賞析拋物線中的三個(gè)“相切”

梁宗明●

甘肅省蘭州市西固區(qū)蘭化一中(730060)

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賞析拋物線中的三個(gè)“相切”

梁宗明●

甘肅省蘭州市西固區(qū)蘭化一中(730060)

【相切一】以拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦|AB|為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

【相切二】以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸相切.

【相切三】AB為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,A,B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1,以A1B2為直徑的圓與AF相切于焦點(diǎn)F.

利用這些性質(zhì)解決一些問題往往思路清晰，方法簡(jiǎn)捷,回避復(fù)雜的運(yùn)算，縮短解題時(shí)間，提高準(zhǔn)確率.本文對(duì)幾個(gè)常用的結(jié)論進(jìn)行了證明并列舉實(shí)例.

【相切一】以拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦|AB|為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切

這表明圓心C到準(zhǔn)線l的距離等于半徑，故以焦點(diǎn)弦|AB|為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

【相切二】以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸相切.

這表明圓心C到y(tǒng)軸的距離等于半徑，故以拋物線焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸相切．

【相切三】AB為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,A,B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1,以A1B1為直徑的圓與AB相切于焦點(diǎn)F.

證明:易證FA1⊥FB1,說明點(diǎn)F在以A1B1為直徑的圓上.

當(dāng)AB⊥x軸，顯然成立.

這表明以A1B1為直徑的圓與AB相切于焦點(diǎn)F.

【2013年全國(guó)卷】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為( ).

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

故選C.

【2009湖北卷文】如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，自M,N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1,N1. 求證：FM1⊥FN1.

解析 當(dāng)MN⊥x軸，顯然成立

G632

B

1008-0333(2016)28-0041-01