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      辯證審題,多方出擊

      2016-12-12 06:05:52新疆喀什市兵團農(nóng)三師第一中學(xué)袁紅霞
      學(xué)苑教育 2016年8期
      關(guān)鍵詞:延長線輔助線證法

      新疆喀什市兵團農(nóng)三師第一中學(xué) 袁紅霞

      辯證審題,多方出擊

      新疆喀什市兵團農(nóng)三師第一中學(xué) 袁紅霞

      數(shù)學(xué) 辯證 審題

      數(shù)學(xué)王國里處處充滿了辯證法,尤其是數(shù)學(xué)解題更離不開辯證法.從審題這個初始環(huán)節(jié)就應(yīng)以辯證的眼光來看待新遇到的問題.唯有這樣,才有可能較圓滿地解答問題.下面先從一個極小的例子說起.

      例1,用簡便的方法求出下列式子的值:①992②102

      ①解法1:992=(100-1)2

      =1002-2×100×1+12

      =10000-200+1=9801

      解法2:992=992-12+12

      =(99+1)(99-1)+1

      =100×98+1=9801

      ②解法1:1022=(100+2)2

      =1002+4×100+22

      =10000+400+4=10404

      解法2:1022=1022-22+22

      =(102+2)(102-2)+4

      =104×100+4=10404

      說明:以上題中的解法1分別將99與102視為地地道道的完全平方形式,于是均采用完全平方公式的知識來解決;而對于各題的解法2,卻出奇地將99與102看成是一個代數(shù)式的殘余形式.大多數(shù)人的解法傾向于解法1,只有少數(shù)人采用解法2來完成解題.從這點上來看,人們側(cè)重了完全形式,時常忽略殘存形式.從而導(dǎo)致解題思路狹窄,降低了解題能力.為了進一步闡述我們的觀點,不妨再舉一例試試.

      由于審題角度不同,所引的輔助線也不相同,因此證明的方法也不一樣.

      證法1,如圖1,作EG∥FC交BC于G.

      (注:其中輔助線EG分別是△DAC與△BCF的公共“橫梁”,也是聯(lián)系已知條件的橋梁,更是構(gòu)造雙“A”型基本圖形的例子).

      圖1

      圖2

      證法2,作EG∥BC交AC于G(如圖2)

      (注:所引輔助線EG顯然是△DAC與△FBC中的公用“橫梁”,且仍為已知條件和待證結(jié)論的橋梁,還是構(gòu)造雙“A”型基本圖形的范例).

      證法3,作DG∥BF交AC于G(如圖3)

      (注:可以看出輔助線DG是“A”型△CBF的“橫梁”,同時又是“A”型△ADG的“底邊”.是連接已知條件和所求式子的橋梁).

      圖3

      圖4

      證法4,作DG∥AC交BF于G(如圖4)

      (注:顯然輔助線 DG既是“A”型△BCF的“橫梁”,又是“Z”型圖型的一邊.因此,它是架起已知條件和所求式子的橋梁).

      證法5,作AG∥BC交BF的延長線于G(如圖5)

      (注:輔助線AG是凹四邊形ABCG的一邊,但同時它又是雙“Z”型AEBDG與AFBCG的公共邊.因而它是溝通已知條件與待證式之間的一座橋梁).

      圖5

      證法6,作AG∥BF,交CB的延長線于G(如圖6)

      圖6

      (注:輔助線AG是雙“A”型△CAG與△DAG的“底邊”,它也起到了聯(lián)結(jié)已知條件和所求目標(biāo)式子的紐帶作用).

      證法7,作BG∥AC交AD的延長線于G(如圖7)

      圖7

      (注:不難看出新引輔助線BG是雙“Z”型ABGEF和ABGDC的公共邊,它鋪設(shè)了已知條件和待證式子之間的一條通道).

      由上述幾種不同證法中獲悉,前四種證法當(dāng)中,皆把△ABC當(dāng)成一個完整的圖形,從而引輔助線都從△ABC的內(nèi)部來著手考慮;然而后面三種證法恰恰把△ABC視為凹四邊形ABGC或△AGC的殘缺部分,因此新添加的輔助線是從△ABC的形外部分入手的.這是全面審視△ABC所處的位置來做出的判斷.

      此外,在如何添加輔助線的方法上,需要考慮的因素是該輔助線是否既能與線段AE,AD聯(lián)系上,又能與線段BD, DC聯(lián)系到一塊.即該輔助線必須滿足它是雙“A”型三角形的某一公共部分,或者是雙“Z”型圖形中的某一公共線段,再或者是“A”型與“Z”型混合型圖形的公共部分.若違反了這個原則,則所引的輔助線將不能幫助人們順利地達(dá)到證明目標(biāo).

      此上是我們的一點膚淺感悟,懇請大家提出寶貴意見,指明方向,以求更加深刻地認(rèn)識事物.

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