如何用向量方法判斷幾何圖形的形狀

宋 玉●

南京藝術(shù)學(xué)院附屬中等藝術(shù)學(xué)校(210013)

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如何用向量方法判斷幾何圖形的形狀

宋 玉●

南京藝術(shù)學(xué)院附屬中等藝術(shù)學(xué)校(210013)

用向量研究幾何圖形的形狀體現(xiàn)了平面向量的代數(shù)與幾何的雙重屬性，它體現(xiàn)了向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性，它體現(xiàn)了高考很重要的一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合.

特殊形狀；數(shù)量積公式；坐標(biāo)形式；共線定理.

平面向量這一章中有一個(gè)典型的例題，就是利用向量的方法判斷幾何圖形的形狀.筆者認(rèn)真地翻看了一下教材，發(fā)現(xiàn)這類題目有十幾個(gè)之多.筆者把這些例題作了修改整理，并讓學(xué)生們練了一下.練下來的結(jié)果并不太理想.其中最典型的錯(cuò)誤，就是判斷不全面.于是筆者與學(xué)生一起認(rèn)真地研究了這一類型題目的解題方法，有了一些心得體會(huì).

首先要清楚三角形、四邊形有哪些特殊形狀，它們的特點(diǎn)分別是什么.三角形主要分為：等腰三角形(兩條邊相等或兩個(gè)內(nèi)角相等)；直角三角形(一個(gè)內(nèi)角為 )；等邊三角形(三條邊相等或三個(gè)內(nèi)角相等).四邊形主要分為：平行四邊形：矩形(鄰邊垂直或?qū)蔷€相等)；菱形(鄰邊相等或?qū)蔷€垂直)；正方形(綜合矩形和菱形的特點(diǎn)).梯形：等腰梯形(一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行且相等);直角梯形(一個(gè)內(nèi)角為90°) .

其次要清楚用向量判斷形狀的主要方法有哪些.

常用的方法主要有向量的數(shù)量積、向量的坐標(biāo)公式、向量的共線定理、向量的運(yùn)算法則作圖等方法.比如說判斷兩條邊垂直，常用到a·b=0或x1x2+y1y2=0這兩個(gè)公式；判斷一組對(duì)邊平行且相等，則需得a=b就可以；判斷兩個(gè)向量平行，常用到b=λa或x1y2-x2y1=0這兩個(gè)公式.

以上兩點(diǎn)弄清楚以后，在具體做題時(shí)還會(huì)遇到各種各樣的問題，因此還需要多做一些相關(guān)例題，達(dá)到融會(huì)貫通，熟能生巧的效果.下面筆者舉例說明.

一、用向量數(shù)量積公式判斷形狀

二、用向量坐標(biāo)公式判斷形狀

例2 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,8)，B(-4,1)，C(1,3)，則△ABC的形狀為____.

錯(cuò)因分析 有的學(xué)生判斷結(jié)果是直角三角形,這個(gè)答案并不準(zhǔn)確.筆者與學(xué)生交流之后，發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生是先畫簡(jiǎn)圖，憑感覺看出有直角.而有的學(xué)生用坐標(biāo)法判斷出直角后，就沒再深究下去，因而判斷不準(zhǔn)確.我們師生針對(duì)這個(gè)問題研究出了判斷三角形形狀的一般方法.

步驟一：算出三個(gè)向量坐標(biāo)，先找垂直關(guān)系；

步驟二：如果有垂直關(guān)系，比如AC⊥BC，則先確定是直角三角形，再繼續(xù)判斷這兩個(gè)向量模是否相等；如果沒有垂直關(guān)系，則繼續(xù)判斷三個(gè)向量的模是否相等.看是否是等腰或等邊三角形.即先判斷位置關(guān)系再判斷數(shù)量關(guān)系.

例3 已知四邊形ABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(5,1),B(3,5),C(7,3),D(9,-1)，則四邊形ABCD的形狀為____.

步驟二 如果是平行四邊形，則繼續(xù)判斷鄰邊的關(guān)系，若鄰邊滿足相等關(guān)系，則是菱形；若滿足垂直關(guān)系，則是矩形；如果都滿足則是正方形(也可以從對(duì)角線角度分析，但如果是梯形，則判斷鄰邊是否垂直，兩個(gè)腰是否相等).

階段總結(jié) 教材中大多是給出四邊形的形狀，求某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)兩解的情況.筆者將其改為由四點(diǎn)判斷形狀，主要目的不是為了加深難度，而是希望達(dá)到讓學(xué)生熟練利用向量的坐標(biāo)公式來解決問題的目的.

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