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    從通法到“秒殺”,用思維導(dǎo)圖解答中考?jí)狠S題

    2023-11-25 04:25:45陳旭
    關(guān)鍵詞:秒殺一題多解解題能力

    陳旭

    摘要:利用思維導(dǎo)圖可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)研究一題多解來(lái)溝通各種知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,幫助學(xué)生將已學(xué)的知識(shí)形成系統(tǒng),同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度,采用合理的觀(guān)點(diǎn)去思考同一個(gè)問(wèn)題,提高思維的流暢性和變通性,提高解題能力.本文中以一道幾何問(wèn)題的一題多解為例,合理借助思維導(dǎo)圖,突破學(xué)生思維屏障,拓寬思維廣度和深度,提高學(xué)生幾何解題的有效性.

    關(guān)鍵詞:思維導(dǎo)圖;一題多解;解題能力

    1 對(duì)一道上海模考試題模型的解法探究

    上海市中考數(shù)學(xué)命題以《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù),近幾年,試卷的第24題一般都是平面幾何和二次函數(shù)的綜合題,其中幾何部分考查相似的情況比較多,而且通常解法不唯一,蘊(yùn)涵著多種數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型,充分體現(xiàn)了課改理念,深入考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力[1].下面筆者以2018年上海市奉賢區(qū)一模第24題為例進(jìn)行說(shuō)明.

    1.1 問(wèn)題呈現(xiàn)

    如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C(0,3),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D,連接AC,BC,DB,DC.

    (1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

    (2)求證:△ACO∽△DBC;

    (3)如果點(diǎn)E在x軸上,且位于點(diǎn)B的右側(cè),∠BCE=∠ACO,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

    1.2 課堂還原

    呈現(xiàn)題目后,讓學(xué)生思考并展示思路.

    第(1)(2)問(wèn)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較基礎(chǔ),第(1)問(wèn)只需利用待定系數(shù)法即可求解.作為解決問(wèn)題的引入,第(2)問(wèn)提示學(xué)生本題重點(diǎn)涉及相似三角形的相關(guān)知識(shí),在思維上起到啟示的作用.經(jīng)過(guò)討論,得到前兩問(wèn)的思維導(dǎo)圖(如圖2所示).

    第(3)問(wèn)是本題的難點(diǎn),本文重點(diǎn)研究這一問(wèn).一方面,題設(shè)條件給出∠BCE=∠ACO,這是角相等的問(wèn)題,利用該條件如何切入呢?另外一方面,從要求的問(wèn)題來(lái)看,是求點(diǎn)E的坐標(biāo),讓學(xué)生發(fā)散思維,又可以從哪些角度入手呢?觀(guān)察圖中的∠ACO,∠BCE,發(fā)現(xiàn)它們所在的兩個(gè)三角形△AOC和△BCE明顯不相似,進(jìn)一步追問(wèn)該怎么辦?學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn),首先會(huì)想到構(gòu)造兩個(gè)相似三角形,這樣就可以和第(2)問(wèn)聯(lián)系起來(lái).

    經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo)和學(xué)生討論后,得出多種處理該問(wèn)題的思路.第(3)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖3所示.

    1.3 解法探究

    第(1)(2)問(wèn)解答如下:

    (1)把A(-1,0)和C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得-1-b+c=0,c=3,解得b=2,c=3.

    所以,拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

    (2)令-x2+2x+3=0,則x1=-1,x2=3,所以B(3,0).利用兩點(diǎn)間距離公式,

    可得BC=32,CD=2,BD=25,則BC2+CD2=BD2,于是∠BCD=90°,易

    證得△ACO∽△DBC(過(guò)程略).

    下面重點(diǎn)研究第(3)問(wèn),提供如下7種解法.

    思路一:從構(gòu)造相似三角形的方向考慮相似模型,即利用相等角構(gòu)造相似三角形.

    由于∠BCE=∠ACO,△AOC是一個(gè)含有∠ACO的直角三角形,因此只需再構(gòu)造一個(gè)含有∠BCE的直角三角形即可.基于這種思路,學(xué)生提出以下幾種構(gòu)造方法.

    解法1:如圖4,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F,易證△AOC∽△BFC,所以AOBF=ACBC,

    即1BF=1032,解得BF=355.

    設(shè)E(m,0),利用兩點(diǎn)間距離公式,可得

    BE=m-3,CE=m2+9.

    由S△BCE=12BE·OC=12BF·CE,可得

    3m-3=355[KG-1mm]m2+9.

    解得m1=6,m2=32(舍).

    故E(6,0).

    事實(shí)上,解法1還利用了幾何中經(jīng)常使用的等面積法,成功地把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程問(wèn)題.此種解法比較常規(guī),屬于通法,但是計(jì)算稍顯繁瑣.

    解法2:如圖5,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC交CE于點(diǎn)F,易證△AOC∽△FBC.過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn),垂足為G,可知FG∥OC.由△AOC∽△FBC,

    可得OABF=OCBC,

    即1BF=332,解得BF=2.

    又由OB=OC,即∠CBO=45°,得∠FBG=45°.

    因此FG=BG=1.

    由FG∥OC,可得FGOC=GEOE,即13=OE-4OE,解得

    OE=6.

    故E(6,0).

    解法2主要是注意到△COB是等腰直角三角形,進(jìn)而構(gòu)造出另外一個(gè)等腰直角三角形BGF,然后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí),快速得到OE.與解法1相比,計(jì)算量大大減少,但是輔助線(xiàn)的添加較為繁瑣,也需要學(xué)生能夠注意到特殊的角度.

    在解法2的基礎(chǔ)上,有學(xué)生提出了解法3.

    解法3:如圖6,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CB,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,易證△AOC∽△EFC.

    同解法2,注意到∠1=∠2=45°,可得

    △BEF為等腰直角三角形,于是

    BE=2EF=2BF.

    由△AOC∽△EFC,

    可得EFOA=CFOC,即EF1=32+EF3,解得

    EF=322.

    所以BE=2EF=3.故E(6,0).

    解法3其實(shí)也是注意到了特殊的45°角,但是與解法2相比,顯然輔助線(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單,后續(xù)的計(jì)算過(guò)程也比較簡(jiǎn)便.

    同樣地,也是注意到了特殊角,有學(xué)生提出可以用如下解法來(lái)構(gòu)造相似三角形.

    解法4:如圖7,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,可得∠1=∠2=45° .

    所以AF=BF=22AB=22,因此CF=2 .

    由∠ACO=∠BCE,得∠ACF=∠OCE,

    可證△ACF∽△ECO,所以AFOE=CFOC,

    即22OE=23,解得OE=6.

    故E(6,0).

    以上四種解法的共同點(diǎn)都是構(gòu)造相似三角形,前三種解法都是構(gòu)造不同的直角三角形與△AOC相似,解法4是構(gòu)造直角三角形與△EOC相似.同時(shí),解法1還使用了兩點(diǎn)間的距離公式和等面積法,解法2利用了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí),解法3利用了△BEF是等腰直角三角形.相對(duì)來(lái)說(shuō),解法1的輔助線(xiàn)學(xué)生比較容易想到;解法4中的△ABC中含有45°角,注意到這一點(diǎn),就很容易聯(lián)想到作輔助線(xiàn)AF.解法3和解法4的計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單.

    完成了上述四種解法后,有學(xué)生提出了利用圖中∠CBE=135°也可以構(gòu)造相似三角形,于是得到解法5.

    解法5:如圖8,在OC上截取OF=OA=1,則CF=2.

    連接AF,易得∠AFO=45°,∠AFC=135°,于是AF=2.

    易證△CFA∽△CBE,

    所以CFCB=AFBE,即232=2BE,

    解得BE=3.

    故E(6,0).

    上述解法5需要注意到∠CBE=135°,不容易想到輔助線(xiàn)的構(gòu)造,但是計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)便.

    思路二:構(gòu)造直角三角形斜邊中線(xiàn)模型,即利用相等角(“秒殺”).

    上述五種解法都是構(gòu)造相似三角形,有沒(méi)有更加簡(jiǎn)便快捷的方法呢?跳出構(gòu)造相似三角形這一框架,要求點(diǎn)E的坐標(biāo),在已知點(diǎn)C坐標(biāo)的情況下,可以通過(guò)求出直線(xiàn)CE的解析式,即先求出CE與BD的交點(diǎn)F的坐標(biāo)來(lái)得到.由于△BCD是直角三角形,因此利用第(2)問(wèn)的結(jié)論和第(3)問(wèn)的題設(shè)條件可以推出F為BD的中點(diǎn),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

    解法6:如圖9,設(shè)CE與BD交于點(diǎn)F.由第(2)問(wèn)結(jié)論△ACO∽△DBC,可得∠DCB=∠AOC=90°,∠CBD=∠ACO,

    于是∠CBD=∠BCE.

    因此CF=BF.

    因?yàn)椤螩BD+∠CDF=90°,∠DCF+∠BCE=90°,

    所以∠DCF=∠CDF,即CF=DF,從而DF=BF.

    于是F(2,2).

    故直線(xiàn)CF的解析式為 y=-12x+3,則E(6,0).

    思路三:全等模型,即利用相等角,構(gòu)造全等型(“秒殺”).

    利用隱含條件∠OBC=∠OCB=45°,∠1=∠BCE可進(jìn)一步推出∠OBD=∠OCE,延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,將求OE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求OF的長(zhǎng).由于直線(xiàn)BD的解析式非常容易得到,因此易求出點(diǎn)F的坐標(biāo),這種解法計(jì)算量也很小.

    解法7:如圖10,延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)F, 和解法5一樣可證∠1=∠BCE.又由∠OBC=∠OCB=45°,可得∠OBF=∠OCE, 從而有△BOF≌△COE,可得OE=OF.由直線(xiàn)BD的解析式為y=-2x+6,可得F(0,6),即OF=6.故OE=6, 即E(6,0).

    解法7中,得到∠OBF=∠OCE后,由于這兩個(gè)角正好都在直角三角形中,因此也可以使用三角比來(lái)得到OE=OF.

    解答如下:因?yàn)椤螼BF=∠OCE,所以tan∠OBF=tan∠OCE,則OFOB=OEOC,即OF3=OE3,因此OF=OE.

    上述七種解法的輔助線(xiàn)構(gòu)造方法不同的一個(gè)重要原因是學(xué)生處理問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同,幾種相似模型的輔助線(xiàn)構(gòu)造方法也不同則是因?yàn)闃?gòu)造的相似三角形不同,這是很自然的過(guò)程,從本質(zhì)看,又屬于“形變質(zhì)通、殊途同歸”.輔助線(xiàn)通常是解決問(wèn)題的橋梁,巧妙的輔助線(xiàn)經(jīng)??梢浴傲祷饔忠淮濉?

    2 思考和啟迪

    列夫托爾斯泰說(shuō)過(guò):“知識(shí),只有當(dāng)它是靠積極的思維得來(lái),而不是憑記憶得來(lái)的時(shí)候,才是真正的知識(shí).”因此,教師在課堂上應(yīng)把思考的權(quán)力還給學(xué)生,留給學(xué)生充分的思考時(shí)間.

    對(duì)于初中的綜合題講評(píng)課,筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)要注重對(duì)數(shù)學(xué)模型的抽象和提煉.“模型”是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知策略.在教學(xué)中要充分利用“數(shù)學(xué)模型”,從不同角度去思考同一道題目的解答方法,讓學(xué)生大膽地質(zhì)疑、大膽地思考,從多角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.每一個(gè)條件不同的延伸方向都是一種不同的解題思路,學(xué)生在探究的過(guò)程中所獲得的會(huì)比僅僅接受一種解法更加全面.作為教師,不僅要給學(xué)生探究的機(jī)會(huì),更要及時(shí)收集和分享學(xué)生的探究成果.一題多解,溝通了各種知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,有利于形成知識(shí)系統(tǒng),同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度去思考同一個(gè)問(wèn)題,有利于提高思維的流暢性和變通性,提高解題能力[2].

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]李士锜,黃興豐.數(shù)學(xué)案例教學(xué)論[M].合肥:安徽教育出版社,2011.

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