老齡化趨勢下住房反向抵押貸款產(chǎn)品的定價分析

王學金

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老齡化趨勢下住房反向抵押貸款產(chǎn)品的定價分析

王學金

文章首先對傳統(tǒng)的反向抵押貸款定價進行改進優(yōu)化，分別建立了對不可贖回RM合約的精算定價方法和可贖回RM合約的期權(quán)定價法；然后對兩種模型下的定價結(jié)果進行了比較分析，得知考慮到壽命預(yù)期等因素的影響，相對于不可贖回RM合約，在我國可贖回RM合約更加適合投資者。

反向抵押貸款；不可贖回RM合約；可贖回RM合約；精算定價法；期權(quán)定價法

隨著我國老齡化水平的不斷加劇，如何解決養(yǎng)老問題，已成為大家普遍關(guān)注的一個社會問題。目前，我國老年人收入的現(xiàn)狀是：老年人收入來源少，收入水平相對較低。在我國傳統(tǒng)理念和消費模式的影響下，許多老年人的積蓄大部分都投在自己的房產(chǎn)上，其它生活消費所需要的大量現(xiàn)金很是拮據(jù)，成為典型的“房產(chǎn)富人，現(xiàn)金窮人”。同時，目前我國養(yǎng)老資金遠遠不能解決我國目前面臨的現(xiàn)狀，考慮到反向抵押貸款的優(yōu)越性，并且反向抵押貸款產(chǎn)品的定價是否合理，會從供給和需求兩個層面影響到反向抵押貸款業(yè)務(wù)的順利推展，同時決定了該產(chǎn)品推出能否取得相應(yīng)的成功。所以國內(nèi)外學者們早已對住房反向抵押貸款做了比較充分的研究，尤其是在產(chǎn)品定價方面。

基本的定價方法主要分為三類：第一類是支付因子定價法。支付因子定價模型最先由Chinloy和Megbolugbe[1]提出，后來的反向抵押貸款定價模型一般都是在此模型的基礎(chǔ)上推導得出的。此模型在考慮房產(chǎn)價值波動、死亡率波動和利率波動等影響因素下，計算出貸款支付因子，然后用支付因子乘上房產(chǎn)價值得出借款人可獲得的貸款額度。第二類是保險精算定價法。Bardhan等[2]假設(shè)在風險中性的環(huán)境下，根據(jù)歐式看跌期權(quán)定價的方法，設(shè)計了反向抵押貸款保險的定價模型。第三類是期權(quán)定價法。Tse[3]根據(jù)貸款機構(gòu)未來收回住房價值的貼現(xiàn)值與支持貸款金額的貼現(xiàn)值相等的原則，構(gòu)建了貸款機構(gòu)損益平衡定價模型，模型假設(shè)未來利率等于過往平均利率、未來房價增值率與過往平均房價增值率相同、借助中國人口生命表計算得出借款人平均余命等。Mitchell和Piggott[4]基于貸款機構(gòu)貸款額現(xiàn)值與未來住房價值的現(xiàn)值相等的原則，利用精算定價理論設(shè)計了反向抵押貸款定價模型，分別計算了單個借款人可躉領(lǐng)的貸款金額和以年金方式領(lǐng)取每期數(shù)額。Baer等[5]在不考慮貸款機構(gòu)利潤的前提下，主要從借款者的預(yù)期壽命、利率波動和未來房價波動三個方面出發(fā)建立了精算定價模型，同時對其進行了蒙特卡洛模擬，并實現(xiàn)了最終定價。利率可根據(jù)林海、鄭振龍[6]的中國利率動態(tài)模型來得出。

本文主要基于Mitchell等[4]提出的反向抵押貸款定價模型，考慮到借款者的繼承、壽命預(yù)期等因素，分別對不可贖回RM合約和RM合約建立了風險中性精算定價模型和歐式看漲期權(quán)定價模型對其進行相關(guān)研究，最后對兩種模型進行了實證分析，并結(jié)合我國現(xiàn)實實際對其進行了比較分析。

1 基于精算方法的不可贖回RM定價模型

考慮到借款者可以一次性躉領(lǐng)，也可以在生存期間的每年等額領(lǐng)取現(xiàn)金，所以本文進行如下假設(shè)：

1.房產(chǎn)不涉及其他抵押貸款；

2.僅考慮單個借款者；

3.僅考慮借款者預(yù)期壽命為整數(shù)年齡；

4.不考慮發(fā)行費、保險費和其他交易費用。

基于上述假設(shè)，我們可得到不可贖回RM合約定論模型：

當RM合約規(guī)定借款者可以按生存年金方式領(lǐng)取，則所有LA的現(xiàn)值總額應(yīng)等于LS，即

或者

2 基于期權(quán)定價的可贖回RM定價模型

可贖回RM合約可以看作一份期權(quán)，因為RM合約的購買者或其繼承人在合約到期日具有選擇執(zhí)行或者放棄執(zhí)行合約的權(quán)利。正是因為購買者具有選擇的權(quán)利，所以相對于不可贖回RM合約，貸款機構(gòu)面臨更大的風險，因此為了有效地對沖風險，貸款機構(gòu)必須通過構(gòu)造一定的資產(chǎn)用以保持借貸平衡，具體見下表：

表1

根據(jù)表中的分析，我們可得：

然后基于歐式看漲期權(quán)的定價公式可得：

其中

3 兩種模型的比較分析

考慮到上述兩種類型的合約僅僅是從貸款機構(gòu)的角度出發(fā)的，并沒有考慮到借款者的期望。盡管基于不同的定價模型，但是不可贖回RM合約中的LS值和LA值都比可贖回RM合約中的值稍微大些，但這并不意味著不可贖回RM合約就比可贖回RM合約更加具有吸引力，這主要是因為在實際生活中，我們還需要考慮到房產(chǎn)繼承、預(yù)期壽命和未來房價波動等各種因素變動的影響。

假設(shè)經(jīng)濟增速穩(wěn)定，房價波動不大，此時投資者購買RM合約與否主要取決于它的預(yù)期壽命，如果借款者預(yù)期自己還會存活較長時間，那么為了每期獲得更多的年金額度，他將會選擇無贖回權(quán)的RM合約，反之，借款者則會選擇可贖回權(quán)的RM合約，甚至可能不會選擇投資二者中的任何一種。但是，經(jīng)濟的發(fā)展并不是一直比較穩(wěn)定，其發(fā)展過程中存在周期的繁榮衰落，基于此，根據(jù)內(nèi)在不穩(wěn)定性，所以不可贖回RM合約可能會沒有較大的市場需求。

現(xiàn)在我們同時考慮貸款機構(gòu)和借款者兩個方面，基于上述所建立的定價模型，我們可以分別得到各模型下的曲線，分別如圖1、圖2所示：

圖1 不可贖回RM合約示意圖

圖2 可贖回RM合約示意圖

實際意義：圖1和圖2中的傾斜角呈45度的直線表示的是市場均衡價格，即未來房價H0等于支付總額LA/LS時的價格曲線。因此，這條直線上方的任何一點都可以被投資者接受的。圖中可以發(fā)現(xiàn)，借款人的需求曲線的斜率逐漸變小，這是因為隨著年齡的增長，借款者預(yù)期自己的壽命不斷減少，因此主觀上會逐漸失去投資意愿。同時我們可以看出，當房價和經(jīng)濟因素趨于穩(wěn)定時，投資風險降低，這就會導致曲線出現(xiàn)交集，即投資機會的存在。反之，當經(jīng)濟繁榮發(fā)展，利率、商品價格等快速增長時，投資者就會預(yù)期未來的價值應(yīng)該會有較大發(fā)展空間，同時考慮到貸款機構(gòu)面臨的風險也在增長，這就會導致兩條曲線幾乎不會相交，如圖2所示，即合約幾乎不存在市場。

4 實證模擬及分析

為了簡化分析，我們假定借款者和貸款機構(gòu)對未來房價的預(yù)期是一樣的，并且在此我們僅僅考慮借款者的遺產(chǎn)繼承動機以及壽命預(yù)期兩個因素對不可贖回RM 合約和可贖回RM合約選擇的影響。假設(shè)一名65歲的擁有價值90萬的房產(chǎn)的老年人準備申請RM貸款，假設(shè)貸款以生存年金的方式發(fā)放，在此有兩種方式可供其選擇，即不可贖回RM合約和可贖回RM合約。除此之外，我們假設(shè)房產(chǎn)價值的年增長率為g=0.045，連續(xù)復(fù)利下房產(chǎn)價格的標準差為σ=0.1，連續(xù)復(fù)利無風險利率為r=0.02，RM合約的借款利率為r2=0.065,房產(chǎn)的折舊率為β=0.02。

從其他金融機構(gòu)借款的利率假設(shè)為r3=0.03，借款者和貸款機構(gòu)對預(yù)期壽命的預(yù)測都是基于中國人口死亡率表(2000-2003)。

基于前面的計算公式，結(jié)合上述假設(shè)，我們可以計算得到在不同年份下，兩種合約的現(xiàn)值比較值，同時也可以得到對應(yīng)年份下房產(chǎn)價值的現(xiàn)值，具體見下表：

表2 兩種類型RM合約的比較分析表

備注：(1)RM合約的現(xiàn)值為，其中 是借款者每年從貸款機構(gòu)處獲得的年金額度。

(2)房產(chǎn)價值為

(3)價值單位：一萬元

通過上表，我們清晰地看到不同合約下現(xiàn)值的差異以及房產(chǎn)價格的現(xiàn)值。由上表可知，如果借款者預(yù)期自己能活過78歲，他將會選擇不可贖回RM合約，這是因為此時房產(chǎn)價值的現(xiàn)值大于不可贖回RM合約的現(xiàn)值；如果借款者78歲之前逝世，并且他選擇的是不可贖回合約，那么潛在的收益(即圖中的陰影部分)歸屬于貸款機構(gòu)。如果借款者選擇的是可贖回RM合約，盡管合約價格和房產(chǎn)價格現(xiàn)值相等大概在其80歲時達到，但是若借款者80歲前發(fā)生死亡，則潛在的收益可由其繼承人獲得。當然，幾乎沒有人會在65歲時預(yù)計自己一定能活到78歲，并且根據(jù)最新的人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，如今中國男性的預(yù)期壽命是70歲，女性預(yù)期壽命是72歲，因此，在中國一個65歲的老年人不會預(yù)計自己活過78歲。因此，考慮到預(yù)期壽命和遺產(chǎn)繼承因素，盡管可贖回RM合約相比較于不可贖回RM合約給予借款人的額度較低，但是在中國這個特定的環(huán)境中，大多數(shù)人還是會選擇可贖回RM合約的。

5 總結(jié)

本文主要從借款者預(yù)期不確定的角度出發(fā)，分別考慮可贖回RM合約與不可贖回RM合約的定價模型：通過上述理論證明及實證分析結(jié)果可得，由于借款者考慮到繼承、預(yù)期壽命不確定性及房價波動性等因素，不可贖回RM合約相對于可贖回RM合約在我國缺乏有效市場，這也解釋了前期“以房養(yǎng)老”試點失敗的原因。

[1] Chinloy, P., Megbolugbe, I. F.. Reverse Mortgages: Contractingand Crossover Risk[J]. Real Estate Economics, 1994, 22(2)：214-226.

[2] Bardhan, A., Karapandza, R. , Urosevic, B.. Valuing Mortgage Insurance Contracts in Emerging Market Economies[J]. The Journal of Real Estate Finance and Economics, 2006, 32(1)：152-176.

[3] Tse, Y. K. Modeling Reverse Mortgage[J]. Asia Pacific Journal of Management, 1995(12): 79-95.

[4] Mitchell, O. S., Piggott, J. Unlocking Housing Equity in Japan[J]. Journal of the Japanese and International Economies, 2004, 18(4)：302-328.

[5] Bear, T., Eroi, I., Pereira, R. and Yoo, S.J. Pricing of Reverse Mortgage on Forward House Sale. Atlantis-press.com, 2006.

[6] 林海，鄭振龍. 中國利率動態(tài)模型研究 [J]. 財經(jīng)問題研究，2005(9)：63-67.

責任編輯：劉海濤

Analysis of the Pricing of Reverse Mortgage under Aging Trend

Wang Xuejin

To improve optimization of traditional pricing of reverse mortgage, we establish the actuarial pricing method with non-redeemable RM contract. Besides, we establish the option pricing with redeemable RM contract. Next we carry on the comparative analysis with the pricing result between two models, and we know that considering the influence of factors such as life expectancy, compared with the non-redeemable RM contracts, the redeemable RM contract is more suitable for investors in China.

reverse mortgage; non-redeemable RM contract; redeemable RM contract; Actuarial Pricing Model; Option Pricing Model

O211.67

A

1673-1794(2016)05-0024-04

王學金，滁州學院數(shù)學與金融學院教師，碩士(安徽 滁州 239000)。

滁州學院校級規(guī)劃項目(2014GH09，2014GH11)；滁州市社科聯(lián)項目(B2015010)；安徽省級金融工程團隊(2013jxtd035)；滁州學院大學生創(chuàng)新訓練項目(2016CXXL011)

2015-10-12