一類帶擾動的彈性梁方程正解的存在唯一性

鞠夢蘭，王文霞，郝彩云

（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西晉中030600）

一類帶擾動的彈性梁方程正解的存在唯一性

鞠夢蘭，王文霞，郝彩云

（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西晉中030600）

應(yīng)用算子的不動點定理研究一類帶擾動的彈性梁方程，獲得了此類彈性梁方程邊值問題正解的存在唯一性，并討論了解對參數(shù)的連續(xù)依賴性.

彈性梁方程；正解；擾動；存在性唯一性；不動點定理

考慮如下帶擾動的彈性梁方程邊值問題

其中：λ∈（0，+∞）為參數(shù)；g為擾動項，g∈C（[0，1]，R+）；f∈C（[0，1]×R+，R+），R+=[0，+∞）.稱u（t）為問題（1）的正解，若u（t）＞0，0＜t＜1，且滿足方程（1）及其邊界條件.

由于彈性梁方程的實際背景及其廣泛的應(yīng)用性，近年來對四階邊值問題的研究非?；钴S，同時取得了大量的成果.對于梁方程正解的存在性問題，主要研究方法有上下解法[1]、壓縮映射原理與單調(diào)迭代法[2]、Guo-Krasnosel′skii錐拉伸壓縮不動點定理[3]、不動點指數(shù)法[4]、Leggett-Williams不動點定理[5]和Krein-Rutman定理[6].而關(guān)于帶擾動的邊值問題的研究尚不多見.文獻[7]通過考察算子方程x=Ax+λBx，討論了一類帶擾動的兩端簡單支撐的彈性梁方程正解的存在性.文獻[8]利用廣義凹算子的不動點定理討論了一類帶擾動的三階兩點邊值問題正解的存在性，但并未對解的相關(guān)性質(zhì)進行討論.從現(xiàn)有文獻來看，關(guān)于正解存在唯一性的研究較少.本研究利用算子的不動點定理得到了方程（1）正解的存在唯一性，并討論了解對參數(shù)的連續(xù)依賴性.

1 預(yù)備知識

設(shè)E為一個實Banach空間，θ為E中的零元素.

定義1[9]非空閉凸集P?E，稱為E中的一個錐，若它滿足

進一步，若存在常數(shù)N＞0，使得?x、y∈E，若θ≤x≤y，有‖x‖≤N‖y‖，則稱P為正規(guī)錐，N稱為P的正規(guī)常數(shù).

由錐P可以在E中誘導(dǎo)半序如下：對x、y∈E，x≤y當且僅當y-x∈P.若x≤y且x≠y，則記為x＜y.

定義2[10]設(shè)P是E中的錐，D?E，算子T：D→E稱為遞增的，若?x、y∈D，當x≤y時，有Tx≤Ty.

定義3[10]稱x*為算子T的不動點，若Tx*=x*.

給定e＞θ，即e≥θ，且e≠θ，記

Pe={x∈E：存在與x有關(guān)的μ1（x）、μ2（x），

易知Pe?P.

定義4[11]稱算子T：P→P為廣義α-凹算子，若T滿足

（1）T（Pe）?Pe；

（2）?x∈Pe，?r∈（0，1），存在α∈（0，1），使得T（rx）≥rαTx.

引理1[10，12-13]設(shè) P是 E中的正規(guī)錐，算子 T：P→P為遞增的廣義α-凹算子，則有

（1）T在Pe中存在唯一不動點x*；

引理2[14]設(shè)P是E中的正規(guī)錐，x0∈Pe.算子T：為遞增的，且?x∈Pe，?r∈（0，1），T（rx）≥rTx成立，則有

（2）當λ∈[λ*，+∞）時，算子方程x=x0+λTx在Pe中沒有解；

（3）xλ關(guān)于λ是遞增的，λ∈[0，λ*）；

（5）當x≥x0時，Tx∈，且T是全連續(xù)的，則

記

2 主要結(jié)論

引理3[15]設(shè)y∈C[0，1]，則邊值問題

有唯一的解

其中

引理4 任取t0∈（0，1]，則有

（1）0＜t≤t0≤s≤1；（2）0＜t≤s≤t0≤1；

（3）0＜t0≤t≤s≤1；（4）0＜s≤t≤t0≤1；

（5）0＜t0≤s≤t≤1；（6）0＜s≤t0≤t≤1.其中情況（1）～（4）的證明方法同文獻[15]一致，只需將j（s）換成這里的t0即可.下面只需證明情況（5）和情況（6）.

（5）當0＜t0≤s≤t≤1時，有

（6）當0＜s≤t0≤t≤1時，有

本研究對方程（1）做如下假設(shè).

（H1）固定t∈[0，1]，f（t，u）關(guān)于u∈[0，+∞）是遞增的；

定理1 設(shè)（H1）與（H2）成立，g（t）＞0，t∈[0，1]，

則?λ∈（0，+∞），方程（1）在Pe中存在唯一正解uλ（t），且解uλ（t）滿足

（1）?u0∈Pe，令

（2）對λ∈（0，+∞），uλ關(guān)于λ是遞增的，且uλ≥x0；

（3）對每個λ∈（0，+∞），uλ關(guān)于λ是連續(xù)的；

其中

證明 （1）由引理3知方程（1）的解滿足積分方程

其中：G（t，s）如式（4）定義，x0（t）如式（5）定義.對任意u∈P，定義T和Tλ

由G（t，s）≥0，g（t）＞0，t、s∈[0，1]，可得x0∈P.再由f（t，u）≥0，有（Tu）（t）≥0，t∈[0，1].于是T：P→P，且由（H1）可知T是單調(diào)遞增的，從而Tλ：P→P，且Tλ也是遞增的.下證Tλ是廣義α-凹算子.

先證明Tλ：Pe→Pe.一方面，?u∈Pe，有

另一方面，由（H2），?t∈（0，1），以及?u∈Pe與r∈（0，1），有

從而Tλ是一個廣義α-凹算子，由引理1知Tλ在Pe中存在唯一正解uλ（t），且結(jié)論（1）成立.

（2）任取λ1、λ2∈（0，+∞），且λ1≤λ2，則由

由Tλ1的全連續(xù)性易知{xn}和{zn}分別一致收斂于x*和z*，且它們分別是Tλ1的最小不動點和最大不動點，從而有

下證Tλ1在[x0，uλ2]上有唯一不動點.令

則有

由式（8）～式（11）有

斷言ε=1.若不然，當n≥1時，有0＜εn≤ε≤1，由Tλ1的α-凹性有

由式（10）有εn+1≥εαn，進而ε≥εα，這就產(chǎn)生了矛盾，故ε=1.

由式（9）和式（11）有

于是有x*=z*=uλ1是Tλ1在[x0，uλ2]中的唯一不動點，即uλ1≤uλ2.

取序列{λn}，使得

由結(jié)論（2）有

從而{uλn}在P中是有界的，即存在常數(shù)M＞0，使得‖uλn‖≤M，n=1，2，….另外，由

同理可證，?λ0∈（0，+∞），當λ→λ0+時，有‖uλuλ0‖→0，即結(jié)論（3）成立.

類似于定理1的證明可得定理2.

定理 2 設(shè)（H1）與（H2）成立，f（t，0）＞0，t∈[0，1]，則?λ∈（0，+∞），方程（1）有唯一正解uλ（t）∈Pe，且解uλ（t）滿足

（1）?u0∈Pe，令

（2）對λ∈（0，+∞），uλ關(guān)于λ是遞增的，且uλ≥x0；

（3）對任意λ∈（0，+∞），uλ關(guān)于λ是連續(xù)的；

其中x0（t）如式（5）定義.

定理3 設(shè)（H1）與（H3）成立，g（t）＞0，t∈[0，1]，則存在λ*＞0，使得?λ∈（0，λ*），方程（1）有唯一正解uλ（t）∈Pe，對于λ∈[λ*，+∞），方程（1）無正解.解uλ（t）滿足

（1）?u0∈Pe，令

則un（t）一致收斂于uλ（t）；

（2）uλ關(guān)于λ是遞增的，λ∈（0，λ*）；

（3）uλ關(guān)于λ是連續(xù)的，λ∈（0，λ*）；

其中x0（t）如式（5）定義.

證明 由引理3知方程（1）的解滿足

其中：G（t，s）如式（4）定義，x0（t）如式（5）定義.?u∈P，算子T為

從而易知uλ為方程（1）的解等價于uλ為算子方程x= x0+λT的解.同定理1類似，可知x0（t）∈P，T：P→P為增算子.下證x0（t）∈Pe.

即x0（t）∈Pe.

下面證明T：Pe→.?u∈Pe，由T的定義知Tu（t）≥0，且

由（H3）知，?t∈（0，1），?u∈Pe及r∈（0，1），有

于是由引理2知定理結(jié)論成立.

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（責(zé)任編校 馬新光）

Existence and uniqueness of positive solutions for a kind of perturbed elastic beam equations

JU Menglan，WANG Wenxia，HAO Caiyun
（Department of Mathematics，Taiyuan Normal University，Jinzhong 030600，Shanxi Province，China）

By using the fixed point theorems for operators，the existence and uniqueness of positive solutions for boundary value problem of a kind of perturbed elastic beam equations are obtained.And the continuous dependence of the parameters is discussed.

elastic beam equations；positive solution；perturbation；existence and uniqueness；fixed point theorem

O177.91

A

1671-1114（2016）06-0005-05

2016-05-22

國家自然科學(xué)基金資助項目（11361047）.

鞠夢蘭（1991—），女，碩士研究生.

王文霞（1964—），女，教授，主要從事非線性算子及其應(yīng)用方面的研究.