“源”來如此
——2016年南京市中考第21題感悟

☉江蘇省南師大附中新城初中何君青

“源”來如此
——2016年南京市中考第21題感悟

☉江蘇省南師大附中新城初中何君青

2016年中考塵埃落定，各地中考試卷相繼出爐，作為江蘇省省會，南京市中考試卷歷來受到全國各地教育同行的關(guān)注.今年南京市中考試卷結(jié)構(gòu)合理，知識面覆蓋廣，區(qū)分度恰當(dāng).在考查方向上，注重基礎(chǔ)、突出能力；在考查內(nèi)容上，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、開放性、新穎性和探究性.試卷第21題“三角形的外角和等于360°”的考查可謂獨(dú)具匠心，筆者對此題進(jìn)行了深入研究，感悟頗深，故撰文與同行交流.

一、原題呈現(xiàn)

用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”.

如圖1，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角.

求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

圖1

證法1：∵_(dá)____，

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3= 540°.

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）.

∵_(dá)_______，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2.

分析：本題是三角形相關(guān)知識與思想方法的綜合運(yùn)用，是蘇科版教材七年級下冊第32頁“做一做”的延伸，教材中僅給出了證法1.本題先以填空的形式讓學(xué)生將證法1補(bǔ)充完整，注重強(qiáng)調(diào)幾何語言的重要性、規(guī)范性，再讓學(xué)生用不同的方法進(jìn)行證明，注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).本題源于教材、高于教材，以文字、符號、圖形等方式多樣化呈現(xiàn)，有利于學(xué)生讀懂題、理解題意.從考查內(nèi)容上看，本題注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，同時(shí)注重對基本活動經(jīng)驗(yàn)、轉(zhuǎn)化思想的考查；從考查方式上看，本題打破以往的考查方式，讓學(xué)生用兩種方法解決同一問題，可謂是南京中考?xì)v史上的重大突破，給優(yōu)生更多的展示機(jī)會，可見一題多解仍然是解題教學(xué)中一個(gè)永恒的話題；從考查意義上看，本題的考查注重知識間的連貫性，從“三角形內(nèi)角和等于180°”到“三角形的外角和等于360°”是知識的拓展、運(yùn)用的延伸，提醒教師授課時(shí)需注重知識的發(fā)生、發(fā)展、探究過程，更要注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，把思考的空間和時(shí)間盡可能多地留給學(xué)生.本題證法2方法多樣，學(xué)生能從多個(gè)角度思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.所以無論從試題的新穎性、公平性，還是試題的效度、信度、區(qū)分度、可推廣性，本題都是一道不可多得的好題.

二、常規(guī)解法

教材，是中考命題的藍(lán)本，也是中考命題的天然素材，是考題的主發(fā)源地，可謂取之不盡、用之不竭，每年都有大量的題目直接出自教材，或以此為基礎(chǔ)，改造整編、繁衍生息.作為重要的資源庫，教材中的諸多例題、思考題、習(xí)題都是經(jīng)過專家多次打磨、篩選后的精品，自身蘊(yùn)藏著豐富的潛在功能，有待我們把握立意，探其源，究其變.本題證明“三角形的外角和等于360°”就出自教材，筆者翻閱了全國各地的教材，發(fā)現(xiàn)有以下方法.

人教版八年級上冊第15頁例4給出的方法如下所示.

如圖1，由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得：

∠BAE=∠2+∠3，

∠CBF=∠1+∠3，

∠ACD=∠1+∠2.

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）.

由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD= 2×180°=360°.

分析：此法先利用“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這一結(jié)論，將三角形的三個(gè)外角轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角，再借助“三角形的內(nèi)角和等于180°”將問題解決.從解題教學(xué)的角度看，此方法從已知到可知，從要知到需知，擬定可行的步驟成功地解決了問題.此法“源”于學(xué)生對三角形基本要素之間關(guān)系的理解，事實(shí)上，三角形的內(nèi)、外角有著密切的關(guān)系，當(dāng)題目與外角有關(guān)時(shí)，轉(zhuǎn)化成內(nèi)角是常用的方法，此法體現(xiàn)了知識間的連續(xù)性.

華師版七年級下冊第78頁概括給出的方法如下所示.

如圖2，過點(diǎn)A作射線AP，使AP∥BD.

∵AP∥BD，

∴∠CBF=∠PAB，∠ACD=∠EAP.

∵∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法借助平行線的性質(zhì)將三角形的三個(gè)外角轉(zhuǎn)換到一個(gè)周角上，巧妙地求出三角形外角和等于360°.此法“源”于學(xué)生之前求三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，在求三角形外角和之前學(xué)生曾經(jīng)求過三角形的內(nèi)角和，當(dāng)時(shí)所用的方法就是將三角形的三個(gè)內(nèi)角通過平行線轉(zhuǎn)換到一個(gè)平角上，通過此方法，學(xué)生得到了經(jīng)驗(yàn)的遷移，在解決三角形的外角和時(shí)，很自然想到轉(zhuǎn)化成周角的方法.當(dāng)然，此解法還有其余幾種類似的變形，如圖3，在三角形一邊上取一點(diǎn)，借助平行線將三角形的三個(gè)外角轉(zhuǎn)換成一個(gè)周角；如圖4，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)，借助平行線將三角形的三個(gè)外角轉(zhuǎn)換成一個(gè)周角；如圖5，在三角形外部取一點(diǎn)，借助平行線將三角形的三個(gè)外角轉(zhuǎn)換成一個(gè)周角.

圖2

圖3

圖4

圖5

上述方法均源于教材，學(xué)生在解決本題時(shí)，還容易

想到如下的方法.

如圖6，連接EF、FD、DE.

圖6

在△AEF中，∠FAE+∠AEF+∠EFA=180°.

在△DBF中，∠DBF+∠BFD+∠FDB=180°.

在△ECD中，∠ECD+∠CDE+∠DEC=180°.

所以∠FAE+∠AEF+∠EFA+∠DBF+∠BFD+∠FDB+∠ECD+∠CDE+∠DEC=180°×3=540°.

即∠FAE+∠DBF+∠ECD+∠DEF+∠EFD+∠FDE= 540°.

又∠DEF+∠EFD+∠FDE=180°，所以∠FAE+∠DBF+∠ECD=540°-180°=360°.

即∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法將三角形的內(nèi)角和的結(jié)論用得“淋漓盡致”，用四次三角形的內(nèi)角和巧妙地求出了三角形的外角和.筆者認(rèn)為，此法“源”于學(xué)生對基本圖形“割補(bǔ)”的理解，在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，學(xué)生對趙爽弦圖印象深刻，頭腦中有一個(gè)大正方形套一個(gè)小正方形的基本圖形，而此處有異曲同工之處，將大三角形中套一個(gè)小三角形，巧妙地得到了“三角形的外角和等于360°”這一結(jié)論.當(dāng)然，此解法還有類似的變形，如連接EB、FC、DA.

縱觀以上方法，都“源”于課堂上的積累.事實(shí)上，三角形外角和的探索對學(xué)生來說并不陌生，是課堂上教師一定會關(guān)注的基本概念，但是由于課堂進(jìn)度等諸多原因，教師在教學(xué)時(shí)往往給予學(xué)生探索的時(shí)間和空間不足，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的過程性認(rèn)識偏淺，缺少邏輯推理的聯(lián)系、體驗(yàn)，并未獲得該有的深層次結(jié)論，認(rèn)識較淺.在上課時(shí)，若教師充分讓學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)表自己的看法，給予足夠的探究時(shí)間，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必然會有大幅度的提升.

所以，筆者提倡在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)時(shí)，用好教材，允許學(xué)生有不同的理解、不同的表達(dá)、不同的求解思路，甚至在不同的學(xué)段用不同的方法解決.特別在“圖形與幾何”的教學(xué)中，學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常會產(chǎn)生一些其他想法，教師要鼓勵學(xué)生大膽說出自己的思路，要在引導(dǎo)學(xué)生思考和尋找眼前的問題與學(xué)生已有的知識體驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)方面，為學(xué)生提供有啟發(fā)性的討論模式，使學(xué)生在充分參與活動的基礎(chǔ)上體驗(yàn)收獲的過程，體會成功的喜悅，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)更濃厚的興趣.

三、特殊解法

如圖7，作△ABC的外接圓⊙O，上取點(diǎn)H，在上取點(diǎn)G，在上取點(diǎn)I，連接GB、GC、HA、HB、IA、IC.

∵四邊形ABGC是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠G=∠BAE.

同理可得∠H=∠ACD，∠I=∠CBF.

∴∠G+∠H+∠I=∠BAE+∠ACD+∠CBF.

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

圖7

圖8

分析：此法以外接圓為載體，借助圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)性質(zhì)，將三角形的外角轉(zhuǎn)換成圓周角，繼而轉(zhuǎn)換成弧解決問題，能用此法的學(xué)生可謂讓閱卷教師眼前一亮.此法“源”于學(xué)生對圓的相關(guān)知識的理解，在學(xué)習(xí)圓時(shí)，學(xué)生經(jīng)常借助圓周角轉(zhuǎn)換某一個(gè)角，在做此題時(shí)，學(xué)生知道三角形外角和等于360°，所以很自然地想到轉(zhuǎn)換成一個(gè)圓來解決.這種做法將初中的知識貫穿起來，一道七年級的問題，用九年級的方法解決，依然如此自然，這需要學(xué)生很強(qiáng)地解決問題的能力和對數(shù)學(xué)知識之間連貫性的熟練理解.

如圖8，作△ABC的內(nèi)切圓⊙O，⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)H、G、I，連接OG、OH、OI.

∵⊙O與AB、CA分別相切于點(diǎn)H、I，

∴∠OHA=∠OIA=90°.

∴∠HOI+∠1=180°.

又∠BAE+∠1=180°，

∴∠HOI=∠BAE.

同理，可得∠HOG=∠CBF，∠IOG=∠ACD.

∴∠HOI+∠HOG+∠IOG=∠BAE+∠CBF+∠ACD.

∵∠HOI+∠HOG+∠IOG=360°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.

分析：此法以內(nèi)切圓為載體，借助切線的相關(guān)性質(zhì)，將三角形的外角轉(zhuǎn)換到一個(gè)周角上，從而解決了問題，雖然此法也是轉(zhuǎn)換成一個(gè)周角，但是相當(dāng)巧妙.此法

“源”于學(xué)生對“360°”的理解，在學(xué)生的理解中，看到180°容易想到平角，看到360°自然想到周角.當(dāng)然，此解法還有類似的變形，如在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，過O點(diǎn)分別作三邊的垂線.

這兩種解法的出現(xiàn)并不是偶然，當(dāng)學(xué)生從九年級回過頭研究七、八年級的舊問題時(shí)，很容易產(chǎn)生不同于之前的作法、新的認(rèn)識，這就是學(xué)生在課堂上實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造的體現(xiàn).

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾提出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.故在課堂上只有模仿遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，模仿只能讓學(xué)生“學(xué)會”，并未真正“會學(xué)”，知識是學(xué)不完的，所以教師要讓學(xué)生在課堂上實(shí)現(xiàn)知識的創(chuàng)新、整合，就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在自主探索、合作交流的實(shí)踐活動中，根據(jù)已有的體驗(yàn)，用自己的思維方式重新創(chuàng)造，得到更多的收獲，如此才能推動數(shù)學(xué)能力的進(jìn)步和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

四、感悟思考

無論什么性質(zhì)的考試，都非常注重對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn)的考查.若沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能力的培養(yǎng)和提高則無從談起.在教學(xué)中，教師不僅要求目標(biāo)、手段多樣化，更要注重解決問題策略的多樣化，要把思考的空間和時(shí)間留給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，通過學(xué)生獨(dú)立思考、試驗(yàn)、猜想探求新知，創(chuàng)造性地解決問題.本題的出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)關(guān)注概念的理解，重視基礎(chǔ)知識、基本技能，讓教師教學(xué)時(shí)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得，重視基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，然而通過本題還“逼”出了學(xué)生的思想，從代數(shù)角度和幾何角度滲透了轉(zhuǎn)換的思想，可見這道中考題的成功之處.

1.有利于改善教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展

中考是初中教學(xué)的指揮棒和方向標(biāo)，中考的命題方向?qū)ζ綍r(shí)的教與學(xué)會產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.隨著學(xué)校教學(xué)的惡性競爭，教學(xué)的“功利性”愈演愈烈，素質(zhì)教育流于形式，凡是中考必考的知識一定進(jìn)行大量的機(jī)械訓(xùn)練，凡是中考不考的知識絕不補(bǔ)充講解.這樣的模式不利于學(xué)生能力的培養(yǎng)和后續(xù)的發(fā)展，要想有所改變，必須從源頭抓起，改變中考的命題方向.本題恰好是課內(nèi)知識的拓展延伸，在那種應(yīng)試的課堂決不可能出現(xiàn)，在平時(shí)的“題海戰(zhàn)術(shù)”中也不涉及，那些整日在“分?jǐn)?shù)”壓迫下的教師很少會關(guān)注這樣的考題，在題海中“遨游”的學(xué)子并不占優(yōu)勢，相反，平時(shí)注重知識的形成發(fā)展、喜歡自主探究和具有發(fā)散性思維的學(xué)生占一定的優(yōu)勢，這也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維”.

長此以往，學(xué)生從內(nèi)心深處想改變學(xué)習(xí)的模式，促使教師在平時(shí)的課堂上主動改變授課的模式.若在以后的中考中多出現(xiàn)這樣的試題，對素質(zhì)教育的落實(shí)和課堂教學(xué)改革將起到潛移默化的作用.教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中，知識的直接灌輸少了，注重知識的形成、發(fā)展探究的多了；學(xué)生只埋頭做題的少了，主動探究、了解知識來龍去脈的多了.在平時(shí)的教學(xué)中，教師會注重?cái)?shù)學(xué)過程的教學(xué)，特別是對于數(shù)學(xué)概念、公式、定理和性質(zhì)等知識的來龍去脈的教學(xué)，給學(xué)生留有足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、分析、綜合、歸納和論證等活動，讓其親身體驗(yàn)知識的發(fā)生、形成與發(fā)展過程，學(xué)會研究的策略和方法，發(fā)展探究和歸納的能力，獲得終身受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.有利于教師進(jìn)一步鉆研教材，培養(yǎng)學(xué)生的興趣與習(xí)慣

教材是《課標(biāo)》的載體，教材的編寫突出基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想.教師在教學(xué)中應(yīng)立足于教材，致力于教材資源的開發(fā)，充分利用教材中的例、習(xí)題，進(jìn)行變式、拓展、重組，注重一題多解，一題多變，充分發(fā)揮教材的功能.

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：在人的心靈深處，有一個(gè)根深蒂固的需要，希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.所以合理地利用教材，讓學(xué)生多研究，定有好處，筆者建議在不同學(xué)段研究同一問題，學(xué)生可能會從不同層面，以不同角度為切入點(diǎn)提出各種各樣的見解，從而形成不同的思路，得出解決問題的不同辦法，這些見解有時(shí)可能會突破我們的常規(guī)做法，很可能就是創(chuàng)新，對知識的重組與整合，如果是正確的，學(xué)生會異常興奮，收獲滿滿，說不定在這樣的教學(xué)方式下學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才能達(dá)到真正的發(fā)展.比如，九年級時(shí)研究直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.平時(shí)日常的教學(xué)中，我們教師也要充分利用教材“故意”遺留的空白，培養(yǎng)學(xué)生主動探究，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣時(shí)，會有強(qiáng)烈的求知欲，能主動自覺地探求知識，使教學(xué)效果事半功倍.

一道中考題，簡單而又不簡單，題目源于課本，方法源于課堂，讓教師明白活用教材、給予學(xué)生足夠空間和時(shí)間的重要性，掌握源于領(lǐng)悟，升華源于追求，讓學(xué)生了解自主探究、領(lǐng)悟內(nèi)涵的重要性，更體會到數(shù)學(xué)能力發(fā)展才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一要義.Z