數(shù)學(xué)命題策略探析*

●吳國(guó)建

(東陽(yáng)二中 浙江東陽(yáng) 322100)

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數(shù)學(xué)命題策略探析*

●吳國(guó)建

(東陽(yáng)二中 浙江東陽(yáng) 322100)

作者介紹： 吳國(guó)建，男，1969年生，浙江東陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師，現(xiàn)任浙江省東陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué)校長(zhǎng).浙江省首屆教育碩士、首屆浙派名師班班長(zhǎng).曾獲浙江省特級(jí)教師、金華市名師、東陽(yáng)市拔尖人才等榮譽(yù)稱號(hào).輔導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽等各級(jí)競(jìng)賽成績(jī)突出，多次榮獲全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員稱號(hào).曾主持浙江省首個(gè)高中數(shù)學(xué)特級(jí)教師工作室，現(xiàn)主持浙江省網(wǎng)絡(luò)名師工作室.開(kāi)發(fā)省市精品選修課程、網(wǎng)絡(luò)推薦課程和基礎(chǔ)教育微課程7門，發(fā)表文章近50篇，出版專著和參與編寫教材教輔60多本，主持“基于教師學(xué)科理解力培育的自慧課堂研究”等省市級(jí)課題10余項(xiàng).

數(shù)學(xué)題的命制是數(shù)學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)等多學(xué)科交叉的一個(gè)綜合性工程．一道優(yōu)美的數(shù)學(xué)題在符合知識(shí)點(diǎn)、難度等命制要求的同時(shí)往往蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)形式與內(nèi)在美的和諧統(tǒng)一，既能深刻揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，展示數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，也能充分展現(xiàn)命題者良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．文章通過(guò)一些具體數(shù)學(xué)問(wèn)題背景意義和命題過(guò)程的分析，闡述數(shù)學(xué)題命制的4種基本策略.

命題策略;一般與特殊;嫁接與組合;類比與推廣;定量與定性

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題．?dāng)?shù)學(xué)題的命制是數(shù)學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)等多學(xué)科交叉的一個(gè)綜合性工程．一道優(yōu)美的數(shù)學(xué)題在符合知識(shí)點(diǎn)、難度等命制要求的同時(shí)往往蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)形式與內(nèi)在美的和諧統(tǒng)一，既能深刻揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，展示數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，也能充分展現(xiàn)命題者良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不僅應(yīng)當(dāng)是一個(gè)解題高手，而且應(yīng)當(dāng)成為一個(gè)命題能手．本文結(jié)合筆者多次參與各級(jí)各類命題的實(shí)踐，探析數(shù)學(xué)命題的4種基本策略．

策略1 一般與特殊

一般化是將已有特殊問(wèn)題中的結(jié)論向更一般的情形推廣，使原有的結(jié)論具有更一般的意義.特殊化是將數(shù)學(xué)中的一般結(jié)論通過(guò)數(shù)字化、賦值、圖形定位等特殊手段展現(xiàn)在題目中.兩者既可以獨(dú)立運(yùn)用，又可以交叉進(jìn)行．一般問(wèn)題特殊化與特殊問(wèn)題一般化既是數(shù)學(xué)解題的重要思想，也是數(shù)學(xué)命題的常用策略．人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1第70頁(yè)有這樣一道例題：

例1 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．

圖1

這是一個(gè)非常巧妙的結(jié)論，題目可以變式如下：

變式1 如圖1，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B，過(guò)點(diǎn)B作平行于拋物線對(duì)稱軸的直線DB，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則點(diǎn)A,O,D共線．

這2個(gè)問(wèn)題結(jié)論成立的關(guān)鍵在于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線、拋物線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這正是拋物線定義的本質(zhì).在日常教學(xué)中，直線有2種變換：一是旋轉(zhuǎn)變換，如問(wèn)題中直線AB隨著直線傾斜角的變化而變化，這種變換不改變問(wèn)題的結(jié)果；二是平移變換，直線平移變換變化的實(shí)際上是定點(diǎn)的位置，即題中點(diǎn)F的位置，平移變換后直線的位置需要怎樣改變，是否還要保持原有的對(duì)稱性？問(wèn)題的結(jié)果是否會(huì)變化呢？基于這些問(wèn)題的思考，產(chǎn)生了新的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是特殊情況一般化：

圖2

變式2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(m,0)(其中m>0)作直線g與拋物線y2=2px(其中p>0)交于點(diǎn)A,B，設(shè)點(diǎn)N為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)N且與x軸垂直，直線AO與直線l相交于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．

先看一道不等式證明題：

分析 因?yàn)?/p>

(1-x2)2x2= (1-x2)(1-x2)x2=

所以

即

這是一個(gè)一般化的結(jié)論，題中只涉及一個(gè)變量，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)可以通過(guò)增加變量、變換多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)等方式，編擬出如下一系列問(wèn)題：

1)已知0

2)已知0

3)已知0

進(jìn)一步，結(jié)合基本不等式，對(duì)a+b,a+b+c,a2+b2等式進(jìn)行賦值或放縮，可以得到表述更為簡(jiǎn)潔的不等式問(wèn)題：

4)已知0

5)已知0

6)已知0

策略2 嫁接與組合

所謂嫁接，是將已有的一些結(jié)論作為一個(gè)整體移植到一個(gè)數(shù)學(xué)題內(nèi)，使之成為整個(gè)題目的重要組成部分.而組合是將2個(gè)或者更多重要的知識(shí)或結(jié)論有機(jī)地組合在一起，形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)題．無(wú)論是嫁接還是組合，在命題過(guò)程中要講究自然和諧，而不是生搬硬套，各部分之間應(yīng)相得益彰，渾然天成．

例3 在解析幾何中有以下結(jié)論：如圖3，已知拋物線y2=2px上一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的2條直線PS,PT，分別交拋物線于點(diǎn)S,T，則直線ST的斜率為定值．

圖3 圖4

為了改變考查形式，在命題時(shí)將之作為一部分，與其他知識(shí)或內(nèi)容(如直線和圓)相融合，增加切線等內(nèi)容，形成了以下變式：

變式3 如圖4，已知拋物線C：y2=2px(其中p>0)，曲線M：x2+2x+y2=0(其中y>0).過(guò)點(diǎn)P(-3,0)與曲線M相切于點(diǎn)A的直線l，與拋物線C有且只有1個(gè)公共點(diǎn)B.

1)求拋物線C的方程及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

2)過(guò)點(diǎn)B作傾斜角互補(bǔ)的2條直線分別交拋物線C于點(diǎn)S，T(不同于坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：直線ST∥直線AO.

例4 1)已知a>1,b>1，求證：

以上問(wèn)題的解答過(guò)程啟發(fā)了筆者的進(jìn)一步思考：

它體現(xiàn)了均值在數(shù)軸上分布的稠密程度.那么是不是可以考慮

即

從而構(gòu)造如下題目：

3)已知a>1,b>1，求證：

策略3 類比與推廣

所謂類比，就是由2個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷出它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式．類比是一種主觀的不充分的似真推理，運(yùn)用類比可以由某一問(wèn)題的背景聯(lián)想到相似的背景，由某一問(wèn)題的結(jié)論聯(lián)想到相似的結(jié)論，或由某一問(wèn)題的解決過(guò)程聯(lián)想到另一問(wèn)題的解決過(guò)程．運(yùn)用類比構(gòu)造數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)特別注意問(wèn)題的科學(xué)性．推廣是指對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究得到新的結(jié)論，或得到啟發(fā)從而構(gòu)思出新問(wèn)題的過(guò)程．類比需要的是2個(gè)存在某些相同或相似的研究對(duì)象，而推廣需要的是原問(wèn)題有進(jìn)一步思考的空間和價(jià)值．

( )

A．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為銳角

B．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為鈍角

C．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為銳角

D．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為鈍角

本題的求解，可以直接運(yùn)用雙曲線的定義．而橢圓和雙曲線作為2種重要的圓錐曲線，在幾何性質(zhì)上具有統(tǒng)一性，這種統(tǒng)一性正是聯(lián)想的基礎(chǔ)，由此及彼，往往可以編擬出許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．如將本題中的雙曲線改為橢圓，其余不變，可得到如下變式：

圖5 圖6

( )

A．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為銳角

B．若|F2M|<|F1N|，則∠MF2N為鈍角

C．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為銳角

D．若|F2M|<|F2N|，則∠MF2N為鈍角

仿照原題的解法，利用橢圓的定義可以求得(過(guò)程略).

例6 設(shè)a,b,c>0，求證：(a5-a3+3)(b5-b3+3)(c5-c3+3)≥(a+b+c)2.

分析 本題的證明需先證一個(gè)結(jié)論：

a5-a3+3≥a2+2.

由a5-a3+3-(a2+2)=

(a-1)2(a+1)(a2+a+1)≥0，

可得

a5-a3+3≥a2+2.

在此基礎(chǔ)上，由均值不等式得

(b2+2)(c2+2)=b2c2+2b2+2c2+4=

即

由柯西不等式得

故 (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥

從而 (a5-a3+3) (b5-b3+3)(c5-c3+3)≥

3(a+b+c)2,

得證．

分析此證明過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)a5-a3+3≥a2+2的證明起到了一個(gè)降冪的作用，實(shí)現(xiàn)了從五次到二次的巧妙過(guò)渡．而在(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a2+b2+c2)的證明過(guò)程中，根據(jù)輪換對(duì)稱性，左邊a2+2,b2+2,c2+2中任何2項(xiàng)組合都能證明結(jié)論．值得思考的是，如果將左邊推廣到(a2+2)(b2+2)(c2+2)(d2+2)，結(jié)論會(huì)怎樣呢？由此，可編擬如下變式：

變式5 設(shè)a,b,c,d>0，求證：(a5-a3+3)(b5-b3+3)(c5-c3+3)(d5-d3+3)>

策略4 定性與定量

將定性的結(jié)論，通過(guò)數(shù)字化的形式以定量的方式呈現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)命題的一種常用策略.這一策略比較適用于幾何問(wèn)題，要求命題者有較高的幾何素養(yǎng)，對(duì)幾何圖形有較強(qiáng)的觀察能力，對(duì)幾何性質(zhì)有較深刻的理解．

例7 在平面幾何2個(gè)圓的位置關(guān)系中，有如下性質(zhì)：如果2個(gè)圓相交，則公共弦所在直線與2個(gè)圓公切線的交點(diǎn)是2個(gè)切點(diǎn)的中點(diǎn)．如圖7，已知⊙M和⊙N相交于直線PQ，直線ST為2個(gè)圓的公切線，直線PQ交直線ST于點(diǎn)G，則由GS2=GP·GO=GT2知G為ST的中點(diǎn)．

聯(lián)想拋物線的性質(zhì)，以過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，因此可以將整個(gè)圖形置于坐標(biāo)系中，將準(zhǔn)線看成2個(gè)相交圓的公切線，進(jìn)一步研究相交弦的性質(zhì)，可編制如下變式：

圖7 圖8

變式6 如圖8，過(guò)拋物線Γ的焦點(diǎn)F(0，1)作斜率分別為k1,k2的2條不同直線l1,l2，且l1交拋物線Γ于點(diǎn)A,B，l2交拋物線Γ于點(diǎn)C,D，以AB,CD為直徑分別作⊙M和⊙N．

1)求拋物線Γ的方程.

2)判斷⊙M和⊙N的公共弦所在直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例8 用“定性與定量”的策略描述空間幾何體中的正多面體.

我們知道，空間幾何體中，正多面體只有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中每個(gè)面都是三角形的只有正四面體、正八面體和正二十面體．

以正四面體為例，在正四面體靠近一個(gè)面的中心取一點(diǎn)，從這點(diǎn)出發(fā)，將四面體的各條棱投影到平面內(nèi)，得到如圖9所示的圖形，它由3個(gè)三角形組成，每個(gè)三角形對(duì)應(yīng)四面體的一個(gè)面，第4個(gè)面投影后變成大三角形，此時(shí)圖形的每個(gè)頂點(diǎn)聚焦著3條邊，因四面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集3條棱．

圖9 圖10 圖11

同理，利用中心投影，可從一個(gè)正八面體得出一個(gè)由7個(gè)三角形組成的圖形(如圖10所示)；可從一個(gè)下正二十面體得到一個(gè)由19個(gè)三角形組成的圖形(如圖11所示)，在每個(gè)頂點(diǎn)分別聚焦著4條邊或5條邊．

根據(jù)以上的分析，可以將每個(gè)面都是三角形的正多面體通過(guò)投影轉(zhuǎn)化到平面上，此時(shí)得到的圖形每個(gè)頂點(diǎn)有相同數(shù)目的邊，可根據(jù)上述結(jié)論命制如下變式：

變式7 把一個(gè)三角形分成n個(gè)三角形，使在所得三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處(包括大三角形頂點(diǎn)處)聚集著相同數(shù)目的邊，求n的可能取值．

?2016-09-10；

2016-10-12

吳國(guó)建(1969-)，男，浙江東陽(yáng)人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)12-01-05