒng)和群不變解

李婷，沃維豐

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 寧波 315211)

利用經(jīng)典李群方法對(duì)GdKP方程進(jìn)行Lie對(duì)稱分析，求得該方程的Lie對(duì)稱代數(shù)，及其相應(yīng)的約化方程和最優(yōu)系統(tǒng).更進(jìn)一步，作者求出了dKP方程的部分群不變解.該方法在物理中有廣泛的應(yīng)用.

GdKP方程；李群方法；對(duì)稱約化；最優(yōu)系統(tǒng)

1 引言

孤子理論的產(chǎn)生和發(fā)展蘊(yùn)藏著一系列求解偏微分方程精確解的方法，如反散射方法、Darboux變換、Backlund變換、Lie對(duì)稱分析等等.目前，尋求非線性微分方程相似約化解的最基本有效的方法有[1]：Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的經(jīng)典李群法，Bluman和Olver等推廣的非經(jīng)典李群法[23]，Clarkson和Kruskal提出的CK直接法[4]等.前兩種方法主要是基于群論，后一種方法是基于代數(shù)角度來約化方程.

本文主要考慮GdKP方程[57]

其中，f是關(guān)于u的任意函數(shù).一方面，給出方程(1)的Lie對(duì)稱代數(shù)和約化方程，算出該5維生成元的一個(gè)最優(yōu)系統(tǒng)[2]；另一方面，根據(jù)GdKP方程的最優(yōu)系統(tǒng)和李代數(shù)，得到dKP方程

的部分群不變解.

2 GdKP方程的對(duì)稱和約化方程

一般地，k階微分方程F(x，u，?u，?2u，···，?ku)=0在由生成元

生成的群變換下是不變的，當(dāng)且僅當(dāng)

當(dāng)F(x，u，?u，?2u，···，?ku)=0時(shí).

設(shè)方程(1.1)滿足的點(diǎn)李對(duì)稱的無窮小生成元為

向量場(3)的二階延拓pr(2)X對(duì)方程(1)應(yīng)用李群方法，要求它的解集S={u|△=0}在該向量場所產(chǎn)生的對(duì)稱群的作用下是不變的，則必須滿足下列條件：

方程(4)對(duì)任意的x，t，u，ux，ut，uxt和uxx都成立，因此通過提x，t，u，ux，ut，uxt和uxx以及他們乘積的系數(shù)，得到關(guān)于ξi(i=1，···，4)的超定方程組.求解該方程組，最后得到方程(1)的李對(duì)稱為

其中，ci(i=1，···，5)是任意常數(shù).因此，方程(1)的對(duì)稱群的向量場為

一個(gè)微分方程的對(duì)稱群就是將方程的解仍變換為該方程的解的變換群.因此，若得到了方程的對(duì)稱群或者 Lie對(duì)稱代數(shù)，便可以用來求方程的其它解，即群不變解.取定無窮小Xi(i=1，···，5)之后，我們來求解特征方程

以得到相似變量和向量場約化形式.然后，將它們代入原方程(1)中，便可以得到相應(yīng)的對(duì)稱約化方程.

2.1 X1對(duì)應(yīng)的約化方程及其李對(duì)稱分析

X1對(duì)應(yīng)的積分特征方程(7)為通過求解此方程，可得相似不變量和向量場約化形式u=U(ξ，η).將它們代入方程(1)并化簡，求得U(ξ，η)滿足一個(gè)2維約化方程

利用經(jīng)典李群方法，對(duì)方程 (8)繼續(xù)進(jìn)行李對(duì)稱分析，求得：方程 (8)滿足的點(diǎn)李對(duì)稱的無窮小生成元 v=(ξ2-2η)?ξ+ξη?η，相似不變量和向量場約化形式U(ξ，η)=F(τ)，方程就能約化成F(τ)滿足的一個(gè)常微分方程.

2.2 X2對(duì)應(yīng)的約化方程及其李對(duì)稱分析

對(duì)于X2，求解方程(7)解得相似不變量是t和ξ=y2-4tx，和向量場約化形式u=U(t，ξ).將它們代入方程(1)，求得U(t，ξ)滿足一個(gè)2維約化方程

對(duì)方程 (9)繼續(xù)進(jìn)行李對(duì)稱分析，求得：方程 (9)滿足的點(diǎn)李對(duì)稱的無窮小生成元v=c1t?t+(2c1ξ+c2t)?ξ(其中，c1和c2為任意常數(shù))，相似不變量和向量場約化形式分別是：將它們代入方程(9)中，求得F(τ)滿足

其中，f是關(guān)于F的函數(shù)，F(xiàn)是關(guān)于τ的函數(shù).

2.3 X3對(duì)應(yīng)的約化方程及其李對(duì)稱分析

求解特征方程(7)給出：相似不變量x和t，和u=U(x，t).將它們代入方程(1)約化可得2維偏微分方程：

對(duì)方程(11)繼續(xù)進(jìn)行李對(duì)稱分析，求得：方程(11)的對(duì)稱群的向量場為

(c1～c3為任意常數(shù))，相似不變量向量場約化形式為 U(x，t)=F(τ).特別地，若對(duì)每一個(gè)關(guān)于ci的無窮小生成元求約化方程，可求得下列結(jié)果(見表 2.1，其中f=f(F)).

表2.1 方程(11)的約化方程

2.4 X4對(duì)應(yīng)的約化方程及其李對(duì)稱分析

求解特征方程(7)得到相似不變量是x和y，和向量場約化形式u=U(x，y)，其中U(x，y)滿足一個(gè)2維約化方程：

對(duì)方程(12)繼續(xù)進(jìn)行李對(duì)稱分析，求得：方程(12)的對(duì)稱群的向量場是

表2.2 方程(12)的約化方程

2.5 X5對(duì)應(yīng)的約化方程及其李對(duì)稱分析

積分特征方程(7)解得相似不變量是y和t，向量場約化形式u=U(y，t).將它們代入方程(1)可以得到

進(jìn)一步地，解得U(y，t)=yg1(t)+g2(t)，其中g(shù)1(t)，g2(t)均是關(guān)于t的任意函數(shù).

3 GdKP方程的最優(yōu)系統(tǒng)

方程(1)的無窮小對(duì)稱的李代數(shù)由(6)式生成，根據(jù)最優(yōu)系統(tǒng)理論[816]，表3.1列出了李代數(shù)(6)的交換關(guān)系，其中表值(i，j)表示換位子[Xi，Xj].

伴隨作用由李級(jí)數(shù)給出，其中[Xi，Xj]為李代數(shù)的換位子，?為參數(shù).表3.2給出了李代數(shù)(6)的伴隨作用，其中表值(i.j)為

表3.1 代數(shù)(6)的交換關(guān)系

表3.2 代數(shù)(6)的伴隨表示

定理3.1 代數(shù)(6)的一維優(yōu)化系統(tǒng)由向量場

4 dKP方程的部分精確解

當(dāng)GdKP方程(1)中f(u)=u時(shí)，方程(1)便化為常見的dKP方程(2).現(xiàn)在，利用定理3.1 GdKP方程的最優(yōu)系統(tǒng)和李群方法，我們來求解dKP方程(2)的群不變解.要注意的是，不是所有群都能求出群不變解，群不變解的存在性準(zhǔn)則參看文獻(xiàn)[17].在這里，直接列出方程(2)的部分群不變解：

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[17]Ovsiannikov L V.Group Analysis of Differential Equations[M].New York：Academic Press，1982.

Optimal system and group-invariant solutions for the GdKP equation

Li Ting，Wo Weifeng
(Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

In this paper，the symmetries，similarity reductions and optimal system for the GdKP equation are studied by the classical Lie symmetry method.Furthermore，some group-invariant solutions for the dKP equation are obtained.

GdKP equation，Lie group method，similarity reductions，optimal system

O178

A

1008-5513(2016)03-0324-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.011

2016-01-12.

國家自然科學(xué)基金(11201249)；浙江省自然基金(LY16A010002)；寧波大學(xué)科研基金(XKL14D2040).

李婷(1989-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.

沃維豐(1981-)，博士，講師，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:58F07，81R25