矩形橫截面導(dǎo)體內(nèi)衰減振蕩電流脈沖的趨膚效應(yīng)

潘 龍, 陶定峰, 何 聞, 顧邦平

(1. 浙江大學(xué) 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點實驗室,浙江 杭州 310027;2. 浙江大學(xué) 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室,浙江 杭州 310027; 3. 國網(wǎng)浙江省電力公司電力科學(xué)研究院,浙江 杭州310014)

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矩形橫截面導(dǎo)體內(nèi)衰減振蕩電流脈沖的趨膚效應(yīng)

潘 龍1,2, 陶定峰3, 何 聞1,2, 顧邦平1,2

(1. 浙江大學(xué) 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點實驗室,浙江 杭州 310027;2. 浙江大學(xué) 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室,浙江 杭州 310027; 3. 國網(wǎng)浙江省電力公司電力科學(xué)研究院,浙江 杭州310014)

為了優(yōu)化設(shè)計導(dǎo)通電流脈沖的工件以及制定電流脈沖處理材料的工藝方案,研究電流脈沖通過時電流密度、電磁場等物理量在導(dǎo)體內(nèi)部的分布情況.根據(jù)Maxwell方程組,推導(dǎo)出振蕩衰減電流脈沖通過矩形截面金屬導(dǎo)體時,電場強度、電流密度、磁感應(yīng)強度、電磁能密度和Maxwell應(yīng)力張量在橫截面分布的解析解.以電容放電通過碳鋼板狀試樣為例,計算相關(guān)物理量的分布情況.結(jié)果表明,電流、電磁場的分布存在明顯的趨膚效應(yīng),表面處的數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于心部,主要分布在距離表面深度不大于趨膚深度的表層區(qū)域.電場強度、電流密度、磁感應(yīng)強度、電磁能密度和Maxwell應(yīng)力張量都呈現(xiàn)出振蕩衰減的變化趨勢.通過電流脈沖對45碳鋼橫截面碳原子作用的不均勻現(xiàn)象驗證了趨膚效應(yīng)的存在.

振蕩電流脈沖；趨膚效應(yīng)；電磁場；電流密度；Maxwell應(yīng)力張量

隨著電流脈沖(ECP)技術(shù)以及材料處理工藝的不斷發(fā)展,ECP作為一種新的材料處理工藝,能夠改變材料的微觀結(jié)構(gòu)[1-5],改善材料的力學(xué)性能[6-9],在材料加工領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,例如用電流脈沖輔助金屬工件切割[10-11]、拉絲[12]、滾軋[13]、調(diào)控殘余應(yīng)力[14-16]等.此外,在電流脈沖技術(shù)中,要設(shè)計合理的導(dǎo)體工件,用來接通電流脈沖發(fā)生裝置和所要施加的設(shè)備.為了確定這些工件的導(dǎo)電效率和安全系數(shù),需要研究ECP在導(dǎo)體內(nèi)的分布情況.

研究ECP提高材料性能的工藝以及設(shè)計傳導(dǎo)電流脈沖的工件,都需要研究ECP通過時的電流、電場、磁場等物理量的分布情況.在材料處理中,通常采用電容放電的方法產(chǎn)生高能振蕩電流脈沖,改變材料性能或微觀結(jié)構(gòu)[4-6,8-9,16].電容產(chǎn)生的振蕩衰減電流脈沖通過材料時發(fā)生趨膚效應(yīng),Troitskii等[17-18]在研究圓形截面金屬導(dǎo)體的“電致塑性”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)趨膚效應(yīng)的存在,Molotskii等[19-20]研究了圓形截面電流分布的趨膚效應(yīng).在許多情況下,工件的橫截面是矩形的,例如,宋輝[6]研究ECP對鈦合金板材組織和性能的影響,Cai等[14]研究電流脈沖對殘余應(yīng)力影響時采用的板狀試樣.接通電流脈沖的導(dǎo)體工件通常采用矩形截面,便于接通緊固.對于矩形截面工件,求解較復(fù)雜,目前的研究文獻(xiàn)較少,本文分析矩形橫截面導(dǎo)體內(nèi)衰減振蕩電流脈沖通過時電流、電場、磁場、能量以及Maxwell應(yīng)力張量的分布情況.

本文分析矩形截面金屬導(dǎo)體的電磁趨膚效應(yīng),以矩形截面的45碳鋼試樣為例,計算出相關(guān)物理量的分布.通過電流脈沖對淬火45碳鋼試樣橫截面碳原子偏聚的影響,驗證趨膚效應(yīng)的存在.

1 理論分析

ECP通常利用電容放電產(chǎn)生.根據(jù)ECP的基本回路,分析ECP的振蕩衰減變化情況,并根據(jù)測量的通過金屬工件的電流,擬合出ECP變化的表達(dá)式.根據(jù)Maxwell方程組以及本構(gòu)關(guān)系,求解出電流脈沖密度、電場強度、磁感應(yīng)強度、能量和Maxwell應(yīng)力張量在工件橫截面的分布函數(shù).

1.1 電容放電回路分析

圖1 電容放電電路和產(chǎn)生的脈沖電流Fig.1 Circuit of capacitor discharge and generated pulse current

采用高壓電容器進(jìn)行儲能放電產(chǎn)生ECP.將電容放電回路等效成圖1(a)所示的電路.圖中,K為開關(guān),C為電容,U0為電容器充電電壓,R為放電回路的總電阻,L為放電回路的總電感,i為回路電流.如圖1(a)所示為RLC二階串聯(lián)電路,根據(jù)基爾霍夫電壓定律,得到電路方程如下：

(1)

式(1)對時間t微分,得到二階常系數(shù)微分方程：

(2)

圖1(a)中電路的初始條件為

(3)

式(2)的特征方程為

LCr2+RCr+1=0.

(4)

I(t)=I0exp (-δt)sin (ωt).

1.2 電磁場分析

利用ECP隨時間變化的函數(shù),進(jìn)一步求解電流、電場、磁場等在橫截面的分布情況.在金屬導(dǎo)體中,Maxwell方程組為

(6)

式中：E為電場強度,B為磁感應(yīng)強度,H為磁場強度,D為電位移,J為電流密度,ρv為自由電荷密度.上述變量之間的本構(gòu)關(guān)系為

J=σE,D=εE,B=μH.

(7)

式中：σ為電導(dǎo)率,ε為介電常數(shù),μ為磁導(dǎo)率.對于金屬材料,·D=ρv=0,根據(jù)式(6)、(7)可得

,

(8)

E.

(9)

進(jìn)一步由式(8)、(9)推導(dǎo)出

(10)

當(dāng)電場隨時間周期變化時,即E=E0exp (-jωt)i(i為x方向的單位法向量)，代入式(10),可得

2E=jωμ(jωε+σ)E.

(11)

為了簡化方程,定義常數(shù)傳播常數(shù)γ：

(12)

(13)

式中：α為空間衰減系數(shù),反映了電場強度的幅值由表面到中心隨厚度方向衰減的情況.幅值由表面到內(nèi)部降低到1/e的厚度為趨膚深度：

(14)

對于金屬材料,由于σ/(εω)?1,式(13)簡化為

(15)

式(15)表明,ω、σ、μ越大,趨膚深度d越小,趨膚現(xiàn)象越明顯.

將式(12)插入式(11),可得求解E的微分方程：

2E=γ2E.

(16)

對于矩形截面試樣,當(dāng)電磁場的傳播方向為x軸時,如圖2所示,邊界條件[21]為

(17)

圖2 試樣橫截面和邊界條件Fig.2 Cross section and boundary conditions of samples

對于周期函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),電場幅值在橫截面分布的情況[21]為

E(y,z)=

(18)

根據(jù)分離變量法可知,電場的解析解寫為

E(y,z,t)=Ex(y,z,t)i=E0E(t)E(y,z)i.

(19)

式中：無量綱函數(shù)E(t)、E(y,z)分別反映了電場相對強度隨時間和空間變化的情況.根據(jù)式(5)、(7)可得

E(t)=exp (-δt)cos(ωt+φE).

(20)

式中：φE為電場的初始相位,電流相位與電場相位相同,φE= 0.將式(18)、(20)代入式(19),可得電場在橫截面的分布及隨時間變化的情況：

(21)

根據(jù)式(7),可得電流的解析解為

J(y,z,t)=σE(y,z,t).

(22)

在tm時刻,工件橫截面上電流積分等于電流的最大值,即?AJ(y,z)dA=Im,據(jù)此可以求出E0.

采用分離變量法,磁感應(yīng)強度隨空間和時間變化的解析解寫為

B(y,z,t)=B0B(t)[By(y,z)j+Bz(y,z)k],

(23)

B(t)=e-δtcos(ωt+φB).

(24)

式中：B0為常量,φB為磁場的初始相位,并且

(25)

φB-φE=φ=arctan (α/β).

(26)

將式(18)～(20)、(23)、(24)代入式(6),求得

(27)

(28)

(29)

Bz(y,z,t)=

(30)

1.3 電磁場能量和Maxwell應(yīng)力分析

(31)

忽略電場對Maxwell應(yīng)力張量的影響,并且磁感應(yīng)強度計算結(jié)果表明,Bz(y,z,t)作用的部位很小,不考慮Bz(y,z,t)對Maxwell應(yīng)力張量的影響.只計算By(y,z,t)產(chǎn)生的Maxwell應(yīng)力張量,表達(dá)式為

(32)

2 計算結(jié)果與分析

當(dāng)圖1(b)所示的ECP通過45鋼矩形截面試樣時,橫截面尺寸為10 mm×1 mm,根據(jù)以上理論,計算相關(guān)物理量隨空間和時間的變化情況.45鋼的相關(guān)物理參數(shù)如下：電導(dǎo)率=107S/m[23],相對介電常數(shù)εr=1,相對磁導(dǎo)率μr=700[24].圖1所示ECP振蕩周期為T=1.62×10-4s,則ω=38 700 rad/s,根據(jù)式(14)計算出趨膚深度d=0.077 mm.

圖3 電場強度Ex、電流密度Jx和磁感應(yīng)強度By、Bz分布圖Fig.3 Distribution map of electric field intensity Ex, current density Jx and magnetic flux density By, Bz

當(dāng)t= 0.036 ms時,x軸方向的電場Ex、電流密度Jx達(dá)到最大值,Ex和Jx在橫截面上的分布如圖3(a)、(b)所示；當(dāng)t=0時,磁感應(yīng)強度達(dá)到最大值,y軸和z軸方向的磁感應(yīng)強度By、Bz在橫截面上的分布如圖3所示.由圖3(a)、(b)可以看出,Ex和Jx主要分布在試樣的表面區(qū)域,心部較小,而且表面處的數(shù)值最大.圖3(c)表明,By主要分布在試樣的上、下表面,并且兩個表面的磁感應(yīng)強度方向相反,上表面磁感應(yīng)強度為正值,下表面為負(fù)值.圖3(d)表明,Bz集中分布于試樣的棱邊區(qū)域內(nèi),其他大部分區(qū)域很小.電場強度、電流密度和y軸方向的磁感應(yīng)強度沿線段BA的分布情況,如圖4所示.圖4的結(jié)果表明,表面處電場強度、電流密度和磁感應(yīng)強度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于心部區(qū)域,主要分布在深度不大于趨膚深度d的區(qū)域,心部大部分區(qū)域數(shù)值很小.

圖4 電場強度Ex、電流密度Jx和感應(yīng)強度By沿BA段分布情況Fig.4 Distributions of electric field intensity Ex, current density Jx and magnetic flux density Byalong BA line

圖5 點A處電場強度Ex、電流密度Jx和磁感應(yīng)強度By隨時間的變化Fig.5 Curves of electric field intensity Ex, current density Jx and magnetic flux density By versus time of point A

表面點A處的Ex、Jx和By隨時間的變化如圖5所示.Ex和Jx波形保持一致,不存在相位差,隨著時間振蕩衰減,在t=1 ms時,接近于0.By與Ex相比,磁感應(yīng)強度最大時電場強度最小,磁感應(yīng)強度最小時電場強度最大,存在90°相位差.磁感應(yīng)強度隨著時間的增加,振蕩衰減,最后趨于0.

根據(jù)式(31)、(32)可知,磁感應(yīng)強度By最大,即t= 0時,電磁能密度uem和Maxwell應(yīng)力張量T11最大,在橫截面的分布如圖6(a)、(b)所示.由圖6可以看出,電磁能和Maxwell應(yīng)力T11主要分布在試樣的上、下表面,T11為負(fù)值,表明為壓應(yīng)力.uem和T11沿線段BA的分布如圖7所示,電磁能和Maxwell應(yīng)力T11主要分布于距離表面深度小于趨膚深度d的區(qū)域,并且心部大部分區(qū)域數(shù)值很小,接近于0.電磁能密度uem和Maxwell應(yīng)力張量T11隨時間的變化如圖8所示,呈現(xiàn)出振蕩衰減的趨勢,最后趨于0.

圖6 電磁能密度和Maxwell應(yīng)力張量的分布Fig.6 Distributions of electromagnetic energy density and Maxwell stress tensor

圖7 電磁能密度uem和Maxwell應(yīng)力張量T11 沿BA的分布Fig.7 Distributions of electromagnetic energy density uem and Maxwell stress tensor T11 along line BA

圖8 點A處電磁量密度uem和Maxwell應(yīng)力張量T11隨時間的變化曲線Fig.8 Curves of electromagnetic energy density uem and Maxwell stress tensor T11 versus time of point A

根據(jù)Ex、Jx、By、uem和T11在試樣橫截面的分布情況,工件表層為這些物理量的主要分布區(qū)域,心部大部分區(qū)域在電流脈沖通過的過程中,幾乎沒有起到傳導(dǎo)作用.在使用電流脈沖處理金屬材料時,要充分考慮衰減振蕩電流脈沖的趨膚效應(yīng).

3 實驗驗證

為了驗證電流脈沖趨膚效應(yīng)的存在,對上述45碳鋼試樣淬火后,采用圖1(b)所示的電流脈沖,每4 s對試樣施加一次,處理時間為40 min.對45碳鋼試樣淬火處理的目的是使碳原子以過飽和狀態(tài)均勻地溶于鐵素體內(nèi).淬火工藝如下：850 ℃下保溫3 min,完全奧氏體化,室溫下水淬.采用JEOL-JSM 6700掃描顯微鏡附帶的電子探針能譜儀(EDS)分析橫截面碳原子分布情況.在電流脈沖處理前、后,橫截面沿oA線段不同深度a、b(z=0.05、0.45 mm)兩處碳原子相對含量分布如圖9所示.

由圖9看出,剛淬火后的碳鋼試樣,碳原子在橫截面均勻分布；在電流脈沖處理后,表面區(qū)域(z=0.05 mm)碳原子發(fā)生了較嚴(yán)重的偏聚現(xiàn)象,內(nèi)部沒有發(fā)生明顯的偏聚現(xiàn)象.電流能夠促進(jìn)間隙碳原子的擴散[3,25],產(chǎn)生偏聚現(xiàn)象.實驗結(jié)果表明,電流脈沖對試樣表面處碳原子偏聚現(xiàn)象的作用明顯大于心部,因此表面處的電流密度大于心部,表明趨膚效應(yīng)的存在.

圖9 電流脈沖對45碳鋼淬火試樣橫截面碳原子分布的影響Fig.9 Effect of ECP on carbon distribution ofas-quenched 45 carbon steel specimens

分析導(dǎo)體橫截面碳原子偏聚的不均勻程度與電流分布的關(guān)系.由圖4看出,距離表面區(qū)深度為0.05 mma處的電流密度為1.32×1011J/m2,深度0.45 mm的b處電流密度分別為8.07×108J/m2,a處的電流密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于b處.由圖9可以看出,電流脈沖處理后,試樣橫截面碳原子在a處的偏聚現(xiàn)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于b處,實驗結(jié)果與電流分布情況一致,存在明顯的不均勻現(xiàn)象.a處的深度小于趨膚深度(d=0.077 mm),驗證了在小于趨膚深度的表層區(qū)域電流密度遠(yuǎn)大于心部區(qū)域.碳原子分布的實驗結(jié)果驗證了電流分布的計算結(jié)果,即存在明顯的趨膚效應(yīng).在設(shè)計導(dǎo)通電流脈沖的工件以及采用電流脈沖處理材料時,要充分考慮衰減振蕩電流脈沖的趨膚效應(yīng).

4 結(jié) 論

(1) 給出振蕩衰減電流脈沖通過矩形截面工件時,電場強度、電流密度、磁感應(yīng)強度、電磁能密度和Maxwell應(yīng)力張量隨時間和空間變化的解析解.

(2) 電場強度、電流密度、電磁能密度和Maxwell應(yīng)力張量主要分布在距離表面深度不大于趨膚深度d的表層區(qū)域,并且表面處數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于心部；矩形截面工件的磁感應(yīng)強度By主要分布在試樣的上下表面,Bz集中分布于試樣的棱邊區(qū)域,物理量的分布存在明顯的趨膚效應(yīng).

(3) 電流脈沖對淬火碳鋼試樣矩形橫截面的碳原子的偏聚作用不同,對表面處碳原子偏聚的影響遠(yuǎn)大于心部,證實了振蕩衰減電流脈沖趨膚效應(yīng)的存在.

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Skin effect of decay oscillating current pulse in rectangular cross section conductor

PAN Long1,2, TAO Ding-feng3, HE Wen1,2, GU Bang-ping1,2

(1.ZhejiangProvinceKeyLaboratoryofAdvancedManufacturingTechnology,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China;2.StateKeyLaboratoryofFluidPowerandMechatronicSystems,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China;3.StateGridZhejiangElectricPowerCompanyPowerResearchInstitute,Hangzhou310014,China)

The distributions of current density, electromagnetic field and other physical parameters in the cross section when the pulse pass through the conductor were analyzed for the design of workpiece conducting current pulse and the process plan of treating materials by electric current pulse (ECP). The solutions for distributions of electric field intensity, current density, magnetic flux density, electromagnetic energy density and Maxwell stress tensor were deduced based on the Maxwell equations for the rectangular cross section conductor when ECP passed through it. The distributions of related physical parameters were calculated for carbon steel plate. Results show that a significant skin effect exists and the values of these parameters in the surface region are much larger than those in the internal region. Most of these parameters distribute in the region where the depth from surface is less than skin depth, and the physical parameters present an apparent decay oscillation varying with time. The skin effect of the decay oscillating current pulse in the rectangular cross section conductor was proved to be existed by the non-uniform distribution of carbon atom of the as-quenched 45 carbon steel specimens treated by ECP.

decay oscillating current pulse; skin effect; electromagnetic field; current density; Maxwell stress tensor

2015-03-26. 浙江大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

航空科學(xué)基金資助項目(20140876003)；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體資助項目(51221004)；國家自然科學(xué)基金資助項目(50675200).

潘龍(1988—),男,博士生,從事殘余應(yīng)力調(diào)控技術(shù)的研究.ORCID: 0000-0002-8585-6574. E-mail: panlong0229@126.com 通信聯(lián)系人,何聞,男,教授,博導(dǎo).ORCID: 0000-0001-9089-3241. E-mail: hewens@zju.edu.cn

10.3785/j.issn.1008-973X.2016.04.005

O 442

A

1008-973X(2016)04-0625-06