具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈模型

周學(xué)廣， 任 龍

(1.教育部人文社會科學(xué)重點研究基地清華大學(xué)現(xiàn)代管理研究中心，北京 100084；2.清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院現(xiàn)代管理研究中心，北京 100084)

?

具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈模型

周學(xué)廣1,2， 任 龍1,2

(1.教育部人文社會科學(xué)重點研究基地清華大學(xué)現(xiàn)代管理研究中心，北京 100084；2.清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院現(xiàn)代管理研究中心，北京 100084)

越來越多像GE這樣的大型企業(yè)在利用多屬性逆向拍賣選擇新的供應(yīng)商采購產(chǎn)品時，通常會設(shè)定較高的固定投標(biāo)成本。針對此情況，建立了三階段的非合作博弈模型，并利用求解子博弈納什均衡策略的方法，推導(dǎo)出了供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格。并得到以下兩個主要結(jié)論：一是供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)策略是按照生產(chǎn)產(chǎn)品真實的質(zhì)量和交貨期進(jìn)行投標(biāo)，且投標(biāo)價格為最優(yōu)投標(biāo)價格；二是采購商的最優(yōu)策略是選擇投標(biāo)價格最高的供應(yīng)商作為拍賣獲勝者，這一違反直覺的結(jié)論。這是合理的，因為投標(biāo)價格最高的供應(yīng)商也是類型最優(yōu)的供應(yīng)商，也即投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期組合最優(yōu)的供應(yīng)商。最后，利用數(shù)值實驗驗證了模型的有效性，并顯示出設(shè)定相對較高的固定投標(biāo)成本對采購商來說是有利的。

電子逆向拍賣；多屬性投標(biāo)；非合作博弈；高投標(biāo)成本；最優(yōu)拍賣機制

1 引言

據(jù)Hawkins等[1]數(shù)據(jù)分析顯示，美國政府運用電子逆向拍賣(E-Reverse Auctions, ERA)進(jìn)行采購為美國空軍節(jié)省的開支在$25.9億和$253.3億之間，而為國防部節(jié)省的開支在$119億和$1170億之間。同樣，像通用電氣、IBM、The Sun Soft System和戴爾等大型企業(yè)也正在擴大使用這種采購工具。正像Pinker等[2]所論述的那樣，ERA可以大幅度降低采購成本，可以使購買組織通過多標(biāo)準(zhǔn)(價格、質(zhì)量、交貨期和付款項目等)來選擇合適的供應(yīng)商[3]。因此，ERA已經(jīng)成為政府或是企業(yè)獲取資源的一種重要工具。

但是，ERA并不能夠保證對采用它的組織都能夠獲得大規(guī)模的成本節(jié)約[3],因為供應(yīng)商中標(biāo)后提供的產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期等都影響著采購商的采購效率[4]。因此，采購商需要設(shè)計具有高效率的拍賣機制，該機制既能夠保證邀請一些具有資格的供應(yīng)商參與到拍賣中[5]；又能夠保證優(yōu)質(zhì)的供應(yīng)商獲得采購合同和較高的期望利潤[6]。對于ERA的采購效率，Wan Zhixi等[7]研究指出對供應(yīng)商資格的審查，放在拍賣結(jié)束后比放在拍賣開始張貼采購需求計劃時要好。

為提高ERA的采購效率，采購企業(yè)不僅要求供應(yīng)商提交投標(biāo)價格，同時需要提交投標(biāo)質(zhì)量和交貨期等產(chǎn)品特性。一般稱這種包含投標(biāo)價格、投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期等投標(biāo)多屬性的采購拍賣為多屬性逆向拍賣。正如Jeffrey等[8]論述的多屬性投標(biāo)機制比單屬性的價格機制更能夠為采購商帶來更多剩余；而Huang He等[9]也對ERA機制進(jìn)行研究，指出包括價格和和質(zhì)量談判的拍賣機制比只有價格的談判更能夠為供應(yīng)鏈帶來更多剩余。這些研究主要從采購者的角度出發(fā)來研究采購機制的設(shè)計問題，而沒有從供應(yīng)商的角度對多屬性采購拍賣進(jìn)行研究。

李軍和劉樹林[10]運用Cobb-Douglas效用函數(shù)研究了多屬性采購拍賣中供應(yīng)者的利潤和贏得合同問題，而曾憲科和馮玉強[11]對具有非對稱投標(biāo)人的反向多屬性拍賣進(jìn)行研究，并給出了結(jié)構(gòu)化的最優(yōu)投標(biāo)策略。這些對多屬性逆向拍賣的研究都沒有考慮供應(yīng)商的固定投標(biāo)成本。Lorentziadis[12]指出在采購拍賣中投標(biāo)者可能產(chǎn)生固定成本；進(jìn)一步，Snir等[13]對IT服務(wù)的高投標(biāo)成本進(jìn)行研究，而姚升保[14]對供應(yīng)商邊際成本可變的多物品多屬性逆向拍賣給出了賣方的投標(biāo)策略。這些研究一般只對投標(biāo)價格和投標(biāo)質(zhì)量兩個屬性進(jìn)行研究，而我們把投標(biāo)屬性繼續(xù)擴展加上了投標(biāo)交貨期。此外，這些研究沒有給出具體的多屬性逆向拍賣的參與者應(yīng)該如何進(jìn)行決策。

針對以上問題，我們利用完全信息下的動態(tài)博弈思想建立了具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣模型。首先，我們的研究不同與Wan Zhixi等[7]、Jeffrey等[8]和Huang He等[9]主要從采購商的角度研究如何設(shè)計最優(yōu)拍賣機制，而是從供應(yīng)商的角度來研究他們?nèi)绾芜M(jìn)行投標(biāo)以實現(xiàn)期望利潤最大化，并進(jìn)一步分析出采購商如何選擇拍賣獲勝者以獲得最大剩余。其次，我們的研究也并不是在李軍和劉樹林[10]、Snir等[13]等投標(biāo)價格和投標(biāo)質(zhì)量的兩屬性投標(biāo)基礎(chǔ)上，把多屬性拍賣簡單擴展加上投標(biāo)交貨期，而是把投標(biāo)價格看作投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期的函數(shù)，推導(dǎo)出了供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)策略以及采購商選擇供應(yīng)商的標(biāo)準(zhǔn)——供應(yīng)商的類型，也即投標(biāo)質(zhì)量和交貨期的組合。最后，在模型中考慮了Lorentziadis[12]和Snir等[13]所指出的投標(biāo)會產(chǎn)生固定投標(biāo)成本，并分析出采購商適度提高投標(biāo)的固定成本是合理的。這些研究成果對指導(dǎo)供應(yīng)商是否應(yīng)該參與到拍賣中以及如何投標(biāo)具有重要的現(xiàn)實意義，同時為采購商如何設(shè)計更有效率的采購拍賣機制提供了重要的借鑒意義。

2 高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈

2.1 問題描述

通用電器公司(GE)利用ERA采購法律服務(wù)始于2003年，每年的采購金額為30億美元。GE為了節(jié)省采購的服務(wù)成本，通過一些程序要求法律公司除了提交投標(biāo)價格以外，還需要提交投標(biāo)的服務(wù)質(zhì)量[15]。同樣，GE也利用ERA對需求的原材料進(jìn)行大規(guī)模的采購，并要求投標(biāo)的供應(yīng)商不僅提交投標(biāo)價格，還需要提交投標(biāo)的質(zhì)量和投標(biāo)交貨期等信息。此外，GE通過設(shè)定相對較高的固定投標(biāo)成本來限制參與到采購拍賣中的供應(yīng)商數(shù)目。我們以GE這樣的大型采購商利用多屬性逆向拍賣方式來選擇合適的供應(yīng)商采購產(chǎn)品為例建立博弈模型。

假定大型采購商在自己的網(wǎng)站公布具體的采購需求計劃(Request for Proposal, RFP)，拍賣方式為降價密封方式的單輪拍賣。采購商和供應(yīng)商之間的拍賣過程可以看作一個三階段的博弈，其博弈流程如下圖1所示。第一階段，大型采購商在自己的網(wǎng)站公開采購項目的RFP，拍賣的方式、投標(biāo)固定成本Fc以及詳細(xì)的采購需求標(biāo)準(zhǔn)等；并暗示出采購項目的質(zhì)量價值系數(shù)v1，交貨期價值系數(shù)v2，以及最遲交貨期L。這有助于供應(yīng)商評估是否應(yīng)該參與到拍賣中。第二階段，供應(yīng)商根據(jù)采購商的RFP，以及生產(chǎn)產(chǎn)品的單位質(zhì)量成本c1，單位交貨期成本c2，產(chǎn)品質(zhì)量q和交貨期l等來決定是否參與投標(biāo)？如果參與拍賣，需要決定投標(biāo)向量，也即由投標(biāo)價格p、投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期的值形成的行向量。第三階段，投標(biāo)結(jié)束，采購商根據(jù)供應(yīng)商的投標(biāo)向量選出能夠給它帶來最大剩余的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者。

圖1 采購拍賣博弈流程

當(dāng)采購商公布出具體的RFP后，具有資格的供應(yīng)商是否應(yīng)該參與投標(biāo)？如果投標(biāo)，如何決定最優(yōu)投標(biāo)向量的具體值？采購商又應(yīng)該如何從眾多投標(biāo)中選擇一個供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者？為解決這些問題建立下面的博弈模型。

2.2 假設(shè)和模型建立

當(dāng)采購商公布具體的RFP后，具有投標(biāo)資格的供應(yīng)商數(shù)目設(shè)為n，具體供應(yīng)商的數(shù)目由采購商決定。在參考Snir等[13]和Carr[6]的模型基礎(chǔ)上，建立如下的高投標(biāo)成本多屬性逆向拍賣博弈模型。在建立模型之前，需要對現(xiàn)實的ERA進(jìn)行假設(shè)。

假設(shè)1 供應(yīng)商生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量和交貨期是對稱的，也即供應(yīng)商i,(i=1…n)提供產(chǎn)品的質(zhì)量qi和交貨期li是相互獨立，且分別服從[ql,qh]和[ll,lh]上的一個連續(xù)遞增的分布，其累積分布函數(shù)分別為F(qi)和G(li)，且其概率密度f(qi)和g(li)。(其中ql，qh，ll，lh分別代表供應(yīng)商所能提供的最低質(zhì)量，最高質(zhì)量，最慢交貨期，最快交貨期。)

假設(shè)2 供應(yīng)商的投標(biāo)價格是其生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期的函數(shù)，而且這些都是私有信息。

在拍賣理論中私有信息是指只有投標(biāo)者自己知道，而不為其他投標(biāo)者所知的信息。此處的私有信息是指：不同類型的供應(yīng)商擁有著不同的不為其他供應(yīng)商所知的生產(chǎn)信息。

由上面兩個假設(shè)知，供應(yīng)商只知道自己供應(yīng)產(chǎn)品的質(zhì)量和交貨期，以及其它供應(yīng)商投標(biāo)質(zhì)量和交貨期的分布函數(shù)，而不知道其它供應(yīng)商具體的投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期。

假設(shè)3 采購商和供應(yīng)商都是風(fēng)險中性者；且都在信息完全且完美的情況下做決策。

故采購商的剩余函數(shù)S為價值系數(shù)v1,v2的線性函數(shù)，并表示為：

S(pi,qi,li)=v1qi+v2(L-li)-pi

(1)

同理，供應(yīng)商的利潤也是c1和c2的線性函數(shù)。

πi=pi-c1qi-c2(L-li)

(2)

任何投標(biāo)的供應(yīng)商能夠贏得拍賣都具有一定的概率，把它記為Pr(qi,li,S*,n)，表示有n個供應(yīng)商參與投標(biāo)，且投標(biāo)組合為(qi,li)的供應(yīng)商能夠給采購商提供最多剩余S*的概率，因此供應(yīng)商的最大期望利潤可以表示為：

Max E(πi)=[(pi-c1qi-c2(L-li)]Pr(qi,li,S*,n)-Fc

s.t. πi>0

(3)

其中c1,c2是常數(shù)且滿足c1

供應(yīng)商的類型通過生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量和交貨期來區(qū)分。在后面定理5中我們證明了供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)策略是按照真實的產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期來進(jìn)行投標(biāo)，所以供應(yīng)商的類型也可以利用供應(yīng)商的投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期來區(qū)分，故得到下面的假設(shè)：

假設(shè)4 供應(yīng)商i,(i=1…n)的類型wi，通過供應(yīng)商的投標(biāo)質(zhì)量qi和投標(biāo)交貨期li來進(jìn)行區(qū)分；且采購商對供應(yīng)商的類型評價函數(shù)為：

wi=(v1-c1)qi+(v2-c2)(L-li)

(4)

這是合理的，因為(v1-c1)表示單位質(zhì)量的邊際收益，(v2-c2)表示單位交貨期的邊際收益，因此采購商可以由式子(4)中供應(yīng)商的投標(biāo)質(zhì)量和交貨期，來判定供應(yīng)商的類型。根據(jù)假設(shè)1，供應(yīng)商的質(zhì)量qi和交貨期li相互獨立，且累積分布函數(shù)分別為F(qi),G(li)，因此供應(yīng)商的類型分布函數(shù)H(wi)=F(qi)G(li)。又因為wi分布的區(qū)間在[ql,qh]和[ll,lh]組成的矩形內(nèi)，故需要討論wi=(v1-c1)qi+(v2-c2)(L-li)與各邊界的關(guān)系，才能夠求出H(wi)的具體表達(dá)式。

不妨考慮(v1-c1)ql+(v2-c2)(L-lh)≤wi，wi≤(v1-c1)ql+(v2-c2)(L-ll)和wi≤(v1-c1)qh+(v2-c2)(L-lh)，根據(jù)(4)式，利用卷積公式，可以得到供應(yīng)商的類型wi的概率分布函數(shù)：

(5)

故H(wi)是一個關(guān)于供應(yīng)商的類型wi連續(xù)增函數(shù)且大于0。

假設(shè)5 供應(yīng)商之間不存在共謀行為。

Jin Mingzhou等[16]研究指出供應(yīng)商為了獲得更多收益通常會結(jié)成聯(lián)盟，這個聯(lián)盟能夠激勵更多的供應(yīng)商參與到拍賣中。但共謀行為可能會損害采購商的利益，故采購商會采取措施避免共謀。這就保證了所有參與到拍賣中的供應(yīng)商都是非合作的。

假設(shè)6 供應(yīng)商i的多屬性投標(biāo)向量Si=(pi,qi,li)由投標(biāo)函數(shù)B來決策，且B是單調(diào)增函數(shù)。

也即任何一個供應(yīng)商i的多屬性投標(biāo)向量為Si=(pi,qi,li)，那么i將投標(biāo)B(Si)。因為投標(biāo)價格是投標(biāo)質(zhì)量和交貨期的函數(shù)，也即pi=(qi,li)，所以投標(biāo)價格越高，供應(yīng)商的類型越好，故B為單調(diào)增函數(shù)。

3 非合作博弈行為分析

由假設(shè)3可知，ERA的參與者在完全且完美信息情況下做決策，故可以采用逆推法來求解子博弈納什均衡策略。

首先考慮第3階段，當(dāng)采購商具有完美且完全信息時，子博弈納什均衡解是采購商選擇能夠給她帶來最大剩余的供應(yīng)商。我們假定供應(yīng)商i的投標(biāo)能夠使采購商獲得最大剩余，也就是說供應(yīng)商i的多屬性投標(biāo)應(yīng)該滿足下式：

Si=v1qi+v2(L-li)-pi=Max Sj(j=1…n)

(6)

在第2階段，每個供應(yīng)商根據(jù)采購商的RFP以及自己的產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期等，選擇一個實現(xiàn)利潤最大化的投標(biāo)價格。同時，能夠獲得采購合同的供應(yīng)商投標(biāo)必定能夠給采購商帶來最多剩余，也即供應(yīng)商的投標(biāo)滿足(6)式。故同時滿足以上兩個條件的投標(biāo)才是子博弈納什均衡解。

把(6)式和(4)式代入(3)式，可以得到，采購商的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù):

Max πi(wi,Si)=(wi-Si)Pr(qi,li,S*,n)-Fc

(7)

對(7)運用最優(yōu)化理論，并根據(jù)納什均衡解得含義，推導(dǎo)出的供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格如下面定理所示。

定理1 在建立的高投標(biāo)成本多屬性逆向拍賣博弈模型中,參與拍賣供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格為：

(8)

其中wm=(qm,lm)為均衡投標(biāo)時，供應(yīng)商的質(zhì)量和交貨期，具體由wmH(wm)n-1-Fc=0來確定。

證明 當(dāng)供應(yīng)商i的投標(biāo)為均衡投標(biāo)wm時，采購商和供應(yīng)商獲得的收益必定都為0。也即(6)(7)式的值為0，此時可得:

E(πm)=wmPr(qi,li,S*,n)-Fc=0。因wm是由wmH(wm)n-1-Fc=0來確定，故在均衡處的供應(yīng)商獲勝的概率Pr(·)=H(wm)n-1，供應(yīng)商的期望利潤改寫為E(πi)=wi(H(wi))n-1-Fc。

(1)當(dāng)wi

(2)當(dāng)wi=wm時，供應(yīng)商的投標(biāo)恰好為均衡投標(biāo)，此時供應(yīng)商的投標(biāo)成本恰好等于期望利潤。同時，供應(yīng)商能夠為采購商帶來的剩余值為0，也即

S(pi,qi,li)=v1qi+v2(L-li)-pi=0

(9)

由(9)知最優(yōu)的投標(biāo)價格為：

pi=v1qi+v2(L-li)=v1qm+v2(L-lm)

(10)

(3)當(dāng)wi>wm時，根據(jù)參考文獻(xiàn)[17]的求解方法可得最優(yōu)投標(biāo)價格。

由假設(shè)6可知，如果供應(yīng)商i多屬性投標(biāo)向量Si=(pi,qi,li)成為拍賣的獲勝者，則i獲勝的概率為所有的投標(biāo)Sk,k≠i，滿足B(Sk)

πi(wi,Si)=(wi-Si)[H(B-1(Si))]n-1-Fc

(11)

(12)

另一方面，對πi(Si,wi)關(guān)于wi求導(dǎo)得：

(13)

(14)

由假設(shè)1知，供應(yīng)商是對稱的，所以其他供應(yīng)商的投標(biāo)函數(shù)B同樣滿足期望利潤最大化。故具有同樣投標(biāo)價格的供應(yīng)商將有相同的類型，也即在納什均衡條件下有Si=B(wi)。把該式代入(14)式得:

(15)

對(15)式兩邊進(jìn)行積分，且由(2)的證明知πi(wm)=0，故得：

(16)

由(11)式和納什均衡條件得：

πi(wi,Si)=(wi-Si)(H(wi))n-1-Fc

(17)

聯(lián)立(16)和(17)式可以推出：

(18)

由證明過程知，(18)式投標(biāo)價格為供應(yīng)商的極大值點?，F(xiàn)在證明它也是全局最大值點，也即為最優(yōu)的投標(biāo)價格。由(11)式，我們可以得到供應(yīng)商的期望利潤函數(shù)為：

πi(wi,Si)=(wi-Si)[H(wi)]n-1-Fc

(19)

可以判定其海塞矩陣為半負(fù)定，因此πi(wi,Si)是凹函數(shù)，故它的極大值點也即為最大值點。所以(18)式的投標(biāo)價格，能夠給供應(yīng)商帶來最大期望利潤，也即它是供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格。綜上(1)(2)(3)，命題得證。

由定理1知，當(dāng)供應(yīng)商的類型小于均衡值時，供應(yīng)商的最優(yōu)策略是退出拍賣，也即不投標(biāo)。當(dāng)供應(yīng)商的類型等于均衡值時，供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格恰好等于均衡時的投標(biāo)組合。也就是說，當(dāng)供應(yīng)商的類型小于等于均衡投標(biāo)值，供應(yīng)商獲得的最大期望利潤為0；當(dāng)供應(yīng)商的類型大于均衡值時，供應(yīng)商投標(biāo)才會盈利。另外，通過求解供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格的過程可知，供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格也是供應(yīng)商的子博弈納什均衡解。

定理2 在子博弈納什均衡解處，隨著固定投標(biāo)成本和投標(biāo)供應(yīng)商數(shù)量的增加，均衡投標(biāo)的閥值有上升的趨勢。

證明 在均衡投標(biāo)wm處，供應(yīng)商的利潤函數(shù)為：

π(wm)=wm(H(wm))n-1-Fc=0

(20)

由于H(wm)為供應(yīng)商的投標(biāo)分布函數(shù)，故0≤H(wm)≤1。因此隨著n的增加，投標(biāo)wm將變好。同理隨著Fc的增加，投標(biāo)wm也變好。

由定理2知，隨著供應(yīng)商數(shù)量的增加，競爭的程度增加，其投標(biāo)均衡將上升，也即提高了均衡狀態(tài)下供應(yīng)商的類型。因此吸引越多具有資格的供應(yīng)商參與到拍賣中，越能夠提高采購商的采購效率。另外，隨著固定投標(biāo)成本升高，投標(biāo)均衡將變好，這主要是因為高固定投標(biāo)成本能夠阻礙一部分類型較差的供應(yīng)商參與到拍賣中；同時，暗示著當(dāng)投標(biāo)成本為0時，H(wm)=0，也即類型最差的供應(yīng)商也參與到了拍賣中，這會降低投標(biāo)均衡狀態(tài)下供應(yīng)商的類型。故采購商設(shè)定相對較高的固定投標(biāo)成本是合理的。

定理3 在子博弈納什均衡處，隨著采購商價值系數(shù)的增加，供應(yīng)商生產(chǎn)成本系數(shù)的減小，投標(biāo)均衡的閥值都有下降的趨勢。

證明 把均衡時的投標(biāo)質(zhì)量和交貨期代入(4)式得：

wm=(v1-c1)qm+(v2-c2)(L-lm)

(21)

隨著采購商采購價值系數(shù)v1,v2的增加，若使wm的值不變。則供應(yīng)商的投標(biāo)質(zhì)量qm有下降而交貨期lm有上升的趨勢。而隨著c1,c2的增加供應(yīng)商的投標(biāo)正好相反。

由定理3知，當(dāng)采購商的采購合同價值較大時，雖能吸引更多優(yōu)質(zhì)的供應(yīng)商，但同時也吸引更多類型差的供應(yīng)商，從而造成供應(yīng)商的類型在均衡處的下降。因此，當(dāng)采購商的采購規(guī)模較大時，采購商可以通過設(shè)定相對較高的交貨期和較短的交貨期等項目來限定參與到拍賣中的供應(yīng)商類型。顯然，隨著供應(yīng)商生產(chǎn)成本的增加，產(chǎn)品的質(zhì)量和交貨期都會增加，供應(yīng)商的類型明顯會提高，從而使得均衡處供應(yīng)商的類型上升。

定理4 在建立的具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈模型中，當(dāng)供應(yīng)商按最優(yōu)價格進(jìn)行投標(biāo)時，隨著供應(yīng)商的類型的提高，采購商的剩余和供應(yīng)商的期望利潤都會增加。

證明 當(dāng)wi≤wm時，供應(yīng)商不投標(biāo)或者投標(biāo)時采購商剩余為0，因此可以不考慮。故把(18)代入采購商剩余函數(shù)(6)式得：

(22)

對(22)式的wi求導(dǎo)得：

(23)

由(23)可知，采購商的剩余是供應(yīng)商的類型的增函數(shù)，故隨著供應(yīng)商的類型變好，供應(yīng)商能夠給采購商帶來的剩余也將會增加。

同理當(dāng)wi≤wm時，供應(yīng)商的期望利潤為0，因此可以不考慮。故把(18)代入供應(yīng)商的期望利潤函數(shù)(3)式，得到下式(24):

(24)

對(24)式的wi求導(dǎo)得：

(25)

由(25)可知，供應(yīng)商的期望利潤是供應(yīng)商的類型的增函數(shù)，故隨著供應(yīng)商的類型提高，類型越優(yōu)的供應(yīng)商獲得的期望利潤就越多。

由定理4知，采購商為獲得最大剩余必然會選擇類型最優(yōu)的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者，也即采購商的最優(yōu)策略是選擇具有產(chǎn)品質(zhì)量高和交貨期短的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者，而不是選擇具有低投標(biāo)價格的供應(yīng)商。同時，類型最優(yōu)的供應(yīng)商將贏得采購合同且獲得最大期望利潤，顯然，這能夠吸引類型優(yōu)的供應(yīng)商參與到拍賣中。

定理5 在建立的具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈模型中，供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)策略是按真實的生產(chǎn)質(zhì)量、交貨期和最優(yōu)投標(biāo)價格參與到拍賣中。

(26)

(27)

(28)

另外，在wi處采購商的剩余記為：

Ri=Si(wi)H(wi)n-1

(29)

把pi代入(29)式整理可得:

(30)

對(30)式的wi求導(dǎo)得：

(31)

把(31)式代入(28)式可得：

(32)

由定理5知，供應(yīng)商參與到多屬性逆向拍賣中，就需要提供自己的真實質(zhì)量和交貨期。顯然，供應(yīng)商是心甘情愿的把生產(chǎn)信息透露給采購商的。因此，供應(yīng)商是否參與到拍賣中主要取決于生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量和交貨期，當(dāng)大于均衡的供應(yīng)商的類型就參與拍賣，且投標(biāo)的最優(yōu)策略為真實的產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期，以及最優(yōu)投標(biāo)價格。

最優(yōu)的拍賣機制滿足兩個基本條件：一個是個體理性條件，二是激勵相容條件[17]。由定理4知，這種降價密封單輪的多屬性逆向拍賣方式能夠吸引優(yōu)質(zhì)的供應(yīng)商自愿參與到拍賣中，這滿足了個體理性；而由定理5知，參加拍賣的供應(yīng)商都愿意真實地報出了自己的生產(chǎn)情況而不撒謊，這滿足激勵相容條件。因此得到下面的定理：

定理6 在投標(biāo)的供應(yīng)商之間不存在共謀、供應(yīng)商是風(fēng)險中性且對稱的情況下，風(fēng)險中性采購商的降價密封單輪的多屬性采購拍賣方式是該拍賣的最優(yōu)機制。

4 算例

假定采購商張貼出了一個采購需求計劃，最大的交貨延遲時間分別為L=1，并暗示出價值系數(shù)v1=3,v2=2；設(shè)定的固定投標(biāo)成本為Fc=0.0625。假定采購材料的生產(chǎn)成本系數(shù)c1=2,c2=1，并有供應(yīng)商的類型qi和li分別服從[0,1]上的均勻分布。根據(jù)式子(4)以及卷積公式，可以得到供應(yīng)商的類型分布函數(shù)：

(33)

根據(jù)均衡條件wmH(wm)n-1-Fc=0，當(dāng)n=2時，供應(yīng)商的均衡類型wm=0.5，然后代入公式(8)可以得到，供應(yīng)商最優(yōu)的投標(biāo)價格：

(34)

按(34)式計算供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格示于表1(注:N0表示不投標(biāo))。從表1可以看出，類型越優(yōu)的供應(yīng)商，也即質(zhì)量越高且交貨期越短的供應(yīng)商，其投標(biāo)的最優(yōu)價格也會越高。顯然，在采購商選擇類型最優(yōu)的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者時，勢必也選擇了投標(biāo)價格最高的供應(yīng)商。進(jìn)一步，可以根據(jù)均衡條件畫出圖2。由圖2可知，隨著供應(yīng)商數(shù)目的增加，供應(yīng)商的均衡類型將逐漸變好，但當(dāng)n增大到一定程度時，均衡類型提高的會很緩慢。雖然對于采購商而言，參與拍賣的供應(yīng)商數(shù)目越多越好，但是隨著供應(yīng)商數(shù)數(shù)目的增加，對其進(jìn)行資格審查所花費的成本也將增加，因此采購商可選擇一定數(shù)目的供應(yīng)商參與到拍賣中即可。

表1 當(dāng)n=2時，供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格

圖2 供應(yīng)商數(shù)目對均衡供應(yīng)商的類型影響

圖3 固定投標(biāo)成本對均衡供應(yīng)商的類型影響

同理，由均衡條件可以畫出圖3，從圖3中可以看出隨著固定投標(biāo)成本的上升，在均衡狀態(tài)處，供應(yīng)商的類型逐漸變好。因此采購商在采購拍賣中，適當(dāng)?shù)奶岣吖潭ㄍ稑?biāo)成本對采購商而言是有利的。這也驗證了定理2中的內(nèi)容，隨著參與拍賣供應(yīng)商數(shù)目的增加和固定投標(biāo)成本的上升，均衡供應(yīng)商的類型將逐漸提高。

把均衡條件代入(6)式，可以得到采購商的剩余；同理，把均衡條件代入(7)式，可以得到供應(yīng)商的期望利潤。把結(jié)果列于表2。由表2知，隨著供應(yīng)商的類型變優(yōu)，供應(yīng)商能夠給采購商帶來更多剩余的同時，自己也能夠獲得更多的期望利潤，這也驗證了定理4的內(nèi)容。進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，隨著供應(yīng)商的類型變優(yōu)，采購商獲得的剩余將加速增加；同時，供應(yīng)商獲得的期望利潤增加卻在減慢。表2反映了供應(yīng)商投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期各自對供應(yīng)商期望利潤和采購商剩余的影響。結(jié)合表1可知，采購商會選擇類型最優(yōu)(也即投標(biāo)價格最高)的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者，這進(jìn)一步吸引了更多優(yōu)質(zhì)的供應(yīng)商參與到多屬性逆向拍賣中。

5 結(jié)語

正像Pinker等[2]論述的那樣，只利用投標(biāo)價格單屬性選擇拍賣的獲勝者，采購拍賣并不一定能夠降低總采購成本。因此，采購組織為了提高采購的效率，通常運用ERA的多屬性投標(biāo)來選擇最優(yōu)的供應(yīng)商。同時，很多研究表明多屬性投標(biāo)明顯優(yōu)于單屬性的價格投標(biāo)。但是，還沒有研究指出，當(dāng)采購商利用ERA的多屬性拍賣進(jìn)行采購時，供應(yīng)商應(yīng)該如何投標(biāo)，采購商又應(yīng)該如何選擇獲勝的供應(yīng)商。此外，大部分研究在研究多屬性逆向拍賣時都沒有考慮投標(biāo)的固定成本。因此，針對這種情況，建立了一個三階段的具有高投標(biāo)成本的多屬性逆向拍賣博弈模型，并得出一些有意義的結(jié)論。

首先，提出通過質(zhì)量和交貨期對供應(yīng)商的類型進(jìn)行區(qū)分，并把供應(yīng)商多屬性中的投標(biāo)價格看作是投標(biāo)質(zhì)量和交貨期的函數(shù)，推導(dǎo)出了供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)價格。進(jìn)一步，指出此價格也是該博弈模型的子博弈納什均衡解。其次，在均衡狀態(tài)下，通過證明和算例的相關(guān)圖都可以分析得出，隨著供應(yīng)商數(shù)量的增多或固定投標(biāo)成本的增加，供應(yīng)商的均衡類型會變好，因此采購商設(shè)定較高的固定投標(biāo)成本是合理的。此外，采購商應(yīng)該邀請合適數(shù)目的供應(yīng)商參與到拍賣中。接著，分析得出隨著供應(yīng)商的類型提高，供應(yīng)商的期望利潤和采購商的剩余都會增加。再次，推導(dǎo)出了供應(yīng)商的最優(yōu)投標(biāo)策略是按真實的生產(chǎn)質(zhì)量、交貨期和最優(yōu)價格進(jìn)行投標(biāo)；采購商的最優(yōu)策略是根據(jù)供應(yīng)商的類型來選擇拍賣的獲勝者，也即選擇投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期組合最優(yōu)的供應(yīng)商作為拍賣的獲勝者。最后，指出在投標(biāo)的供應(yīng)商之間不存在共謀、供應(yīng)商是風(fēng)險中性且對稱的情況下，風(fēng)險中性的采購商降價密封單輪方式的多屬性采購拍賣機制是該拍賣的最優(yōu)機制。

表2 當(dāng)n=2時，采購商的剩余和供應(yīng)商的期望利潤

通過數(shù)值實驗，揭示了采購商實際上選擇了投標(biāo)價格最高的供應(yīng)商。這雖然違背了直覺，但卻是合理的，因為投標(biāo)價格最高的供應(yīng)商也是類型最好的供應(yīng)商，也即投標(biāo)質(zhì)量和投標(biāo)交貨期組合最優(yōu)的供應(yīng)商。因此，采購商不再僅以投標(biāo)價格作為選擇供應(yīng)商的標(biāo)準(zhǔn)，而會綜合考慮產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期等項目。這些研究結(jié)論揭示了高固定投標(biāo)成本和多屬性逆向拍賣給供應(yīng)鏈上企業(yè)決策帶來的影響，同時為研究服務(wù)產(chǎn)品的采購拍賣提供借鑒。

[1] Hawkins T G, Coyne A V, Hudgens B J. Electronic reverse auctions: removing barriers to unleash savings in federal procurement [J].Air Force Journal of Logistics, 2011, 34(3):3-15.

[2] Pinker E J, Abraham S, Yaniv V. Managing online auctions: Current business and research issues [J]. Management Science, 2003, 49(11):1457-1484.

[3] Hur D, Vincent A M, Hartley J L. Getting the most out of reverse e-auction investment [J].Omega, 2007, 35(4):403-416.

[4] Tunca T I, Zenios A S. Supply auctions and relational contracts for procurement [J]. Manufacturing & Service Operations Management, 2006, 8(1):43-67.

[5] Millet I, Diane H P, John L F, et al. Metrics for managing online procurement auctions[J].Interfaces,2004,34(3): 171-179.

[6] Carr S M. Note on online auctions with costly bid evaluation [J]. Management Science, 2003, 49 (11):1521-1528.

[7] Wan Zhixi, Beil D R.RFQ Auctions with Supplier Qualification Screening [J]. Operations Research, 2009, 57(4):934-949.

[8] Jeffrey E T, Wallenius H, Wallenius J, et al. A multi-attribute e-auction mechanism for procurement: Theoretical foundations [J]. European Journal of Operational Research, 2006, 175(1):90-100.

[9] Huang He, Kauffman R J, Xu Hongyan, et al. Mechanism design for e-procurement auctions: On the efficacy of post-auction Negotiation and quality effort incentives[J].Electronic Commerce Research and Applications, 2011, 10(6): 650-672.

[10] 李軍,劉樹林.基于Cobb-Douglas效用函數(shù)的多屬性采購拍賣[J].管理科學(xué)學(xué)報,2012, 15 (3):54-59.

[11] 曾憲科,馮玉強.基于非對稱投標(biāo)人的反向多屬性英式拍賣模型與最優(yōu)投標(biāo)策略[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2012,32(4):769-775.

[12] Lorentziadis P L. Pricing in multiple-item procurement auctions with a common to all items fixed cost [J]. European Journal of Operational Research, 2008, 190(3):790-797.

[13] Snir E M, Hitt L M. Costly bidding in online markets for IT services [J].Management Science,2003, 49(11):1504-1520.

[14] 姚升保. 賣方邊際成本可變的多物品多屬性逆向拍賣研究[J].中國管理科學(xué),2010,18(1):113-119.

[15] Tunca T I, Wu D J, Zhong Fang. An empirical analysis of price, quality, and incumbency in procurement auctions [J]. Manufacturing & Service Operations Management, 2014,16(3):346-364.

[16] Jin Mingzhou, David S W. Supplier coalitions in on-line reverse auctions: Validity requirements and profit distribution scheme [J]. International Journal of Production Economics, 2005, 100(2):183-194.

[17] 陳劍,陳熙龍,宋西平.拍賣理論與網(wǎng)上拍賣[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

Game Model on Multi-Attribute Reverse Auctions with Costly Bid

ZHOU Xue-guang1,2，REN Long1,2

(1.Key Research Institute of Humanities and Social Seiences at Universities,Research Center for Contemporary Management, Tsinghua University，Beijing 100084，China;2.School of Economics Management,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Many large companies like GE often utilize multi-attribute (including bid price, quality and lead time) reverse auction to select new suppliers and procure products, and set higher fixed bidding costs in order to improve the efficiency of the online procurement auction. Thus, when the buyer posts up the request for proposal (RFP), the suppliers will decide how to bid to obtain maximum expected revenue depending on the quality and lead time of their own production and fixed bidding costs? Then, the buyer will decide how to select a supplier as the winner of auction to obtain the maximum surpluses according to the bid vector of the suppliers? To solve the above questions, third-stage non-cooperative game model is constructed, and the method which solving the sub-game Nash equilibrium under the perfect information in dynamic game is used. Considering the bid price as the function of bid quality and lead time, the optimal bid price of suppliers is deduced. Furthermore, two results are concluded. First, the optimal bid strategy of suppliers is true production quality and lead time, and bid price is the optimal bid price. Second, the optimal strategy of the buyer is to choose one supplier which has the highest bid price as the winner of the auction. Although this counters intuitive, it is reasonable because that the supplier with the highest bid price is also the best type of supplier which optimal combination of bid quality and lead time. At last, the numerical experiments show that it’s benefit to the buyer when the number of suppliers is large or the fixed bidding price is high. In addition, the suppliers can obtain more expected revenue with the improvement of their types, which brings more surpluses for the buyer. This paper reveals that the costly fixed bid costs and multi-attribute reverse auction how to affect the decisions of the firms in supply chain, and provides a reference to research the procurement auction of services products.

electronic reverse auctions; multi-attribute bid; non-cooperative game; costly bid; optimal auction mechanism

1003-207(2016)01-0134-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.016

2013-08-22 ；

2015-01-22

教育部人文社會科學(xué)研究資助重大項目(14JJD630008)

簡介：周學(xué)廣(1983-),男(漢族),山東臨沂人,清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院現(xiàn)代管理研究中心博士,研究方向：經(jīng)濟(jì)博弈論，E-mail:zhouxg.12@sem.tsinghua.edu.cn.

F724.59

A