帶攝動力擬合的低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌STCKF算法

李兆銘 楊文革 丁丹 王超

(1.裝備學(xué)院研究生院,北京 101416;2.裝備學(xué)院光電裝備系,北京 101416;3.西安衛(wèi)星測控中心,西安 710043)

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帶攝動力擬合的低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌STCKF算法

李兆銘1楊文革2丁丹2王超3

(1.裝備學(xué)院研究生院,北京 101416;2.裝備學(xué)院光電裝備系,北京 101416;3.西安衛(wèi)星測控中心,西安 710043)

針對低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌過程中濾波初值及軌道模型不精確導(dǎo)致定軌精度降低的問題,提出一種帶攝動力擬合的強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波(Strong Tracking Cubature Kalman Filter,STCKF)算法．通過強(qiáng)跟蹤濾波(Strong Tracking Filter,STF)的等價(jià)表示計(jì)算次優(yōu)漸消因子以在線實(shí)時調(diào)整增益矩陣,強(qiáng)迫殘差序列相互正交,有效降低了對初始狀態(tài)的敏感性．使用歐拉預(yù)測校正法對帶J2項(xiàng)攝動的軌道動力學(xué)方程進(jìn)行離散,用多項(xiàng)式擬合函數(shù)表示其余攝動力以提高模型精度．仿真結(jié)果表明,帶攝動力擬合的STCKF算法可以有效提高實(shí)時定軌精度,并且降低了定軌精度對濾波初值的依賴．

攝動力;多項(xiàng)式擬合;實(shí)時定軌;強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波;歐拉預(yù)測校正法

DOI 10.13443/j.cjors.2016011702

引 言

近年來低軌衛(wèi)星的數(shù)量日益增多,軌道資源愈發(fā)緊張,為了提高空間資源利用效率,需要對低軌衛(wèi)星進(jìn)行監(jiān)視、編目和預(yù)報(bào)．對低軌衛(wèi)星的監(jiān)視需要實(shí)時確定被測衛(wèi)星的軌道狀態(tài),雷達(dá)以其全天時、全天候的工作特點(diǎn)成為空間監(jiān)視系統(tǒng)中一類重要的傳感器[1-2],研究利用其輸出的測距、測速和測角數(shù)據(jù)對低軌衛(wèi)星進(jìn)行實(shí)時定軌在本質(zhì)上是一個非線性濾波問題,具有重要的研究價(jià)值．

擴(kuò)展卡爾曼濾波[3](Extended Kalman Filter,EKF)算法和無跡卡爾曼濾波[4-5](Unscented Kalman Filter,UKF)算法是解決非線性濾波問題的常用方法．但EKF算法對強(qiáng)非線性系統(tǒng)的濾波精度較低且魯棒性不強(qiáng)．強(qiáng)跟蹤濾波[6-7](Strong Tracking Filter,STF)算法通過在EKF算法中引入次優(yōu)漸消因子在線實(shí)時調(diào)整增益矩陣,迫使殘差序列相互正交,具有較強(qiáng)的魯棒性和對初始狀態(tài)的低敏感性,但并沒有在本質(zhì)上提高濾波精度．UKF算法采用Sigma點(diǎn)的分布近似表示非線性函數(shù)的分布,具有較高的濾波精度,但在采樣點(diǎn)和權(quán)值等參數(shù)的選取上沒有明確的理論依據(jù),且當(dāng)變量維數(shù)大于3時,負(fù)權(quán)值的存在使得協(xié)方差矩陣不滿足半正定條件,降低了濾波穩(wěn)定性．2009年Arasaratnam[8-9]等采用一組等權(quán)值的容積點(diǎn)集來解決貝葉斯濾波積分問題,提出容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF)算法,該算法在本質(zhì)上與UKF同屬一個濾波處理框架,并具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,同時降低了計(jì)算量,目前已經(jīng)在許多領(lǐng)域取得了應(yīng)用．針對地基實(shí)時定軌中的非線性濾波問題,文獻(xiàn)[10]驗(yàn)證了CKF算法在實(shí)時定軌中具有更高的精度和數(shù)值穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[11]采用非線性預(yù)測濾波對模型誤差進(jìn)行補(bǔ)償修正,進(jìn)一步提高了實(shí)時定軌的精度．但在上述研究中狀態(tài)方程僅考慮了J2項(xiàng)攝動,對于低軌衛(wèi)星,忽略大氣阻力等攝動影響會造成較大的模型誤差．同時,實(shí)時定軌濾波初值由地面測控中心提供,并外推至濾波初始時刻,當(dāng)軌道歷元與濾波初始時刻間隔較長時,容易造成濾波初值與真實(shí)值偏差較大,從而降低實(shí)時定軌的精度．

針對低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌過程中濾波初值及軌道模型不精確導(dǎo)致定軌精度降低的問題,本文提出一種帶攝動力擬合的STCKF算法．該算法兼具了CKF算法的高精度和STF算法的強(qiáng)魯棒性,有效降低了對初始狀態(tài)的敏感性．并用多項(xiàng)式擬合函數(shù)表示其余攝動力,提高了軌道模型精度．仿真結(jié)果表明,本文提出的算法可以在有效提高定軌精度的同時降低定軌精度對濾波初值的依賴,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值．

1 STCKF濾波算法

考慮如下離散非線性動態(tài)系統(tǒng):

xk=f(xk-1)+wk-1;

(1)

yk=h(xk)+vk．

(2)

式中：xk∈Rnx為狀態(tài)向量;yk∈Rny為量測向量;系統(tǒng)噪聲wk-1和量測噪聲vk相互獨(dú)立,且滿足wk-1～(0,Qk-1),vk～(0,Rk)．

1.1 STF基本算法

STF算法由EKF算法改進(jìn)而來,其計(jì)算過程為:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

步驟1 估算殘差εk的協(xié)方差矩陣Vk

(8)

式中,0<ρ≤1被稱作遺忘因子,常取ρ=0.95．

步驟2 計(jì)算矩陣Nk和Mk

(9)

(10)

為了使?fàn)顟B(tài)估計(jì)更加平滑,避免漸消因子引起過調(diào)節(jié)作用,在式(9)中引入弱化因子β(β≥1),其數(shù)值主要通過計(jì)算機(jī)仿真確定．

步驟3 計(jì)算漸消因子λk的次優(yōu)解

(11)

1.2 STF算法的等價(jià)表示

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(9)、(10)便得Nk和Mk的等價(jià)表達(dá)式為:

(16)

(17)

1.3 STCKF算法

CKF算法采用Spherical-Radial原則,利用一組等權(quán)值的容積點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對貝葉斯濾波積分的非線性逼近．當(dāng)采用三階容積準(zhǔn)則時,容積點(diǎn)總數(shù)是狀態(tài)維數(shù)的2倍,容積點(diǎn)及其權(quán)值取為

i=1,2,…,m=2nx．

(18)

式中：ξ(i)為容積點(diǎn);ωi為對應(yīng)的權(quán)值;[1]i表示矩陣

(19)

的第i列．

利用式(16)和式(17)便可以將STF算法與CKF算法結(jié)合得到STCKF算法,其步驟如下:

步驟1 濾波器初始化

(20)

循環(huán)k=1,2,…,完成以下步驟．

步驟2 時間更新

(21)

(22)

(23)

(24)

步驟3 計(jì)算漸消因子λk

(25)

(26)

(28)

(29)

步驟4 量測更新

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

步驟5 狀態(tài)更新

(37)

(38)

(39)

2 實(shí)時定軌數(shù)學(xué)模型

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

在低軌衛(wèi)星所受的攝動力中,J2項(xiàng)攝動是指地球非球形攝動中的J2項(xiàng)部分,是攝動力中的最主要部分．在地球固連坐標(biāo)系(下文簡稱地固系)中描述衛(wèi)星的運(yùn)動,考慮J2項(xiàng)引力攝動,衛(wèi)星軌道動力學(xué)方程為[12]

(40)

(41)

式中,h為步長.按照上述格式可以將式(40)寫成如下狀態(tài)方程形式:

Xk=f(Xk-1)+wk-1．

(42)

對于低軌衛(wèi)星,忽略大氣阻力等攝動影響會造成較大的模型誤差,然而傳統(tǒng)的高精度軌道數(shù)值計(jì)算會造成較大的計(jì)算壓力,降低實(shí)時性．為此,考慮使用多項(xiàng)式擬合函數(shù)來近似表達(dá)其余攝動力以提高狀態(tài)模型的精度．

px=a0+a1t+…+amtm．

(43)

由曲線擬合的定義,應(yīng)使

(44)

取極小值進(jìn)而可得出系數(shù)ai是下面線性方程組的解:

(45)

式中,

(46)

(47)

2.2 量測方程

在雷達(dá)站地平坐標(biāo)系(下文稱地平系)中描述量測方程,地固系到地平系的轉(zhuǎn)換矩陣為

(48)

(49)

(50)

(51)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

STK(Satellite Tool Kit)是美國AGI公司開發(fā)的用于航天領(lǐng)域仿真的專業(yè)軟件,具有很強(qiáng)的適用性和極高的可信度．為了得到可靠的仿真數(shù)據(jù),參考軌道數(shù)據(jù)由STK中高精度軌道預(yù)報(bào)(High Precision Orbit Propagation,HPOP)算法產(chǎn)生,該算法考慮了地球非球形攝動、大氣阻力攝動、三體引力攝動和太陽光壓攝動的影響．衛(wèi)星過境分析用Access模塊生成,同時可以生成模擬測距、測速和測角數(shù)據(jù)．仿真場景為地面雷達(dá)站對低軌太陽同步軌道衛(wèi)星進(jìn)行實(shí)時定軌,軌道歷元為1 Jul 2015 13:05:00(UTCG),半長軸6 778.137 km,偏心率0,軌道傾角97.035°,升交點(diǎn)赤經(jīng)279.066°,近地點(diǎn)幅角0°,真近點(diǎn)角0°．雷達(dá)站地理緯度為29.782 6°,經(jīng)度為108.261°．雷達(dá)站對低軌衛(wèi)星的可見時間窗口為1 Jul 2015 16:14:00(UTCG)到1 Jul 2015 16:21:00(UTCG),持續(xù)420 s．假設(shè)測距精度為60 m,測速精度為0.1 m/s,測角精度為0.015°．

首先,對攝動力進(jìn)行擬合,分別用高精度軌道預(yù)報(bào)算法和狀態(tài)方程(42)預(yù)報(bào)可見時間窗口內(nèi)的軌道值,然后采用6階多項(xiàng)式對該時間窗口內(nèi)的攝動力進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果為

采用6階多項(xiàng)式擬合是仿真得出的結(jié)論,而低階多項(xiàng)式擬合的精度較低．用整個過境段的高精度軌道預(yù)報(bào)與狀態(tài)方程預(yù)報(bào)的差擬合出攝動力,從而修正狀態(tài)方程進(jìn)行濾波迭代．低軌衛(wèi)星過境時間為5 min左右,每次定軌都要對攝動力進(jìn)行重新擬合．以對高精度軌道擬合為例,給出x、y、z三個方向的擬合誤差，如圖1所示．可以看到,由于衛(wèi)星過境時間較短,可見弧段軌道曲率較小,因此用多項(xiàng)式擬合可以達(dá)到較高的擬合精度．

圖1 x、y、z三個方向的擬合誤差

為了驗(yàn)證本文提出的帶攝動力擬合STCKF算法的性能,將其與標(biāo)準(zhǔn)CKF、帶攝動力擬合CKF和STCKF算法分三種情況進(jìn)行仿真對比分析,如表1所示．

表1 三種仿真情況

三種情況的濾波初值分別為:

2177 -1252 7324];

2177 -1252 7324];

2177 -1252 7324].

STCKF濾波器參數(shù)為:

β=100,ρ=0.95．

采用位置均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)和速度RMSE來評價(jià)實(shí)時定軌結(jié)果,位置RMSE定義如下:

(52)

式中,N為蒙特卡洛仿真次數(shù)．

取觀測數(shù)據(jù)時間間隔T=1.0 s,運(yùn)行200次蒙特卡洛仿真．三種情況的仿真結(jié)果如圖2～4所示,為了表述得更加清晰,對300～420 s進(jìn)行局部放大,并統(tǒng)計(jì)位置和速度的平均RMSE列于表2．從仿真結(jié)果可以看出,當(dāng)濾波初值與真實(shí)值相差較小時,CKF算法與STCKF算法精度相當(dāng),帶攝動力擬合CKF算法與帶攝動力擬合STCKF算法精度相當(dāng),說明強(qiáng)跟蹤算法本身并沒有提高精度,而是用擬合攝動力修正了模型,從而將定軌位置精度提高了32.728 m．隨著濾波初值與真實(shí)值的偏差逐漸增大,CKF算法與帶攝動力擬合CKF算法的定軌精度明顯下降,而STCKF算法與帶攝動力擬合STCKF算法的定軌精度基本維持不變,證明了強(qiáng)跟蹤算法對濾波初值的低敏感性．當(dāng)濾波初值與真實(shí)值的偏差達(dá)到173 km時,STCKF算法定軌精度維持在58 m左右,而帶攝動力擬合的STCKF算法的定軌精度維持在28 m左右．同時,帶攝動力擬合STCKF算法運(yùn)行200次的時間為60.3 s,平均運(yùn)行一次的時間為0.301 5 s,而運(yùn)行一次需要迭代計(jì)算420 s的數(shù)據(jù),由此可見該算法具有很強(qiáng)的實(shí)時性．

(a) 位置RMSE比較 (b) 速度RMSE比較圖2 四種算法對比(情況一)

情況定軌RMSECKF攝動力擬合CKFSTCKF攝動力擬合STCKF情況一位置RMSE/m60.71728.67558.20127.989速度RMSE/(m/s)0.4160.1860.4280.184情況二位置RMSE/m94.92759.59457.02328.216速度RMSE/(m/s)0.6830.4360.4190.180情況三位置RMSE/m1584.4051543.72859.01928.970速度RMSE/(m/s)9.8309.5630.4280.189

4 結(jié) 論

針對低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌過程中濾波初值及軌道模型不精確導(dǎo)致定軌精度降低的問題,提出了一種帶攝動力擬合的STCKF算法．通過STF的等價(jià)表示計(jì)算次優(yōu)漸消因子以在線實(shí)時調(diào)整增益矩陣,強(qiáng)迫殘差序列相互正交,有效降低了對初始狀態(tài)的敏感性．使用歐拉預(yù)測校正法對帶J2項(xiàng)攝動的軌道動力學(xué)方程進(jìn)行離散,用多項(xiàng)式擬合函數(shù)表示其余攝動力以提高模型精度．仿真結(jié)果表明:

1) 當(dāng)濾波初值與真實(shí)值相差較小時,在軌道模型中加入攝動力的多項(xiàng)式擬合函數(shù)可以有效提高濾波定軌精度．

2) 隨著濾波初值與真實(shí)值的偏差逐漸增大,CKF算法的定軌精度明顯下降,而本文算法則將定軌精度維持在28 m左右,證明本文算法對濾波初值具有低敏感性．

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李兆銘 (1989-),男,黑龍江人,裝備學(xué)院博士研究生,研究方向?yàn)楹教鞙y控最優(yōu)狀態(tài)估計(jì).

An STCKF algorithm for LEO satellite orbit determination with disturbing fitting function

LI Zhaoming1YANG Wenge2DING Dan2WANG Chao3

(1.CompanyofPostgraduateManagement,AcademyofEquipment,Beijing101416,China;2.DepartmentofOpticalandElectricalEquipment,AcademyofEquipment,Beijing101416,China;3.Xi’anSatelliteControlCenter,Xi’an710043,China)

A strong tracking cubature Kalman filter(STCKF) algorithm with disturbing fitting function is proposed for Leo satellite orbit determination when inaccurate initial value and orbit model lead to low precision of filter.The suboptimal fading factor is calculated using the equivalent expression of strong tracking filter(STF) to adjust the gain matrix online and to force the residual sequence orthogonal to each other, which effectively reduces the sensitivity to the initial state.Improved Eular method is used to disperse the orbital dynamic equation withJ2perturbation, and the polynomial fitting function is used to represent the rest disturbing force.The simulation results show that STCKF with disturbing fitting function can effectively improve the orbit determination accuracy, and reduce the dependence on initial value of the filter.

disturbing force;polynomial fitting;orbit determination;strong tracking cubature Kalman filter;improved Eular method

李兆銘, 楊文革, 丁丹, 等.帶攝動力擬合的低軌衛(wèi)星實(shí)時定軌STCKF算法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(5):843-850.

10.13443/j.cjors.2016011702

LI Z M, YANG W G, DING D, et al.An STCKF algorithm for LEO satellite orbit determination with disturbing fitting function[J].Chinese journal of radio science,2016,31(5):843-850.(in Chinese).DOI：10.13443/j.cjors.2016011702

2016-01-17

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(2015AA7026085)

V249.3

A

1005-0388(2016)05-0843-08

聯(lián)系人：李兆銘 E-mail：ilovemolly@163.com