探尋問題求解彰顯思想魅力

孫永前

知識(shí)是載體，方法是手段，思想是靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是高考考查的重點(diǎn).下面通過數(shù)學(xué)例題探求問題的求解策略，挖掘其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

一、化歸與轉(zhuǎn)化思想

例1某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為45、35、25，且各輪問題能否正確回答互不影響.（1）求該選手被淘汰的概率；（2）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解析：（1）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為Ai（i=1，2，3），則P（A1）=45，P（A2）=35，P（A3）=25.該選手被淘汰的概率P=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-45×35×25=101125.（2）ξ的可能值為1，2，3，P（ξ=1）=P（A1）=15，P（ξ=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=45×25=825，P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1225.ξ的分布如下表.∴Eξ=1×15+2×825+3×1225=5725.

ξ123P158251225點(diǎn)評(píng)：本題通過正與反的轉(zhuǎn)化，考慮其對(duì)立事件，實(shí)現(xiàn)問題求解，簡(jiǎn)化求解過程.兩例題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決.這種解題策略就是化歸與轉(zhuǎn)化.

二、分類討論思想

例2由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、2都不與5相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.

A.36B.32C.28D.24

解析：根據(jù)5所在的位置，可將問題分成兩類：第一類：如果5在兩端，則1、2有三個(gè)位置可選，排法為2×A22A22=24種.第二類：如果5不在兩端，則1、2只有兩個(gè)位置可選，3×A22=12種.由分類加法計(jì)數(shù)原理有：12+24=36種.

點(diǎn)評(píng)：本題從特殊元素5出發(fā)，將符合條件的五位數(shù)分成兩類，避免了分類討論中的重復(fù)與遺漏.分析題意，找出分類討論標(biāo)準(zhǔn)是分類討論思想的關(guān)鍵.

三、函數(shù)與方程思想

例3已知（3x4+7x3+4x2-7x-5）5（3x4-7x2+4x2+7x-5）5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40，試求a0+a2+a4+…+a40的值.

解析：設(shè)f（x）=（3x4+7x3+4x2-7x-5）5（3x4-7x3+4x2+7x-5）5，則f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，故a1=a3=a5=…=a39=0.又f（1）=（3+7+4-7-5）5（3-7+4+7-5）5=25·25=a0+a2+…+a40，則a0+a2+a4+…+a40=25·25=1024.

點(diǎn)評(píng)：本題通過對(duì)已知式子結(jié)構(gòu)的觀察，構(gòu)造函數(shù).兩例題通過挖掘題目中的條件，構(gòu)造函數(shù)與方程，巧妙運(yùn)用函數(shù)與方程思想使問題輕松得解.

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4如圖，A、B、C、D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案共有（）.

A.8種B.12種C.16種D.20種

解析：根據(jù)題給條件構(gòu)建三棱錐A-BCD，四個(gè)頂點(diǎn)表示小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁.由題意知，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法：從六條棱中任取三條棱的不同取法為C36種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取不共面的棱的不同取法為C36-4=16種.答案為C.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將問題與直觀圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，達(dá)到事半功倍的效果.這種解法，在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越.

總之，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生要注意發(fā)現(xiàn)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.只有這樣，才能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，提高學(xué)生的綜合解題能力.