定理在孕育中生成 題目在遞進中生長*——一節(jié)定理教學(xué)課的設(shè)計與思考

●張 林

(暨陽湖實驗學(xué)校 江蘇張家港 215600)

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定理在孕育中生成 題目在遞進中生長*
——一節(jié)定理教學(xué)課的設(shè)計與思考

●張 林

(暨陽湖實驗學(xué)校 江蘇張家港 215600)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，幾何定理一直是教學(xué)的重點和難點，如何讓學(xué)生很好地理解、把握定理,并在實際解題過程中得心應(yīng)手、觸類旁通，是廣大教師一直努力的方向.文章以“探索三角形相似的條件(2)”為課例，采用“定理在孕育中生成，題目在遞進中生長”的教學(xué)設(shè)計，變“灌輸式”為“探究式”，變“羅列式”為“生長式”，引領(lǐng)學(xué)生進入科學(xué)殿堂，感受數(shù)學(xué)的高大上與接地氣，取得了較好的教學(xué)效果．

定理;孕育;生長

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2011年)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不是把現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生自已尋求知識產(chǎn)生的起因，探索它與其他事物的聯(lián)系，在探索過程中形成概念、尋求規(guī)律、獲得結(jié)論．”[1]這充分闡明了數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位，要讓學(xué)生參與知識產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程，要為學(xué)生設(shè)計有助于促進思維發(fā)展的問題，激勵學(xué)生更加積極地參與教學(xué)活動．

在江蘇省張家港市舉辦的第16屆中小學(xué)、幼兒園課堂教學(xué)改革經(jīng)驗交流會中，筆者有幸參加了“初中名師課堂展示”，執(zhí)教了題為“探索三角形相似的條件(2)”(蘇科版教材《數(shù)學(xué)》9年級下冊)[2]的公開課，在認真研究教材和分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，確定了“定理在孕育中生成，題目在遞進中生長”的設(shè)計思路，把知識的接受過程設(shè)計為知識的發(fā)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的探究過程，教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生進入科學(xué)殿堂，與科學(xué)對話，感受數(shù)學(xué)的高大上與接地氣，取得了較好的教學(xué)效果，給聽課教師留下了深刻的印象．現(xiàn)將本節(jié)課的設(shè)計意圖與教學(xué)思考整理成文，與各位同行交流．

1 教學(xué)設(shè)計與意圖

1．1 故事引入，揭示課題

故事：神秘的埃及金字塔引來無數(shù)游客觀光旅游．胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，塔基呈正方形，每邊長約230多米，塔高146.59米，被喻為“世界古代七大奇觀之一”．在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．有一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”這在當(dāng)時的條件下是個大難題，因為人們很難爬到塔頂．你知道泰勒斯怎樣測量金字塔的高度嗎？

設(shè)計意圖 引入數(shù)學(xué)小故事：一是揭示課題，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)新知，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引發(fā)思考；二是介紹數(shù)學(xué)史，傳播數(shù)學(xué)文化，豐富本課的文化韻味．

1．2 回顧舊知，引發(fā)思考

1)如圖1，在△ABC中，點D,E分別在AB,AC上，若滿足條件______，則△ADE∽△ABC．

2)如圖2，已知△ABC和△A1B1C1，若滿足條件______，則△ABC∽△A1B1C1．

設(shè)計意圖 心理學(xué)家奧蘇貝爾說：“影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進行教學(xué)．”通過練習(xí)這2個小題：一是可以回顧學(xué)過的2個判定方法——“平行判定”和“定義判定”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；二是通過剖析這2個“判定”后可以發(fā)現(xiàn)：“平行判定”中條件少、方法簡單，但位置關(guān)系特殊，需要A型圖(說明：形狀象英文大寫字母A的圖，簡稱A型圖，例如圖1)；而“定義判定”中雖位置關(guān)系任意，但條件多、方法繁.由此可引發(fā)學(xué)生自然而然地思考和探尋：有沒有既能判定位置關(guān)系任意的2個三角形相似、條件又少一點的方法呢？

1．3 類比全等，猜想命題

問題：類比全等三角形的判定方法,是否也可以把相似三角形“定義判定”中的條件去掉一部分,如去掉“對應(yīng)邊成比例”或“對應(yīng)角相等”,而2個三角形仍相似？

設(shè)計意圖 要求學(xué)生類比全等來考慮，既滲透類比的數(shù)學(xué)思想，也使得問題的指向性明確，學(xué)生很快就能說出一些命題，如“對應(yīng)角相等的2個三角形相似”“對應(yīng)邊成比例的2個三角形相似”等.通過討論和交流，由此猜想出要探究的命題：2個角分別相等的2個三角形相似．

1．4 實驗探究，理論驗證

圖3

實驗探究 如圖3，已知∠1和∠2.

1)作一作：作△ABC，使∠A=∠1，∠B=∠2；

2)看一看：觀察你與同伴所作的2個三角形的形狀和大小；

理論驗證 已知在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1.求證：△ABC∽△A1B1C1．

方法1 平移→A型圖.

方法2 截取→A型圖．

設(shè)計意圖 “數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”是在“做”中積累起來的．在義務(wù)教育階段，學(xué)生的年齡和認知特點決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很多時候需要借助“剪一剪”“作一作”“量一量”“猜一猜”等數(shù)學(xué)活動來獲得豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．因此，教學(xué)中讓學(xué)生先通過動手實踐，初步體驗命題的正確性，再進行幾何證明，從理論上驗證其正確，從而得到該命題是真命題.它是三角形相似的判定定理之一，符合科學(xué)研究的一般方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的趣味性和嚴謹性，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，也有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有利于學(xué)生獲取更多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)策略．理論驗證的方法有2種：平移和截取，目標(biāo)都是轉(zhuǎn)化成A型圖，既滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，也有效地指導(dǎo)了解題策略．

1．5 生成定理，規(guī)范書寫

三角形相似的判定定理：2個角分別相等的2個三角形相似．

幾何語言 在△ABC和△A1B1C1中，因為∠A=∠A1，∠B=∠B1，所以△ABC∽△A1B1C1．

設(shè)計意圖 在幾何教學(xué)中，學(xué)生不僅要掌握定理的內(nèi)容，更要學(xué)會規(guī)范地書寫幾何語言．另外，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生對定理進行剖析，挖掘它的優(yōu)越性，如：對比定義判定，條件少了，具備簡潔性；而對比平行判定，位置任意，具備普遍性，讓學(xué)生真正理解學(xué)習(xí)它的意義．

1．6 感受新知，簡單應(yīng)用

1)在圖4～6所示的圖形中，2個三角形是否相似?請說明理由．

圖4 圖5 圖6

2)下列說法：①有一個銳角相等的2個直角三角形相似；②2個等邊三角形相似；③有一個角相等的2個等腰三角形相似；④有一個角為100°的2個等腰三角形相似.其中正確的個數(shù)有

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

設(shè)計意圖 設(shè)置這2道難度低但概念性強的基礎(chǔ)練習(xí)：一是對學(xué)生所學(xué)的新知起到檢測和鞏固作用，不僅有利于厘清概念、掌握知識，也有利于學(xué)生交流發(fā)言、體驗成功，激發(fā)更佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)；二是能幫助學(xué)生歸納一些解題策略，即尋找角相等時，要重視觀察圖形的特征，找出隱含條件，如對頂角、公共角等．

1．7 感覺新知，典例賞析

圖7

例1 如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

1)求證：△ACD∽△ABC；

2)圖中還有哪幾對相似三角形？

設(shè)計意圖 充分發(fā)揮例題的典型和示范功能:一是讓學(xué)生學(xué)會找2個角相等，并用幾何語言規(guī)范書寫；二是可以得到一個常用的基本結(jié)論，即直角三角形被斜邊上的高分成的2個小直角三角形與原直角三角形相似.筆者把本題分成2個小題的目的是為了降低難度，由淺入深，使學(xué)生易學(xué)，其中第2)小題的證明過程可讓學(xué)生在課后完成．

1．8 感悟新知，靈活應(yīng)用

練習(xí)1 如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

變式1 增加條件：BE平分∠ABC，交CD于點F，求證：△BCF∽△BAE．

圖8 圖9

練習(xí)2 如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

變式2 增加條件：E為AC的中點，ED,CB的延長線相交于點F，求證：△FDB∽△FCD．

設(shè)計意圖 在課堂教學(xué)中，變式訓(xùn)練是極為重要的：一是可以把相關(guān)的問題集中在一起，形成一個有層次、有梯度、遞進生長的題組或題鏈，學(xué)生通過對比和小結(jié)，容易發(fā)現(xiàn)解決這類問題的規(guī)律和方法，有利于揭示問題的本質(zhì)，比較圓滿地掌握這類問題；二是從上面一個問題到下面一個問題，只有局部的變化，符合學(xué)生的認知規(guī)律，容易引起學(xué)生的興趣，也能夠有效地節(jié)省教學(xué)時間；三是有利于開拓學(xué)生的思維和視野，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、多思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)．

1．9 前呼后應(yīng)，實際應(yīng)用

據(jù)史料記載,泰勒斯在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線是平行光線，構(gòu)成如圖10所示的△BOA和△EFD，且△BOA∽△EFD，從而測得金字塔的高度．

圖10

練習(xí)3 如圖10，點O,A,D在同一直線上，BA∥ED，EF⊥FD，BO⊥OA，木桿EF長2米，它的影子FD長3米，測得OA長201米，求金字塔高度(即BO的長)．

設(shè)計意圖 遵循“數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活”的理念．用學(xué)到的新知解決課初提出的問題：一是能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的無限魅力，讓學(xué)生體悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有價值的，達到首尾呼應(yīng)；二是能由這個故事引發(fā)介紹其他有關(guān)相似三角形的一些數(shù)學(xué)文化史，激發(fā)有興趣的學(xué)生課余再去查找相關(guān)資料，作進一步的了解，讓學(xué)生真正認識數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)．

1．10 深入探究，各顯神通

練習(xí)4 如圖11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

圖11 圖12

變式3 如圖12，將線段DC左右平移，在平移過程中，點D始終在AB上,不與點A重合，且DC與AC均可延長.

探究 隨著DC的平移,觀察圖12中出現(xiàn)的相似三角形有什么變化?請畫出相應(yīng)的圖形，并指出其中的相似三角形．

設(shè)計意圖 創(chuàng)造開始于研究，要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師要給學(xué)生提供可創(chuàng)造的環(huán)境和可供研究的問題.探究性學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生在解決問題的過程中使創(chuàng)造性思維得到訓(xùn)練.變式探究的變化性和創(chuàng)造性，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也對學(xué)生的能力發(fā)展和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)大有裨益，使學(xué)生在問題的探索過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為他們的終身學(xué)習(xí)和能力發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)．

2 教學(xué)思考

2．1 變“灌輸式”為“探究式”，讓學(xué)生經(jīng)歷定理孕育到生成的過程

首先，定理教學(xué)要變“灌輸式”為“探究式”．古希臘生物學(xué)家羅塔戈說過：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需被點燃的火把．”德國教育家第斯多惠也有一句名言：“一個壞的教師奉送真理，一個好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理．”由此，教師不應(yīng)是“灌輸者”，而應(yīng)是“點火者”．正如《課標(biāo)》所要求的：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．”[1]

而在《教師不可不知的哲學(xué)》一書中，是這樣描述大哲學(xué)家蘇格拉底的教師觀：“教師之教學(xué)，類似產(chǎn)婆將胎兒引出而已，產(chǎn)婦就是學(xué)生，助產(chǎn)士就是老師，產(chǎn)房就是教室，而嬰兒就是觀念(知識)，產(chǎn)婆絕對無法由外向內(nèi)地賜給產(chǎn)婦嬰兒，卻只能由內(nèi)往外將嬰兒接生下來．產(chǎn)婦產(chǎn)子，必有陣痛，如同追求知識的辛勤，但陣痛后喜悅，益顯拾獲知識時的興奮．”[3]蘇格拉底主張的這種教學(xué)方法強調(diào)的是“引出”，而不是“注入”．這個教學(xué)觀點在今天仍然高居其優(yōu)越的地位，在思考層面較多的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們更應(yīng)該多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)學(xué)生思考和探究，把要學(xué)習(xí)的知識引出來，而不是簡單地注入，如此所學(xué)到的知識才比較可貴和深刻，學(xué)生也更易理解和掌握．因此，定理教學(xué)要將教學(xué)過程變成師生共同探索知識的過程，而不是強行灌輸知識的過程．

其次，定理要在孕育中生成．孕婦十月懷胎,方能一朝分娩；同樣，新知(定理)也需要一個孕育過程，方能生成．布魯諾說過：“我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程，學(xué)習(xí)是一種過程，而不只是結(jié)果．”因此，定理教學(xué)中切不可直接拋出定理給學(xué)生，而是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷定理的產(chǎn)生到形成的全過程．如本課例，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷了如下6個過程：

1)故事引入．通過介紹數(shù)學(xué)文化史上的小故事“測金字塔的高度”，引入本課的課題.

2)回顧舊知．通過以小題帶知識點復(fù)習(xí)“平行判定”和“定義判定”，從而引發(fā)探尋“判定定理”的思考.

3)猜想命題．類比全等的判定方法，通過討論交流，猜想產(chǎn)生出要驗證的命題.

4)實驗探究．讓學(xué)生動手實踐，通過“作一作、看一看、量一量”獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，初步體驗命題的正確性.

5)理論驗證．通過幾何證明，從理論上驗證其正確，從而得到該命題是真命題，它就是三角形相似的其中一個判定定理.

6)規(guī)范書寫．通過幾何語言的規(guī)范書寫，不僅有利于掌握定理的內(nèi)容，更有利于嚴謹、正確地解答幾何題．

學(xué)生經(jīng)歷這樣一個從孕育到生成的過程，不僅掌握了“判定定理”的內(nèi)容和幾何語言，也清楚了該定理產(chǎn)生的原因，還體驗了數(shù)學(xué)中“發(fā)現(xiàn)問題→提出猜想→實驗探究→理論驗證”的科學(xué)探究的一般方法和思維方式，更滲透了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，并充分感受了數(shù)學(xué)的美和數(shù)學(xué)文化的教育價值．2．2 變“羅列式”為“生長式”，使題目在遞進中生長和變化

新知的學(xué)習(xí)和鞏固都需要通過解題來實現(xiàn)，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容．波利亞強調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練．”他有一句名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．”因此，定理教學(xué)中切不可輕視新知學(xué)完后的例、習(xí)題教學(xué)環(huán)節(jié)，它與新知學(xué)習(xí)同樣重要，它不僅有利于學(xué)生對定理的理解和掌握，還有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．

提高解題效益的前提是教師做好例、習(xí)題的設(shè)計．設(shè)計時，教師首先要認真分析教材和學(xué)情，理清教學(xué)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)，然后精心篩選和設(shè)計例、習(xí)題，并用合適的呈現(xiàn)方式展開，變“羅列式”為“生長式”，由淺入深，適當(dāng)變式，逐步生長，組成一個有機的整體，凸顯典型性、層次性、變化性和有效性．如本課例，筆者首先通過2個難度低但概念性強的基礎(chǔ)練習(xí)，達到厘清定理和歸納解題策略的目的；接著通過一道基本而典型的例題，不僅讓學(xué)生學(xué)會規(guī)范解答，更讓學(xué)生獲得一個常用的基本結(jié)論，可謂一舉兩得；例題完成后沒有另起爐灶，而是在這道例題的基礎(chǔ)上對圖形進行變化、對條件進行增加，拓展延伸出了2個變式題，且這2個題目遞進生長，逐步加深，意在讓學(xué)生通過這道例題的變式而解決與之相關(guān)的一類問題；當(dāng)2個變式問題解決后，學(xué)生已能比較熟練地應(yīng)用本課學(xué)習(xí)的判定定理，此時回歸解決課初情境導(dǎo)入中提出的實際問題，時機比較恰當(dāng)，前后首尾呼應(yīng)，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；最后的探究性問題是在例題的基礎(chǔ)上進行的第3次變式，通過深入追問，不僅把學(xué)生的思維引向深處，也把學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣推向高處．

因此，定理教學(xué)中要深刻挖掘例、習(xí)題的教育功能，通過對原題進行適當(dāng)變式，遞進生長，延伸出具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題.這樣不僅能激活學(xué)生的思維，為學(xué)生展現(xiàn)出“活生生”的思維過程，也能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、獨創(chuàng)性和靈活性，還能有效地提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力．

[1] 史寧中．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準解讀(2011年)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011．

[2] 楊裕前，董林偉．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(9年級下冊)[M]．南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2013．

[3] 林逢祺，洪仁進．教師不可不知的哲學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2009．

?2016-09-19；

2016-10-29

張 林(1973-)，男，江蘇張家港人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)12-22-04