激光輻照材料表面非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解

張麗靜，尚新春

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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激光輻照材料表面非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解

張麗靜，尚新春

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

針對(duì)有較長(zhǎng)熱馳豫時(shí)間的材料在表面受到激光脈沖照射時(shí)的非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題，利用Laplace、Hankel變換及其逆變換，給出了一個(gè)半解析解.數(shù)值仿真表明，該半解析解能夠清晰顯示非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的熱波現(xiàn)象.

非Fourier效應(yīng)；半解析解；積分變換；熱弛豫時(shí)間

MSC 2010：35Q79；80A20

經(jīng)典熱傳導(dǎo)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)是Fourier擴(kuò)散模型，在該模型中，熱傳播的速度通常被假定為無(wú)限大，但該假設(shè)在使用激光或微波進(jìn)行快速加熱的過(guò)程中，或材料本身有較大熱弛豫時(shí)間時(shí)，都是不成立的[1-3].為描述在這些情況下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，Cattaneo[4]和 Vernotte[5]首先將熱弛豫時(shí)間引入了熱傳導(dǎo)模型，該模型被稱為 Cattaneo-Vernotte (CV) 模型.CV 模型是一種雙曲型模型，故熱的傳播也將具有類似波的特性.

研究人員已經(jīng)針對(duì)CV模型，深入探討了模型的解析解或數(shù)值解.但是，由于CV 模型控制方程的復(fù)雜性，人們很難給出其顯式的解析解，故多數(shù)工作主要給出了該模型的數(shù)值解[6-8]或一維問(wèn)題的解析解[9-10].盡管數(shù)值解法能在一定程度上對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行模擬，但對(duì)其解析解的研究仍然是至關(guān)重要的，因?yàn)樗梢员挥脕?lái)檢驗(yàn)數(shù)值解的正確性，并評(píng)估數(shù)值方法的逼近性能.

針對(duì)具有較長(zhǎng)熱弛豫時(shí)間的材料，在表面受到激光輻照時(shí)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，本文綜合使用了 Laplace、Hankel 變換及其逆變換，導(dǎo)出了一個(gè)新的半解析解.此外，利用該解得到的數(shù)值結(jié)果也表明，熱傳導(dǎo)過(guò)程中的熱波現(xiàn)象可被清晰顯示.

1 數(shù)學(xué)模型

考慮激光束照射在一個(gè)半無(wú)限大材料表面上的情形(圖1).由于激光光束具有軸對(duì)稱的性質(zhì)，故可用柱坐標(biāo)來(lái)研究該熱傳導(dǎo)問(wèn)題.令T為材料溫度.由于在平行于材料表面的平面上溫度分布與幅角無(wú)關(guān)，故可假定T=T(r,z,t)(r≥0,z≥0,t≥0)，其中r為極徑，z為指向材料內(nèi)部并垂直于材料表面的豎軸，t表示時(shí)間.本文中的物理量均使用國(guó)際單位制.在激光輻照下，材料的熱響應(yīng)方程為

(1)

a.材料表面溫度場(chǎng)在空間上的分布；b.材料表面溫度場(chǎng)最高溫度隨時(shí)間的變化曲線.圖1 激光束照射在半無(wú)限大材料表面上的溫度分布Fig.1 Thermal distribution of laser beam irradiating on the material

由于輻照深度一般是比較小的[11]，故可使用如下邊界條件來(lái)近似激光光束突然照射在材料表面時(shí)的熱分布

(2)

其中H(t) 為Heaviside階躍函數(shù)，p和q為刻畫激光束溫度分布的參數(shù).在材料表面，激光束產(chǎn)生的溫度分布如圖1a所示.由于激光照射的時(shí)間通常較短，故激光束的最高溫度隨時(shí)間t的增加快速衰減如圖1b.

沿著z軸方向，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知

(3)

此外，方程的解還需滿足如下的正則性條件

(4)

及初始條件

(5)

綜上，激光輻照下材料內(nèi)溫度分布的問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求方程(1)滿足條件(2)-(5)的解.

2 半解析解

首先，對(duì)方程(1)中的變量t做Laplace變換，然后再對(duì)變量r做Hankel變換，結(jié)合條件(2)-(5)，可得

，

(6)

(7)

求解方程(6)和(7)，可得如下解析解

(8)

由于逆Hankel變換的解析形式通常不容易得到，故為能夠從式(8)導(dǎo)出原問(wèn)題的半解析解，可按式(9)交換積分次序

(9)

2.1 非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解(即γ=ρ0c0/k0且τ0≠0)

對(duì)式(8)做逆Laplace變換可得

(10)

其中

將式(10)帶入式(9)，并利用條件(2)-(5)可導(dǎo)出非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解

(11)

2.2 Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解(即γ=ρ0c0/k0且τ0=0)

當(dāng)τ0=0時(shí)，式(8)可化為

.

對(duì)上式進(jìn)行逆Laplace變換，可得

(12)

其中

.

將式(12)帶入式(9)可得Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解為

(13)

2.3 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解(即γ=0)

在γ=0時(shí)，方程(1)化為齊次微分方程，式(8)可化為

對(duì)上式進(jìn)行逆Laplace變換，可得

(14)

其中，g3(ξ,z,t)=e-zξ-qt.將式(14)帶入式(9)，可得穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解為

(15)

3 數(shù)值算例

由于皮膚是一種具有較大熱弛豫時(shí)間的材料，故本文中使用文獻(xiàn)[12]中給出的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即ρ0=1 000 kg/m3，c0=4 200 J/(kg·K)，k0=0.5 W/(m·K)，τ0=20 s.另外，取p=1 000及q=0.2. 圖2和圖3給出了在相同的初邊值條件下，本文求得的非Fourier問(wèn)題、經(jīng)典Fourier問(wèn)題及穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解之間的對(duì)比.

圖2給出了在t=10 s時(shí)，無(wú)量綱化后的溫度沿z軸(r=0)的分布曲線.由圖2可以看出，一方面根據(jù)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)和經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定義，在相同的時(shí)間，同一深度處，經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解比穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解略?。涣硪环矫?，由于非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，熱是以有限速度傳導(dǎo)的，故在相同時(shí)間，同一位置處非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解在“熱波前”后時(shí)(在“熱波前”左側(cè))比穩(wěn)態(tài)和經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題解的取值都大，而在“熱波前”前(在“熱波前”右側(cè))則始終為0.熱波的波前將隨著時(shí)間t的增加從左向右傳播(圖3)，可清晰見到熱波從皮膚表面向皮膚縱深傳播的現(xiàn)象.

z/mm圖2 沿z軸的溫度分布，t=10 sFig.2 Temperature distribution along z-axis，t=10 s

z/mm圖 3 材料內(nèi)部熱波前的傳播，τ0=20 sFig.3 Propergation of thermal wave inside material，τ0=20 s

圖4、圖5、圖6分別給出了t=2、8、14 s時(shí)，使用文中求得的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題、經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題和非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題半解析解得到的材料內(nèi)部溫度分布的等高線圖.可以看出，F(xiàn)ourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題與非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的等高線與穩(wěn)態(tài)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的等高線相比，相對(duì)較為扁平，同時(shí)，由圖6也可看到非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題的“熱波前”隨時(shí)間增加逐漸向材料內(nèi)部移動(dòng)的現(xiàn)象.

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖4 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題材料內(nèi)部溫度場(chǎng)等高線Fig.4 Contour plot of steady thermal propagation problem inside material

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖5 Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題材料內(nèi)部溫度場(chǎng)等高線Fig.5 Contour plot of Fourier thermal propagation problem inside material

a.t=2 s；b.t=8 s；c.t=14 s.圖6 非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題材料內(nèi)部溫度場(chǎng)等高線Fig.6 Contour plot of non-Fourier thermal propagation problem inside material

4 結(jié)論

本文使用Laplace、Hankel變換及其逆變換，給出了一個(gè)對(duì)具有較長(zhǎng)熱弛豫時(shí)間的材料，在表面受到激光束突然照射時(shí)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的半解析解.數(shù)值算例表明，非Fourier熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的熱波現(xiàn)象可在該解中清晰顯示.利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，修正模型中的參數(shù)后，即可使用該半解析解預(yù)測(cè)材料內(nèi)部的溫度場(chǎng)分布.

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

Semi-analytic solution of the non-Fourier thermal propagation on the surface of material irradiated by laser beam

ZHANG Lijing，SHANG Xinchun

(School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)

The non-Fourier model of heat transfer as a laser pulse irritating on surface of material with large thermal relaxation time is considered.A new semi-analytic solution is derived by using Laplace，Hankel and their inverse transforms.By numerically simulating the solution，the wave form behavior of temperature can be seen clearly.

non-Fourier effect；semi-analytic solution；integral transform；thermal relaxation time

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.05.001

2016-04-27

爆炸科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目( KFJJ12-12M)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (10772024)

張麗靜(1973—)，女，山西大同人，北京科技大學(xué)講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)及熱力耦合問(wèn)題的研究. E-mail:zhanglij@ustb.edu.cn

尚新春(1958—)，男，山西朔州人，北京科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事熱學(xué)、力學(xué)問(wèn)題的研究. E-mail:shangxc@ustb.edu.cn

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1000-1565(2016)05-0449-06