空間誤差分量模型的Bootstrap LM檢驗

梁凱喬，陳青青

（1.南京大學(xué) 廣發(fā)銀行博士后科研工作站，南京 210093；2.廣東南方廣播影視傳媒集團有限公司，廣州510012）

空間誤差分量模型的Bootstrap LM檢驗

梁凱喬1，陳青青2

（1.南京大學(xué) 廣發(fā)銀行博士后科研工作站，南京 210093；2.廣東南方廣播影視傳媒集團有限公司，廣州510012）

空間誤差分量模型（Spatial Error Components，SEC）傳統(tǒng)的空間相關(guān)性LM檢驗存在嚴(yán)重的水平扭曲和較低的檢驗功效，導(dǎo)致檢驗統(tǒng)計量失效。文章將Bootstrap方法應(yīng)用于SEC模型的空間相關(guān)性LM檢驗，提高檢驗統(tǒng)計量的有效性。Monte Carlo模擬實驗表明，Bootstrap LM檢驗的水平受誤差項分布、空間權(quán)重矩陣和樣本量影響較小，并且遠優(yōu)于漸近LM檢驗，具有理想的檢驗水平；漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均隨著空間相關(guān)性的增強，及樣本量的增大而增大，但Bootstrap LM檢驗在各種情形下均具有更高的檢驗功效，尤其是樣本量較小時。簡言之，Bootstrap LM檢驗是SEC模型更為優(yōu)越的空間相關(guān)性檢驗方法。

空間誤差分量模型；Bootstrap抽樣；LM檢驗；Monte Carlo模擬

0 引言

空間經(jīng)濟計量模型已成為經(jīng)濟計量領(lǐng)域的重要分支和研究熱點之一[1]，為處理經(jīng)濟運行中的空間交互作用和空間結(jié)構(gòu)差異等問題提供了新的研究視角與分析工具。其基本思想是，將研究對象間由于地理位置鄰近、經(jīng)濟條件接近等產(chǎn)生的空間相互關(guān)系引入經(jīng)典的經(jīng)濟計量模型中。根據(jù)空間形式的差異，空間經(jīng)濟計量模型主要分為空間滯后模型（Spatial Lag，SLAG）和空間誤差自相關(guān)模型（Spatial Error Autoregressive，SEAR），分別研究因變量和誤差項中的空間相關(guān)性產(chǎn)生的影響。其表達式分別如下：

空間滯后模型（SLAG）：

y=Xβ+λWy+ε

空間誤差自相關(guān)模型（SEAR）：

y=Xβ+ε，ε=ρWε+u

式中，W是空間權(quán)重矩陣，通常設(shè)定為地理空間權(quán)重矩陣，即研究對象為相鄰區(qū)域，則對應(yīng)的權(quán)重取1，否則取0。一般的，對W進行行標(biāo)準(zhǔn)化，λ和ρ為空間自回歸系數(shù)。

Anselin（2001）[2]等文獻對SLAG和SEAR模型進行了深入的研究，已基本解決經(jīng)典經(jīng)濟計量模型的空間相關(guān)性檢驗和模型估計等問題。不過，Kelejian&Robinson（1993，1995）[3，4]指出，經(jīng)典空間誤差模型存在著兩點不足之處：第一，在理論研究上，經(jīng)典經(jīng)濟計量模型對空間相關(guān)性系數(shù)存在嚴(yán)格的限制條件，即 ||λ<1， ||ρ<1，如無法滿足該假設(shè)，將導(dǎo)致誤差項方差的奇異性以及誤差過程的不穩(wěn)定性，影響模型的檢驗統(tǒng)計量和參數(shù)估計方法的可靠性；第二，在實證研究上，經(jīng)典空間經(jīng)濟計量模型假設(shè)模型中僅存在空間溢出效應(yīng)，例如SEAR模型中，ε=(I-ρW)-1u，即假定對于某地區(qū)的所有誤差沖擊因素，都將由于空間相互作用而傳導(dǎo)至鄰近地區(qū)，未考慮到某些并未產(chǎn)生空間溢出效應(yīng)的沖擊因素，夸大了空間溢出效應(yīng)。比如，在現(xiàn)實經(jīng)濟運行中，影響某一區(qū)域經(jīng)濟運行的因素異常復(fù)雜，其中，地理區(qū)位、環(huán)境污染等因素與鄰近地區(qū)息息相關(guān)，將產(chǎn)生區(qū)域間的溢出影響，但本地政策、教育資源等一些因素則主要對本地區(qū)的經(jīng)濟產(chǎn)生影響，基本不產(chǎn)生溢出效應(yīng)。經(jīng)濟計量實證研究中應(yīng)全面考慮這兩種不同的沖擊因素。

為彌補經(jīng)典空間誤差模型的缺陷，Kelejian&Robinson（1993，1995）提出了空間誤差分量模型（Spatial Error Components，SEC）：

y=Xβ+ε

ε=Wψ+ξ （1）

式（1）中，SEC模型的誤差項方差Ω為正定矩陣，在理論上保證了模型誤差項方差的非奇異性；此外，SEC模型的總誤差項ε分解為兩項相互獨立的誤差項，其中Wψ表示空間溢出的誤差沖擊（W為空間權(quán)重矩陣），ξ表示非空間溢出的區(qū)域特定沖擊?？梢?，SEC模型彌補了經(jīng)典空間經(jīng)濟計量模型的不足之處，是實證研究中更為合適的空間經(jīng)濟計量模型。

空間相關(guān)性檢驗是空間經(jīng)濟計量模型研究的前提。在SEC模型的檢驗研究方面，Kelejian&Robinson（1992）[5]在允許非線性、非正態(tài)等相對寬松的假設(shè)條件下，提出KR檢驗，可用于各種空間誤差模型的空間相關(guān)性檢驗，但其用于SEC模型時缺乏有效性；Anselin（2001）提出了LM-SEC檢驗，但Monte Carlo模擬實驗結(jié)果表明，即使在誤差項正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布的條件下，LM-SEC檢驗仍然存在較大的水平扭曲和較低的檢驗功效；Carriazo& Coulson（2010）[6]試圖修正KR檢驗，但Monte Carlo模擬實驗結(jié)果仍證明LM-SEC檢驗優(yōu)于修正的KR檢驗；Yang（2010）[7]修正了Anselin（2001）的LM-SEC檢驗統(tǒng)計量，提高了誤差項非正態(tài)時檢驗的有效性，但是仍未達到理想的有限樣本性質(zhì)，此外，龍志和等（2013）[8]研究了面板數(shù)據(jù)空間誤差分量模型的LM檢驗，但僅僅研究誤差項為正態(tài)分布的情形，對于誤差項為未知分布或異方差等情形未作深入探討。簡而言之，提高截面數(shù)據(jù)SEC模型的LM檢驗的有效性，使之達到較為理想的狀態(tài)，是目前空間經(jīng)濟計量研究中有待解決的難題之一。

Bootstrap方法（Efron，1979）[9]是解決上述難題的有效途徑之一。Bootstrap方法不需要進行誤差項的分布假設(shè)或增加新的樣本信息，只需根據(jù)給定的原始樣本，進行多次有放回的重復(fù)抽樣，通過復(fù)制觀測信息，從而對總體的分布特性進行統(tǒng)計推斷。Efron（2003）[10]進一步擴展了Bootstrap方法的使用范圍和思想，使之適用于樣本分布未知或者樣本量較小的情形。龍志和等（2010）[11，12]等將Bootstrap方法應(yīng)用于空間經(jīng)濟計量模型的Moran’s I檢驗、LM-Lag檢驗和LM-Error檢驗，模擬實驗結(jié)果均顯示，Bootstrap檢驗?zāi)苡行У某C正漸近檢驗的水平扭曲，同時功效接近漸近檢驗，是有效的檢驗方法。

本文基于以上研究基礎(chǔ)，將Bootstrap方法應(yīng)用于空間誤差分量模型的LM檢驗，解決漸近LM檢驗統(tǒng)計量失效的難題。

1 空間誤差分量模型空間相關(guān)性檢驗

鑒于經(jīng)典空間經(jīng)濟計量模型的不足之處，Kelejian& Robinson（1993，1995）提出SEC模型，其表達式如上文式（1）所示。式（1）中，假設(shè)：此外，假設(shè)誤差項ψ和ξ相互獨立，即E(ψiξj)= 0。則SEC模型誤差項方差為：

式中，IN為 N維單位矩陣，由式（2）可知，SEC模型的誤差項方差Ω為正定矩陣，由此保證了誤差項方差的非奇異性，解決了經(jīng)典空間誤差模型的困境。

在誤差項正態(tài)分布的假定下，SEC模型的對數(shù)極大似然函數(shù)為：

令θ=[σ2，γJ′，由于模型關(guān)于θ和β的信息矩陣是呈分塊對角的形式，因此，進行空間相關(guān)性LM檢驗僅需計算關(guān)于θ的子信息矩陣。

根據(jù)Magnus(1978)[12]等研究，令導(dǎo)數(shù)向量（Score Vector）為d=?L/?θ，信息矩陣為，tr表示矩陣的跡。則：

本文研究SEC模型的空間相關(guān)性LM檢驗，零假設(shè)H0:γ=0，備擇假設(shè)H1:γ>0。根據(jù)LM檢驗的基本原理，得到：

顯然的，LMSEC～χ2(1)分布。盡管LM-SEC檢驗具有良好的大樣本性質(zhì)，但Anselin（2001）、Anselin&Moreno（2003）[13]通過Monte Carlo模擬實驗研究表明，即使在誤差項正態(tài)分布條件下，LM-SEC檢驗仍具有較大的水平扭曲，且在樣本量較小或空間相關(guān)性較弱（γ較?。r，其檢驗功效也較低。

2 空間誤差分量模型Bootstrap LM檢驗

Bootstrap方法是近年來發(fā)展較快的一種經(jīng)濟計量統(tǒng)計方法，它不需對研究對象的總體分布作任何假定，僅僅通過對已有樣本進行等概率、有放回的隨機抽樣來產(chǎn)生新的樣本，然后由大量的新樣本構(gòu)建總體的經(jīng)驗分布，逼近總體的真實分布，從而判斷總體的統(tǒng)計特征。由于其寬松的假設(shè)條件以及有效性，Bootstrap方法被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、金融等領(lǐng)域。本文將Bootstrap抽樣方法應(yīng)用于SEC模型的空間相關(guān)性檢驗，提高LM-SEC檢驗的有效性。

本文重點研究SEC模型在誤差項正態(tài)分布、未知分布和存在異方差時，Bootstrap LM檢驗的有效性。文中采用殘差Bootstrap[14]抽樣方法來構(gòu)造新的樣本，進一步得到新的檢驗統(tǒng)計量及其經(jīng)驗分布。具體步驟如下：

②對N維殘差e的進行有放回的隨機抽樣，每個樣本被抽到的概率均等，由此得到新的殘差e*；

③根據(jù) y*=X+e*，由此得到一個Bootstrap樣本(y*，X)；

④對新的樣本(y*，X)再次采用OLS估計，得到殘差e1，以及根據(jù)式（9）計算得到的Bootstrap LM檢驗統(tǒng)計量L*1；

⑤重復(fù)步驟②～④共B次，得到一系列的Bootstrap LM檢驗統(tǒng)計量

根據(jù)上述Bootstrap的執(zhí)行步驟，得到Bootstrap LM檢驗的P值：

式中，I(x)是指示函數(shù)，若x表示的關(guān)系式成立，則I取值1，否則取值0。若Bootstrap LM檢驗的P值在一定的置信水平下拒絕原假設(shè)，則認為模型存在空間相關(guān)性，反之，則認為模型為普通的線性回歸模型。

3 Monte Carlo模擬實驗

本文Monte Carlo模擬實驗參數(shù)設(shè)定如下：

（1）數(shù)據(jù)生成過程為：yi=α+xiβ+εi，i=1，...N。設(shè)定α=0.5，β=5；自變量方面，設(shè)定xi=10zi+si，其中zi服從[0，1]區(qū)間的均勻分布，si～N(0，1)。

①正態(tài)分布：ξ=σξ*rndn(N，1)

式中，rndn(N，1)為隨機生成的N′1正態(tài)分布向量，σ2ξ為ξ的方差。

②未知分布：ξ=a*rndc(N，1)+(1-a)*rndt(N，1)

式中，rndc(N，1)和rndt(N，1)分別為隨機生成的N′1維卡方分布和T分布，a為隨機生成的0～1的小數(shù)，表示以a的概率選擇卡方分布。

③異方差：ξ=σξ*rndn(N，1)×x

式中，符號×表示點乘，即rndn(N，1)和x中的元素一一對應(yīng)的乘積。

（3）對于空間相關(guān)性參數(shù)γ的設(shè)定中，當(dāng)設(shè)定γ=σ2ψ/σ2ξ=0時，本文考察LM檢驗的水平，當(dāng)設(shè)定γ=σ2ψ/σ2

ξ=(0.5，1，4，8，16)時，本文考察空間相關(guān)性檢驗的功效。

（4）空間權(quán)重矩陣W設(shè)為Rook矩陣或Queen矩陣（Rook矩陣為研究對象間存在公共邊時取1，否則取0，Queen矩陣為研究對象間存在公共邊或公共點時取1，否則取0）。樣本量方面，設(shè)定N=(25，49，81)。

本文模擬實驗采用Gauss10.0軟件進行編程，理論水平值設(shè)為0.05，模擬實驗次數(shù)設(shè)定為2000次，Bootstrap次數(shù)設(shè)定為399次。本文重點比較各種設(shè)定下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的水平和功效表現(xiàn)，驗證Bootstrap LM檢驗的有效性。一般的，檢驗水平值越接近理想值0.05（即水平扭曲越?。?，檢驗功效越大，表明檢驗統(tǒng)計量越優(yōu)越。

3.1 Bootstrap LM檢驗的水平

設(shè)定γ=0，考察誤差項為正態(tài)分布、未知分布或異方差情形，空間權(quán)重矩陣選取Rook和Queen矩陣，樣本量選擇N=25、49和81等設(shè)定下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的水平表現(xiàn)，如表1所示：

表1 漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的水平

由表1，從漸近LM檢驗來看，誤差項為正態(tài)、未知分布或異方差對漸近LM檢驗的水平值影響不大，但是均存在較大的水平扭曲。使用Rook矩陣時，漸近LM檢驗明顯具有更小的水平扭曲；而隨著樣本量的增大，漸近LM檢驗的水平扭曲逐漸縮小。Bootstrap LM檢驗方面，其檢驗水平值受誤差項分布狀況、空間權(quán)重矩陣和樣本量大小影響不顯著，均接近理論值0.05，并且其水平扭曲遠遠小于漸近LM檢驗，是更為有效的檢驗統(tǒng)計量。

3.2 Bootstrap LM檢驗的功效

設(shè)定γ=(0.5，1，4，8，16)，研究LM檢驗的功效。首先，考察正態(tài)分布下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效，如圖1所示：

圖1 正態(tài)分布下漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效

圖1中，橫坐標(biāo)表示γ的變動，縱坐標(biāo)表示功效值（以下皆同）。由圖1，在誤差項正態(tài)分布情形下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均隨著空間相關(guān)性（γ）的增強而增大，并且隨著樣本量的增大而增大。當(dāng)空間相關(guān)性不強（γ=0.5）并且樣本量較?。∟=25）時，二者的檢驗功效均不理想，僅有0.1～0.4；而空間相關(guān)性較強（γ>4）且樣本量較大（N=81）時，二者的功效均接近或達到理想值1；當(dāng)空間權(quán)重矩陣使用Queen矩陣時，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效通常要優(yōu)于采用Rook矩陣。

此外，Bootstrap LM檢驗的功效在各種情形下都要優(yōu)于漸近LM檢驗，尤其是在樣本量較小或者使用Queen矩陣時，Bootstrap LM檢驗的功效顯著大于漸近LM檢驗。表明在誤差項正態(tài)分布情形下，Bootstrap LM檢驗具有更為優(yōu)越的檢驗功效表現(xiàn)。

其次，本文以Queen矩陣，N=25和49為例，比較誤差項正態(tài)分布和未知部分情形下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效。如圖2所示：

圖2 正態(tài)分布和未知分布下漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗功效比較

由圖2，各檢驗統(tǒng)計量的功效均隨著空間相關(guān)性（γ）增強而增大，隨著樣本量的增大而增大。在誤差項未知分布情形下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均小于誤差項正態(tài)分布時，但隨著空間相關(guān)性的增強，正態(tài)分布和未知分布下的檢驗功效逐漸接近。兩種LM檢驗統(tǒng)計量中，Bootstrap LM檢驗的功效要優(yōu)于漸近LM檢驗的功效，尤其是樣本量較小時（N=25），Bootstrap LM檢驗對漸近檢驗的功效有顯著的優(yōu)化。

進一步，本文以Queen矩陣，N=25和N=49為例，比較誤差項正態(tài)分布和異方差情形下，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效，如圖3所示：

圖3 正態(tài)分布和異方差下漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗功效比較

由圖3，不管是誤差項正態(tài)分布或是存在異方差，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均隨著空間相關(guān)性增強而增大，隨著樣本量增大而增大。當(dāng)誤差項存在異方差時，與誤差項未知分布的情形類似，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均小于誤差項正態(tài)分布時，但在空間相關(guān)性較強時接近。同樣的，Bootstrap LM檢驗的功效要優(yōu)于漸近LM檢驗，尤其是樣本量較小時（N=25）。

4 結(jié)論

空間誤差分量模型可彌補常見的空間滯后模型和空間誤差模型在理論和實際應(yīng)用上的不足，是實證研究中更為合理的空間經(jīng)濟計量模型。然而，空間誤差分量模型傳統(tǒng)的空間相關(guān)性LM檢驗存在較為嚴(yán)重的水平扭曲，以及較低的檢驗功效，影響其在實證研究中的有效性，本文將Bootstrap方法應(yīng)用于空間誤差分量模型的LM檢驗，試圖彌補傳統(tǒng)的漸近LM檢驗有效性不足的缺陷。Monte Carlo模擬實驗結(jié)果表明，在檢驗水平方面，漸近LM檢驗具有嚴(yán)重的水平扭曲，尤其是使用Queen矩陣時，而Bootstrap LM檢驗則在各種參數(shù)設(shè)定下保持理想的檢驗水平表現(xiàn)；在檢驗功效方面，漸近LM檢驗和Bootstrap LM檢驗的功效均隨著空間相關(guān)性增強而增大，且隨著樣本量的增大而增大。不過，不管是誤差項正態(tài)分布、未知分布，還是存在異方差，Bootstrap LM檢驗均要優(yōu)于漸近LM檢驗，尤其是當(dāng)樣本量較小時。總而言之，空間誤差分量模型的Bootstrap LM檢驗矯正了漸近LM檢驗的水平扭曲，并且顯著提高了檢驗功效，是更為有效的檢驗方法。

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（責(zé)任編輯/易永生）

F222.1

A

1002-6487（2016）21-0012-04

梁凱喬（1982—），男，廣東廣州人，博士后，研究方向：貨幣理論與政策、空間經(jīng)濟學(xué)。陳青青（1984—），男，湖南衡南人，博士，研究方向：空間經(jīng)濟學(xué)。