彈性邊界下圓弧拱的自由振動(dòng)分析

趙章泳， 邱艷宇,2， 王明洋,2， 宋春明,2， 曹 侃

(1.解放軍理工大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007; 2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

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彈性邊界下圓弧拱的自由振動(dòng)分析

趙章泳1， 邱艷宇1,2， 王明洋1,2， 宋春明1,2， 曹 侃1

(1.解放軍理工大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007; 2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

工程中圓弧拱的邊界不能總被簡(jiǎn)化為理想的簡(jiǎn)支或固支形式。為了研究彈性支承對(duì)圓弧拱自由振動(dòng)特性的影響規(guī)律，將力、位移等變量無量綱化。根據(jù)平衡方程和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換推導(dǎo)得出極坐標(biāo)下圓弧拱在水平、豎直和轉(zhuǎn)動(dòng)方向支撐條件為彈性時(shí)的邊界條件方程。并采用考慮彎曲和軸向變形而忽略剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)控制方程。運(yùn)動(dòng)方程在邊界條件情況下，其解僅為關(guān)于矢跨比f,細(xì)長(zhǎng)比s和無量綱剛度陣[K]的函數(shù)。采用Runge-Kutta法和行列式搜索法求解運(yùn)動(dòng)方程的特征值即無量綱頻率Ωi以及特征向量即振型。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，與理想支撐相比，彈性支承情況下細(xì)長(zhǎng)比s對(duì)拱自振頻率的影響要明顯下降。理想支撐情況下圓弧拱的自振頻率越高，則彈性支承對(duì)其自振頻率的影響越小。與水平和豎向彈性支承相比，轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性支承僅對(duì)圓弧拱基頻有較大影響。

圓弧拱；自由振動(dòng)；彈性邊界；振型；自振頻率；無量綱化

同梁、板、柱等一樣，拱結(jié)構(gòu)是工程中最重要的基本構(gòu)件之一，在不同領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，CHIDAMPARAM 等[1]整理了一百多年來關(guān)于拱的研究。由于工程中拱結(jié)構(gòu)的橫截面通常都是左右對(duì)稱的，因此可以將拱的平面內(nèi)撓曲振動(dòng)和平面外扭轉(zhuǎn)振動(dòng)解耦從而分別處理[2]。HENRYCH[3]通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了極坐標(biāo)下拱結(jié)構(gòu)的考慮彎曲、軸向、剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素時(shí)的數(shù)學(xué)模型，并且得到了忽略軸向變形和切向慣性力的情況下拱振型的閉合解。然而對(duì)于較淺的拱，其軸向變形對(duì)拱自由振動(dòng)頻率具有顯著影響[4]。KARNOVSKY[5]著重對(duì)在一定程度上滿足工程要求的基礎(chǔ)上對(duì)拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行多自由度離散。在這些研究中，絕大多數(shù)采用的都是理想的簡(jiǎn)支和固支的邊界條件。但是在工程中結(jié)構(gòu)的邊界不能總簡(jiǎn)化為理想邊界，因此需要研究彈性支撐邊界對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振特性的影響。LEE等[6]曾經(jīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)在徑向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性的邊界情況進(jìn)行了研究。然而實(shí)際工程中的彈性卻總是存在于水平、豎直方向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的?？垫玫萚7]曾利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中柔度系數(shù)的概念對(duì)水平彈性支撐下園拱的動(dòng)力特性進(jìn)行了計(jì)算。本文將更全面的針對(duì)圓弧拱在這三種彈性邊界下的自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

1 計(jì)算模型

α=4arctan(2f)

(1)

式中：f和s分別為拱的矢跨比和拱的細(xì)長(zhǎng)比。拱的邊界在三個(gè)方向上分別具有大小為Kx、Ky、KΘ的彈性支撐。極坐標(biāo)系下拱軸線上θ位置點(diǎn)的徑向和切向位移分別為u、v,轉(zhuǎn)角為ζ。直角坐標(biāo)系下拱軸線上θ位置點(diǎn)的橫向和豎向位移分別為X、Y，轉(zhuǎn)角為Θ；對(duì)應(yīng)的力為Fx、Fy、M。

圖1 圓弧拱幾何模型Fig.1 Circular arch model

圖2所示為極坐標(biāo)系下拱微元體受外荷載作用的內(nèi)力圖，其中N、Q、M分別為軸力、剪力、彎矩，Pr、Pθ分別為微元體所受的徑向分布荷載和切向分布荷載。所有位移和力的正方向均同圖1、圖2中所示一致。

圖2 拱微元體受力模型Fig.2 Loads on an arch element

WUNG[8]曾對(duì)軸向變形、剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在理想支座下對(duì)拱的自振頻率的影響進(jìn)行了詳細(xì)的研究和計(jì)算，表明在細(xì)長(zhǎng)比s小于0.1的拱中，軸向變形對(duì)拱的頻率影響遠(yuǎn)大于其他兩項(xiàng)。因此本文亦采用忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，考慮軸向變形的幾何方程。HENRYCH[3]推導(dǎo)得到了這種情況下拱的幾何、物理和平衡方程分別如式(2)～(4)所示：

(2)

(3)

(4)

需要注意的是，由于忽略了剪切變形，剪力Q是由平衡方程導(dǎo)出而并非物理方程。

為了避免數(shù)值計(jì)算中可能出現(xiàn)的病態(tài)現(xiàn)象以及計(jì)算結(jié)果的推廣，將所有物理量無量綱化。定義無量綱位移為位移與l之比，無量綱彎矩為彎矩與EI/l之比，無量綱力為力與EI/l2之比，轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧無量綱剛度為剛度與π4EI/l之比，線性彈簧無量綱剛度為剛度與π4EI/l3之比[6]。為了方便推導(dǎo)和計(jì)算，采用向量形式表示變量：

(5)

向量中元素均已無量綱化，在后文中如無特殊說明，所有變量均為無量綱變量。

(6)

圓拱內(nèi)力與位移的關(guān)系為：

(7)

式中：

如果考慮圓拱的軸向變形而忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則圓拱自由振動(dòng)的控制微分方程為[3]：

(8)

(9)

在邊界處,θ=±α/2，根據(jù)平衡條件有：

(10)

對(duì)于彈簧，根據(jù)胡克定律：

(11)

又直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(12)

由于[T]陣為對(duì)稱正交陣，聯(lián)立式(10)～(12)可得，在邊界處有：

(13)

式中：

聯(lián)立式(7)、(13)可得：

(14)

式(14)即為彈性邊界下圓拱自由振動(dòng)的邊界條件。

2 振型正交性

在振型正交性的推導(dǎo)中，由于對(duì)如同時(shí)間，質(zhì)量等變量進(jìn)行無量綱化并不影響結(jié)果，因而在振型正交性推導(dǎo)中并不采用無量綱參數(shù)。

記：

[dm(θ,t)]=am[dm(θ)]sin(ωmt+φm)

[dn(θ,t)]=an[dn(θ)]sin(ωnt+φn)

(15)

分別為圓拱按第m、n階振型振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)向量。此時(shí)第m階振型的慣性力向量為

[Im(θ,t)]=

(16)

其中質(zhì)量陣

(17)

則在任意時(shí)刻t，第m階振型對(duì)應(yīng)的慣性力按照第n階振型的虛位移上所做的虛功為

sin(ωmt+φm)sin(ωnt+φn)

(18)

同理在任意時(shí)刻t，第n階振型對(duì)應(yīng)的慣性力按照第m階振型的虛位移上所做的虛功為:

sin(ωmt+φm)sin(ωnt+φn)

(19)

根據(jù)Maxwell-Betti定律，第一組荷載在第二組荷載所引起的變位上所做的功等于第二組荷載在第一組荷載所引起的變位上所做的功，則

Wm,n(t)=Wn,m(t)

(20)

由于

[dm(θ)]T[M]T[dn(θ)]=

[dn(θ)]T[M]T[dm(θ)]

(21)

聯(lián)立式(18)、(19)、(20)可得

其中

H(t)=amansin(ωmt+φm)sin(ωnt+φn)

(22)

由于對(duì)任意時(shí)刻t，式(22)成立，且對(duì)一般結(jié)構(gòu)，圓頻率為重根的情況非常少見[9]。故：

(m≠n)

(23)

此式即為圓拱結(jié)構(gòu)對(duì)質(zhì)量的正交性。

3 數(shù)值方法的收斂性及與有限元對(duì)比

為了解決微分方程(8)在邊界條件(14)下的解，可以使用AL-KHAFAJI[10]以及LEE等[11]介紹的數(shù)值方法。通過行列式尋根法和試位法來計(jì)算拱的無量綱自振頻率Ωi，再根據(jù)Runge-Kutta計(jì)算拱的振型，其中i表示模態(tài)階數(shù)。

圖3 數(shù)值方法收斂性分析Fig.3 Convergence analysis of the numerical method

圖3為f=0.3,s=0.01前四階頻率隨半拱劃分段數(shù)N的收斂情況。從圖中可發(fā)現(xiàn)：邊界彈簧剛度越小，收斂越快；振型階數(shù)越低，收斂越快；當(dāng)N>40時(shí)，前四階的自振頻率Ωi均能收斂。通過對(duì)不同的f、s及[K]的計(jì)算，N=40的劃分均能收斂。所以在計(jì)算中，統(tǒng)一采用了N=40的劃分方法。

在對(duì)拱的有限元計(jì)算中，常用線單元對(duì)拱進(jìn)行離散。采用多少線單元可以得到理想的近似效果是值得注意的。通過對(duì)離散后圓拱的剛度陣和質(zhì)量陣進(jìn)行無量綱化，同樣可以得到其無量綱頻率Ωi[4]。將全拱劃分為100段，計(jì)算得到了幾種典型情況下圓拱的無量綱頻率Ωi?，F(xiàn)將兩種方法計(jì)算結(jié)果列在表1中對(duì)比。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)劃分段數(shù)達(dá)到全拱100段后，對(duì)于不同矢跨比和細(xì)長(zhǎng)比，前四階振型均能滿足2%以內(nèi)的誤差。

表1 本文Ωi的計(jì)算結(jié)果與有限元方法對(duì)比

4 討 論

4.1 彈性支撐下矢跨比對(duì)頻率的影響

對(duì)于板拱，當(dāng)f在0.08附近時(shí)，存在著振型的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，即當(dāng)f減小時(shí)，拱的一階振型會(huì)從反對(duì)稱變換成為對(duì)稱。這種變化意味著曲桿作為拱結(jié)構(gòu)的剛度的喪失，并轉(zhuǎn)化為曲梁[2]。通過本文計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)拱具有彈性支撐時(shí)，這種現(xiàn)象將不僅僅出現(xiàn)在淺拱中。如圖4所示為s=0.01,kx=∞、ky=100、kΘ=0時(shí)圓拱前四階自振頻率Ωi隨矢跨比f的變化曲線，圖中ia、is分別為反對(duì)振動(dòng)和對(duì)稱振動(dòng)的階數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn)第一階對(duì)稱振動(dòng)和第一階反對(duì)稱結(jié)構(gòu)自振頻率曲線在f=0.4時(shí)相交，之后第一振型由對(duì)稱變?yōu)榉磳?duì)稱，而在理想邊界條件下，這一現(xiàn)象發(fā)生在f=0.08附近。且第二階對(duì)稱振動(dòng)和第二階反對(duì)稱振動(dòng)的頻率曲線在f=0.07處發(fā)生了相交。而在LEE[6]的算例中，高階的頻率曲線只是靠近而并沒有相交。說明對(duì)于高階振型，彈性邊界也會(huì)使得對(duì)稱與反振型發(fā)生互換。

圖4 Ωi 隨矢跨比f變化曲線Fig.4 The ΩiVersus rise to length ratio f curves

由于這種振型的互換現(xiàn)象，為了研究彈性邊界對(duì)拱自振頻率的影響規(guī)律，在計(jì)算研究中把反對(duì)稱振動(dòng)和對(duì)稱振動(dòng)區(qū)分開來是很有必要的。

4.2 彈性支撐下細(xì)長(zhǎng)比對(duì)拱頻率的影響

圓拱的細(xì)長(zhǎng)比s對(duì)于拱的頻率變化的影響是十分顯著的[12]?？傮w來說，矢跨比越小，模態(tài)階數(shù)越高，影響越為明顯[13]。這是由于s越大，拱軸線的軸向應(yīng)變與拱截面上遠(yuǎn)離拱軸線的纖維因彎曲而發(fā)生的應(yīng)變相比，越來越不能忽略[14]。拱的軸向應(yīng)變?cè)诠罢駝?dòng)過程中的影響主要表現(xiàn)在使圓拱的無量綱自振頻率下降[8]。如圖5所示，在豎向彈性支撐條件下，由于圓拱邊界剛度的下降導(dǎo)致拱振動(dòng)過程中軸力減小，拱軸向變形也相應(yīng)減小，因而較兩端理想支撐情況下，s對(duì)Ωi的影響也大大減小。與豎向彈性支承相比，當(dāng)水平彈性支承剛度減小時(shí)，拱中軸力將減小而彎矩將增大[15]，因而s對(duì)Ωi的影響將比豎向彈性支撐更弱，在計(jì)算中也證明了這一點(diǎn)。

圖5 Ωi 隨細(xì)長(zhǎng)比s變化曲線Fig.5 The ΩiVersus slenderness s curves

4.3 彈性支承對(duì)拱結(jié)構(gòu)振型與頻率影響的關(guān)系

為了更深入的研究彈性邊界如何使得對(duì)稱和反對(duì)稱振動(dòng)的頻率發(fā)生改變，將f=0.2,s=0.001的彈性支撐圓拱與理想邊界圓拱的前四階振型繪制于圖6中。從中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一階振型，由于其模態(tài)形狀并未發(fā)生改變，因此其頻率也并無太大改變。而對(duì)其余三階振型，彈性支撐使得其振型中的“半波”數(shù)目減少，即其彎曲形式發(fā)生明顯變化，因此其頻率將發(fā)生顯著下降。這是因?yàn)楦鶕?jù)Rayleigh原理，自振頻率的平方等于勢(shì)能與動(dòng)能之比[16]。如果彈性支撐剛度的增加并未使得其模態(tài)振型發(fā)生顯著變化，則其將僅通過略微減小動(dòng)能而引起自振頻率的增加。當(dāng)剛度繼續(xù)增加時(shí)，振型將會(huì)發(fā)生顯著變化(主要表現(xiàn)為半波數(shù)目的增加)，此時(shí)由于勢(shì)能的增加將會(huì)使得自振頻率明顯升高。

圖6 豎向彈性支撐對(duì)振型影響Fig.6 The influence of the general boundary onto mode shapes

4.4 水平彈性支承對(duì)拱結(jié)構(gòu)的頻率影響

圖7 水平方向彈性支承kx對(duì)頻率比Ωi/Ω′i的影響Fig.7 Effects of kxon Ωi/Ω′i of horizontal elastic boundary conditions

4.5 豎向彈性支承對(duì)拱結(jié)構(gòu)的頻率影響

圖8為f=0.2，s=0.01的雙鉸圓拱，豎直方向無量綱剛度ky對(duì)頻率比Ωi/Ω′i的影響。其形狀與規(guī)律同圖7大致相同。但是對(duì)頻率比Ωi/Ω′i有影響的ky值的范圍將明顯減小。

圖8 豎直方向彈性支承ky對(duì)頻率比Ωi/Ω′i的影響Fig.8 Effects of kyon Ωi/Ω′i of vertical elastic boundary conditon

為了進(jìn)一步確定這種影響現(xiàn)象，通過計(jì)算矢跨比f從0.2～0.5，細(xì)長(zhǎng)比s從0.1～0.001的圓拱的頻率恢復(fù)曲線，其規(guī)律同圖7、圖8所示相同。在此范圍內(nèi)，彈性支座對(duì)于圓拱頻率的影響隨矢跨比f和細(xì)長(zhǎng)比s的減小而增加，隨頻率階數(shù)的升高而增加。這兩種影響都可以歸結(jié)為：彈性支座對(duì)圓拱頻率的影響的增加隨圓拱在理想支座情況下頻率的升高而降低。

4.6 轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性支撐對(duì)拱結(jié)構(gòu)的頻率影響

圖 9所示為轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性支撐對(duì)圓拱結(jié)構(gòu)的自振頻率的影響。kΘ由0到無窮，圓拱即由雙鉸拱過度到無鉸拱。從中可以看出，與水平彈性支承與豎向彈性支承相比，轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性支撐的剛度只在很小的范圍內(nèi)影響拱結(jié)構(gòu)的頻率，且模態(tài)階數(shù)越高，轉(zhuǎn)動(dòng)支撐的剛度對(duì)頻率影響越弱。

圖9 轉(zhuǎn)動(dòng)方向彈性支承kΘ對(duì)頻率比Ωi/Ω′i的影響Fig.8 Effects of kΘon Ωi/Ω′i of rotational elastic boundary conditon

5 結(jié) 論

本文通過將圓拱參數(shù)無量綱化，建立圓拱邊界為豎直、水平和轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支撐下的無量綱微分方程組和邊界條件。并通過數(shù)值方法求解了圓拱的頻率和振型隨彈性支撐的變化所發(fā)生的變化。

(1) 在彈性支撐條件下，拱的基頻由對(duì)稱轉(zhuǎn)換為非對(duì)稱的臨界矢跨比將會(huì)增大。

(2) 與理想邊界情況相比，在彈性邊界下，細(xì)長(zhǎng)比s對(duì)Ωi的影響將大大減小。

(3) 對(duì)于不同矢跨比f、細(xì)長(zhǎng)比s的拱的某一階模態(tài)，水平和豎向彈性支承均只在某一范圍內(nèi)顯著影響拱的Ωi。并且彈性支承對(duì)Ωi的影響范圍和影響程度隨矢跨比f和細(xì)長(zhǎng)比s的減小、模態(tài)階數(shù)的增大而減小。彈性支承的變化對(duì)Ωi的顯著影響主要是使圓弧拱的振型發(fā)生了變化。

在忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承僅在很小范圍內(nèi)對(duì)基頻有顯著影響，對(duì)高階Ωi的影響較小。

[1] CHIDAMPARAM P, LEISSA A W. Vibrations of planar curved beams, rings, and arches[J]. Applied Mechanics Reviews, 1993, 46(9): 467-483.

[2] 項(xiàng)海帆. 拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動(dòng)/高等結(jié)構(gòu)力學(xué)叢書[M]. 北京：人民交通出版社, 1991.

[3] HENRYCH J. The dynamics of arches and frames[M]. Elsevier Scientific Pub. Co., 1981.

[4] 錢七虎，孫乃光, 陳震元,等. 拱型結(jié)構(gòu)的自振頻率計(jì)算及軸向變形對(duì)自振頻率的影響[D]. 錢七虎院士論文選集, 1999.

[5] KARNOVSKY I A. Theory of arched structures[M]. New York, Ny: Springer New York, 2012.

[6] LEE B K, LEE J Y, CHOI K M, et al. Free vibrations of arches with general boundary condition[J]. KSCE Journal of Civil Engineering, 2002, 6(4): 469-474.

[7] 康婷, 白應(yīng)生, 孫惠香. 水平彈性支撐圓拱的動(dòng)力特性研究[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2013, 35(2): 50-55. KANG TING，BAI YING SHENG ,SUNHUIXIANG.Dynamic characteristics of the horizontal elastic support circular arch[J].Mechanics in Engineering,2013,35(2):50-55.

[8] WUNG S. Vibration of hinged circular arches[D]. Rice University, 1967.

[9] 張相，黃東才. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)力學(xué)[M]. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社, 1994.

[10] AL-KHAFAJI A W, TOOLEY J R. Numerical methods in engineering practice[M]. Holt, Rinehart And Winston, 1986.

[11] LEE B K, WILSON J F. Free vibrations of arches with variable curvature[J]. Journal of Sound and Vibration, 1990, 136(1): 75-89.

[12] LEE B K, LEE T E, AHN D S. Free vibrations of arches with inclusion of axial extension, shear deformation and rotatory inertia in cartesian coordinates[J]. KSCE Journal of Civil Engineering, 2004, 8(1): 43-48.

[13] CHIDAMPARAM P, LEISSA A W. Influence of centerline extensibility on the in-plane free vibrations of loaded circular arches[J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 183(5): 779-795.

[14] 金尼克. 拱的穩(wěn)定性[M]. 上海：建筑工程出版社, 1958.

[15] FANNING P J, BOOTHBY T E, ROBERTS B J. Longitudinal and transverse effects in masonry arch assessment[J]. Construction and Building Materials, 2001, 15(1): 51-60.

[16] 克拉夫, 彭津. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.

Free vibration analysis of arches under elastic support boundary conditions

ZHAO Zhangyong1, QIU Yanyu1,2, WANG Mingyang1,2, SONG Chunming1,2, CAO Kan1

(1. State Key Laboratory of Disaster Prevention & Mitigation of Explosion & Impact, PLA University of Science and Technology, Nanjing 210007, China;2. School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

The boundary conditions of circular arches in practical engineering can not be always simplified as ideally hinged ends or fixed ones. In order to study the influences of elastic supports on the free vibration characteristics of circular arches, the variables, such as, forces and displacements were nondimensionalized. According to the balance equations and coordinate conversion, the boundary condition equations of arches with vertical, horizontal and rotational elastic supports were derived in polar coordinates. The flexural and axial deformations were considered while shear deformations and rotation inertias were neglected to establish the governing equations of motion of arches. The solutions to the governing equations of motion under the boundary conditions were the functions with respect to rise to span ratiof, slenderness s, and dimensionless stiffness matrix [K]. Runge-Kutta method and the determinant search method were used to solve the eigenvaluesΩiof the equations of motion and eigenvectors, i.e., modal shapes. Through calculating different configurations, it was shown that under the conditions of elastic supports, the effects of slenderness s on the arches’ natural frequencies are much smaller than those under the conditions of ideal supports; the effects of horizontal and vertical elastic supports on the natural frequencies decrease with increase in natural frequencies of arches under the conditions of ideal supports; the rotational elastic supports obviously influence the fundamental frequency of arches.

circular arch; free vibration; elastic support; modal shape; natural frequency; non-dimensionalization

2015-04-21 修改稿收到日期：2015-10-08

趙章泳 男，碩士生，1992年生

宋春明 男，博士生，副教授，1979年生

E-mail:ming1979@126.com

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.018