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    偏錐b-度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理

    2016-12-21 09:23:46張慧芳薛西鋒
    關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)范數(shù)度量

    張慧芳,薛西鋒

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

    偏錐b-度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理

    張慧芳,薛西鋒

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

    在偏錐度量空間的基礎(chǔ)上,介紹了偏錐b-度量空間的相關(guān)概念,提出了偏錐b-度量空間和錐b-度量空間的關(guān)系,并給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子,最后研究了偏錐b-度量空間中在沒(méi)有正規(guī)性的條件下的一些不動(dòng)點(diǎn)定理,從而推廣了巴拿赫壓縮原理.

    偏錐b-度量空間;不動(dòng)點(diǎn)定理;非正規(guī)性

    1 引言

    文獻(xiàn) [1]提出了錐度量空間及一些基本概念,并研究了正規(guī)錐下的一些不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[2]研究了非正規(guī)錐度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理.文獻(xiàn)[3]提出了錐b-度量空間中在沒(méi)有正規(guī)性條件下的一些不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[4]在非正規(guī)的偏錐度量空間中推廣了巴拿赫壓縮原理,本文在文獻(xiàn)[1-4]的基礎(chǔ)上,提出了偏錐b-度量空間的相關(guān)概念,并指出了其和錐b-度量空間的關(guān)系,最后證明了非正規(guī)偏錐b-度量空間中的一些不動(dòng)點(diǎn)定理.

    2 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)E是一個(gè)拓?fù)湎蛄靠臻g,P是E的一個(gè)非空閉子集,若滿足:

    則稱P為E中的一個(gè)錐.設(shè)x,y∈E,若x≤y?y-x∈P和x?y?y-x∈intP,則稱“≤”和“?”都為E中的偏序,這里intP表示P的內(nèi)部.若intPΦ,則稱P為體錐.如果對(duì)于任意的x,y∈E都存在常數(shù)M>0,使得當(dāng)θ≤x≤y,都有‖x‖≤M‖y‖,則稱P為范數(shù)向量空間(E,‖·‖)中的正規(guī)錐,而滿足上式最小的M稱為P的正規(guī)常數(shù).

    引理 2.1[4]設(shè)P為范數(shù)向量空間(E,‖·‖)的一個(gè)體錐,{un}是E的一個(gè)序列,若對(duì)每個(gè)ε∈intP,存在一個(gè)正整數(shù)n0,使得ε±un∈intP,即un?ε,對(duì)所有的n≥n0,則un依范數(shù)收斂于θ.

    引理2.2[5]設(shè)(X,d)為Rn+上的完備的錐度量空間,且有映射 T:X→X.若存在一個(gè)線性有界映射L:Rn+→Rn+,且它的譜半徑r(L)<1,使得

    定義 2.1[1]設(shè) X 是一個(gè)非空集合,P是拓?fù)湎蛄靠臻g E的一個(gè)錐,假設(shè)映射 d:X×X→P滿足:

    定義 2.2[3]設(shè)X是一個(gè)非空集合,P是拓?fù)湎蛄靠臻gE的一個(gè)錐,s≥1為給定的實(shí)數(shù),假設(shè)映射d:X×X-→P滿足:

    定義 2.3[4]設(shè) X 是一個(gè)非空集合,P是拓?fù)湎蛄靠臻g E的一個(gè)錐.假設(shè)對(duì)于任意的x,y,z∈X,映射p:X×X-→P滿足:

    定義 2.4 設(shè)X是一個(gè)非空集合,P是拓?fù)湎蛄靠臻gE的一個(gè)錐,s≥1為給定的實(shí)數(shù).假設(shè)對(duì)于任意的x,y,z∈X,映射p:X×X-→P滿足:

    注 2.1每個(gè)錐b-度量空間都是一個(gè)偏錐b-度量空間.下面的例子表明了偏錐b-度量空間卻不一定是錐b-度量空間.

    定義2.5[4]設(shè)(X,p)為一個(gè)偏錐b-度量空間,{xn}?X,x∈X,則

    定義2.6[6-7]設(shè)(X,p)為范數(shù)向量空間(E,‖·‖)上的關(guān)于體錐P的偏錐b-度量空間.

    3 主要結(jié)果及其證明

    定理3.1 設(shè)(X,p)是范數(shù)向量空間(E,‖·‖)的一個(gè)體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間,且有映射 T:X→X.如果存在一個(gè)線性有界映射L:P→P,且r(L)<1,使得

    定理3.2 設(shè)(X,p)是范數(shù)向量空間(E,‖·‖)的一個(gè)體錐P上θ-完備的偏錐b-度量空間,且有映射 T:X→X.若存在四個(gè)非負(fù)數(shù)c1,c2,c3,c4,且c1+c2+c3+2c4<1,使得

    參考文獻(xiàn)

    [1]Huang Longguang,Zhang Xian.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Mathematica Analysis and Applications,2007,332:1468-1476.

    [2]Rezapour S,Hamlbarani R.Some notes on the paper’Cone Metric Spaces and fixed Point theorems of contractive mappings’[J].Mathematica Analysis and Applications,2008,345:719-724.

    [3]Huang H,Xu S.Fixed Point theorems of contractive mappings in cone b-metric spaces and applications[J]. Fixed Point Theory and Applications,2014,2014:1-5..

    [4]Jiang S,Li Z.Extensions of Banach contraction principle to partial cone metric spaces over a non-normai solid cone[J].Fixed Point Theory and Applications,2013,2013(1):1-9.

    [5]Agarwal R P.Contraction and approximate contraction with an application to multi-point boundary value problems[J].Comput.Appl.Math.,1983,9:315-325.

    [6]Sonmez A.Fixed Point theorems in partial cone metric spaces[J].arxiv,2011:1101.2741v2.

    [7]Sonmez A.On partial cone metric space[J].arxiv,2012:1207.6766v1.

    Fixed point theorems in partial cone b-metric spaces

    Zhang Huifang,Xue Xifeng
    (College of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

    In this paper,we introduce the relevant concepts of partial cone b-metric spaces on the basis of partial cone metric spaces.Then we put forward the relationship between partial cone b-metric spaces and cone b-metric spaces and give a simple example.At last,We study some fixed point theorems in partial cone b-metric spaces over a non-normal solid cone.Our results also generalize Banach contraction principle.

    partial cone b-metric spaces,fixed point theorems,non-normality

    O177.91

    A

    1008-5513(2016)03-0263-08

    10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.05

    2015-11-04.

    陜西省自然科學(xué)基金(2012JM1017).

    張慧芳(1990-),碩士生,研究方向:非線性泛函分析.

    2010 MSC:60B12

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