高中三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)分析研究

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 宋浩

高中三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)分析研究

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 宋浩

在我們的社會(huì)生活中，數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)處不在，并一直影響著我們的生活，對(duì)人類社會(huì)文明的進(jìn)步起著推動(dòng)作用.高中數(shù)學(xué)不僅僅是為了應(yīng)付高考中的數(shù)學(xué)考試，也為大學(xué)期間學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打基礎(chǔ).尤其是三角函數(shù)部分，不僅是高中階段的重要教學(xué)內(nèi)容，還是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分.新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出以后，在新版的數(shù)學(xué)教材當(dāng)中，三角函數(shù)部分仍然是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容.

一、高中階段三角函數(shù)誘導(dǎo)公式學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是從勾股定理開(kāi)始的，主要研究0°到90°角范圍的正弦、余弦和正切等數(shù)學(xué)關(guān)系.到了高中階段，在角的范圍上擴(kuò)展到了任意角的范圍，是通過(guò)在直角坐標(biāo)系中對(duì)圓的研究來(lái)研究三角函數(shù)問(wèn)題的.然后根據(jù)圓的性質(zhì)問(wèn)題引出函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并通過(guò)幾何圖形加深學(xué)生對(duì)公式的理解.與初中學(xué)到的三角函數(shù)不同的是，高中三角函數(shù)公式更為復(fù)雜和緊密，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)產(chǎn)生很多困惑.例如，第一，學(xué)生會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，在初中的時(shí)候，只要是熟記三角函數(shù)的幾個(gè)公式就可以解決常見(jiàn)的一些問(wèn)題，但是到了高中以后，三角函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)又多又雜，遇見(jiàn)的題型大都非常復(fù)雜，學(xué)生一拿到手感覺(jué)無(wú)從下手.第二，學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化意識(shí)不強(qiáng)，由于教師在上課的時(shí)候是根據(jù)教材安排一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)行講解，學(xué)生沒(méi)有形成知識(shí)的系統(tǒng)性，在遇到問(wèn)題時(shí)不能將知識(shí)點(diǎn)前后進(jìn)行串聯(lián)，想到一點(diǎn)寫一點(diǎn)，導(dǎo)致得不出最后的結(jié)果.第三，由于函數(shù)部分公式較多，學(xué)生記憶起來(lái)比較困難，而且高中階段學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，學(xué)習(xí)的知識(shí)量也較大，煩瑣的公式記憶給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了很多不便.

二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式研究及應(yīng)用實(shí)例

三角函數(shù)部分的公式主要包括誘導(dǎo)公式、同角函數(shù)公式、和差公式三個(gè)類型，其中誘導(dǎo)公式作為三角函數(shù)公式中的基礎(chǔ)，是解決三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵.在教學(xué)過(guò)程中教師要將這類公式進(jìn)一步分類，并結(jié)合實(shí)際例子讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

1.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的歸納

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式主要就是用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)的角度問(wèn)題，將大于90度的任意角，轉(zhuǎn)化為小于90度的角，就是將角n·±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單純的銳角三角函數(shù).從課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式這一部分，學(xué)生要掌握±α，90°±α，180°±α，270°±α，360°±α這些角之間的關(guān)系，并能夠運(yùn)用函數(shù)誘導(dǎo)公式對(duì)這些角進(jìn)行求解.

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，根據(jù)它自身的規(guī)律可以分為以下幾類：

第一類，三角函數(shù)等號(hào)兩邊的函數(shù)名稱相同.其中有一種是，都是將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°與90°之間的三角函數(shù)值，并且等號(hào)兩邊都是正號(hào).例如，sin（α+ 2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα.還有一種是表示α和180°+α之間關(guān)系的三角函數(shù)，從整體的形式上來(lái)看正弦和余弦等號(hào)兩邊的函數(shù)名稱相同，但是符號(hào)相反，但是正切公式兩邊的名稱和符號(hào)相同.例如，sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.另一種就是角的起始邊是相同的，但是終邊正好相反，這一類的函數(shù)它的正弦和正切的值互為相反數(shù)，但是它們余弦的三角函數(shù)值相同.

第二類，公式等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱互余.這一類的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，它的正負(fù)號(hào)要根據(jù)角所在終邊的象限來(lái)確定，像α，其中是奇數(shù)

倍的角的正弦、余弦和正切函數(shù)值正好等于角α的余弦、正弦和余切的函數(shù)值.

將這兩類的誘導(dǎo)公式進(jìn)一步總結(jié)，可以總結(jié)成為口訣“奇變偶不變、符號(hào)看象限”，并通過(guò)相關(guān)的練習(xí)題，將這一口訣靈活運(yùn)用.

2.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式應(yīng)用歸類及實(shí)例分析

在應(yīng)用三角函數(shù)求任意角的三角函數(shù)值時(shí)，首先要將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角，再將正角轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍的角，再將超過(guò)90°的角轉(zhuǎn)化為銳角，最后求出轉(zhuǎn)化后銳角的三角函數(shù)值.具體的應(yīng)用類型可以分成以下幾種：

第一，函數(shù)的求值問(wèn)題.

例1求下列各式的值：

（1）sin1560°+cos210°；

解題策略：拿到這兩個(gè)題，首先要考慮的就是要將這兩個(gè)題目中出現(xiàn)的角進(jìn)行形式換算，利用π±α和±α的形式替代問(wèn)題中出現(xiàn)的角，將題目中的“大角”轉(zhuǎn)換成0°～90°的“小角”，這樣便可以利用銳角三角函數(shù)的求值公式進(jìn)行求值.

第二，函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題.

例2化簡(jiǎn)以下函數(shù)式：

解題策略：很多學(xué)生一拿到這道題就感覺(jué)非常麻煩，就會(huì)產(chǎn)生畏怯感.其實(shí)這道題利用誘導(dǎo)公式就可以一步步進(jìn)行化簡(jiǎn).這是一個(gè)由三個(gè)三角函數(shù)組成的分?jǐn)?shù)式，并且這三個(gè)三角函數(shù)組跟課本上的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式非常相似，可以將sin（2π-α），sin（-2π-α）和cos（6πα）化簡(jiǎn)為-sinα，sin（-α），cosα，用同樣的方法，可以將分母上的函數(shù)化簡(jiǎn)為cosα，-cosα和sinα，這樣一來(lái)就可以很簡(jiǎn)單地求出最后的結(jié)果-tanα.

1.張奠宙.數(shù)學(xué)［雙基］教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.教育部關(guān)于學(xué)習(xí)貫徹全國(guó)教育工作會(huì)議精神和《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》的通知［J］.教育部政報(bào)，1999（Z2）.

3.王后雄，馬春華，馬賽.高考完全解讀·課標(biāo)本數(shù)學(xué)（理科）［M］.北京：接力出版社，2013.Z