• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類中心循環(huán)的有限p-群的自同構(gòu)群的研究

    2016-12-07 08:59:29王玉雷劉合國(guó)吳佐慧
    數(shù)學(xué)雜志 2016年6期
    關(guān)鍵詞:自同構(gòu)同態(tài)素?cái)?shù)

    王玉雷,劉合國(guó),吳佐慧

    (1.河南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,河南鄭州450001)

    (2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖北武漢430062)

    一類中心循環(huán)的有限p-群的自同構(gòu)群的研究

    王玉雷1,劉合國(guó)2,吳佐慧2

    (1.河南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,河南鄭州450001)

    (2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖北武漢430062)

    本文研究了一類中心循環(huán)的有限p-群G的自同構(gòu)群.利用在G的導(dǎo)群上作用平凡的自同構(gòu)以及環(huán)上的辛群和正交群,確定了G的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu),這推廣了Bornand的相應(yīng)結(jié)果.

    有限p-群;循環(huán)中心;辛空間;自同構(gòu)群

    1 引言和預(yù)備知識(shí)

    文中p是一個(gè)素?cái)?shù),采用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,參照文獻(xiàn)[1].

    設(shè)G1和G2是任意兩個(gè)群,并且Z1和Z2分別是G1和G2的中心子群,假設(shè)Z1和Z2是同構(gòu)的,設(shè)θ:Z1→Z2是同構(gòu)映射,稱G1?G2是G1和G2相對(duì)于Z1,Z2和θ的中心積,即G1?G2是G1×G2關(guān)于正規(guī)子群{(z1,θ(z1)-1)|z1∈Z1}的商群.特別地,設(shè)G是任意一個(gè)群,中心積G?G是借助于中心上的恒等映射所得,為了方便,對(duì)于任意n>1,用G?n標(biāo)記中心積G?(n-1)?G,G?1=G且G?0=1.

    一個(gè)有限p-群G是超特殊的,如果G'=FratG=ζG都是p階群.Winter[2]給出了超特殊p-群的自同構(gòu)群.在文[1]中,一個(gè)有限p-群G稱為廣義超特殊的,如果G的中心是循環(huán)群且導(dǎo)群是p階群.在文[3]中,確定了這種廣義超特殊p-群的自同構(gòu)群.顯然,廣義超特殊p-群的中心商群是初等Abel群并且冪零類是2,因此廣義超特殊p-群真包含在中心循環(huán)的,冪零類是2的,并且中心商群是齊次循環(huán)的有限p-群中,這樣一類有限p-群在文獻(xiàn)[4]中給出,即X3(pm)?n?Zpm+r,其中n≥1,m≥1和r≥0,且

    當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時(shí),這類群的自同構(gòu)群被確定,即下面的命題.

    命題1.1設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù),G=X3(pm)?n?Zpm+r,其中n≥1,m≥1和r≥0.假設(shè)

    則Aut G=AutζGGAutζG,并且存在下面的正合列

    在本文中,當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時(shí),借助導(dǎo)群的特點(diǎn),重新刻畫該類有限p-群的自同構(gòu)群,進(jìn)一步,確定這類有限2-群的自同構(gòu)群.若m=1,則該類群是廣義超特殊p-群.為了不至于重復(fù)文獻(xiàn)[3]中廣義超特殊p-群的結(jié)果,只考慮m≥2的情況,所得主要結(jié)果如下.

    定理A設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù),G=X3(pm)?n?Zpm+r,其中m≥2,n≥1和r≥0.設(shè)AutG'G={α∈Aut G|α在G'上作用平凡},則

    (i)Aut G/AutG'GZpm-1(p-1).

    (ii)AutG'G/InnGSp(2n,Zpm)×Zpr.

    定理B設(shè)G=X3(2m)?n?Z2m+r,其中m≥2,n≥1和r≥0.設(shè)AutG'G={α∈Aut G|α在G'上作用平凡},則

    (i)Aut G/AutG'GZ2m-2×Z2.

    (ii)AutG'G/InnGK×Z2r,其中K=Sp(2n,Z2m)(當(dāng)r>0時(shí))或者O(2n,Z2m)(當(dāng)r=0時(shí)).

    為了得到結(jié)果,需要下面的引理.

    引理1.1設(shè)m和r都是正整數(shù),并且m≥2和r≥1.則

    (i)(pm+1)pr=1(mod pm+r).

    (ii)(pm+1)pr-1=1+pm+r-1(mod pm+r).

    證根據(jù)二項(xiàng)式定理可得

    若j=1并且i=pr,則

    若j=1并且i=pr-1,則

    若j=2并且i=pr-1,則0(mod pm+r)(當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時(shí))或者(2r-1-1)22m+r-2≡0(mod 2m+r)(當(dāng)p=2時(shí)).

    假設(shè)j≥3并且i=pr-1.注意到j(luò)!=其中3≤j≤pr-1并且(n',p)=1.則

    從而

    同理可得,若i=pr,則≡0(mod pm+r),其中j≥2.引理1.1得證.

    2 定理A的證明

    假設(shè)x1,x2,···,x2n-1,x2n,y是G的一組生成元,并且滿足

    定理2.1 AutG'G?Aut G并且Aut G/AutG'GZpm-1(p-1).

    證顯然AutG'G?Aut G.由于p是一個(gè)奇素?cái)?shù),因此是一個(gè)循環(huán)群.設(shè)v是的一個(gè)生成元,定義映射

    容易驗(yàn)證θ∈Aut G.任取α∈Aut G.因?yàn)镚'=〈ypr〉,所以存在0<v1<pm并且(v1,p)=1使得α(ypr)=(ypr)v1.從而存在0<v2<pm使得vv2≡(mod pm).由于

    因此θv2α∈AutG'G.從而Aut G=〈θ〉A(chǔ)utG'G.

    如果θu∈〈θ〉∩AutG'G,那么

    因此pr(vu-1)≡0(mod pm+r),即vu-1≡0(mod pm).從而pm-1(p-1)|u.顯然θpm-1(p-1)∈AutG'G,這說(shuō)明〈θ〉∩AutG'G=〈θpm-1(p-1)〉.結(jié)果可得Aut G/AutG'G〈θ〉/〈θpm-1(p-1)〉Zpm-1(p-1).定理2.1得證.

    其中[a,b]=(ypr)t,0≤t<pm.容易驗(yàn)證f是一個(gè)交錯(cuò)雙線性型.令i:=xiζG,顯然, G/ζG的一組基1,2,···,2n-1,2n滿足

    設(shè)Ψ:AutG'G-→Aut(G/ζG)和Φ:AutG'G-→AutζG是自然誘導(dǎo)同態(tài).定義一個(gè)同態(tài)映射

    對(duì)于任意α∈AutG'G,有[α(a),α(b)]=α[a,b]=[a,b],其中a,b∈G,從而

    定理2.2 KerΘ=InnG.

    證顯然,InnG≤KerΘ.任取α∈KerΘ,假設(shè)α(xi)=xiysi,α(y)=y,其中0≤si<pm+r,i=1,2,···,2n.由于

    因此pr|si.從而|KerΘ|≤p2nm.顯然|InnG|=p2nm,因此KerΘ=InnG.定理2.2得證.

    定理2.3 ImΨ=Sp(2n,Zpm).

    證任取T∈Sp(2n,Zpm).設(shè)T在G/ζG的一組基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上對(duì)應(yīng)的矩陣是A=(aij).

    定義映射

    其中0≤ai<pm,i=1,2,···,2n,0≤c<pm+r.

    注意到(aij)是一個(gè)非奇異矩陣.容易驗(yàn)證φ是一個(gè)雙射.因此φ是G的一個(gè)自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ是一個(gè)同態(tài)映射.根據(jù)φ的定義,下面的結(jié)論成立.

    (4)φ(y)=y,

    稱上面的φ是T在G上的誘導(dǎo)映射.

    任意g1,g2∈G,假設(shè)g1=則

    其中ye=

    設(shè)ai+bi=ri+pmsi且e=t1+tpm+r,其中0≤ri<pm,si∈Z,0≤t1<pm+r,t∈Z,則

    從而φ∈AutG'G,并且Ψ(φ)=T.結(jié)果可得ImΨ=Sp(2n,Zpm).定理2.3得證.

    證定義映射

    容易驗(yàn)證σ是G的一個(gè)自同構(gòu).因?yàn)镚'=〈ypr〉和σ(ypr)=σ(y)pr=(ypm+1)pr=ypr,所以σ∈AutG'G.

    若r=0,則ζG=G',那么σ是恒等自同構(gòu).下面不妨假設(shè)r>0.

    由引理1.1可得(pm+1)pr≡1(mod pm+r)和(pm+1)pr-1≡1+pm+r-1(mod pm+r).由于

    因此Φ(σ)的階是pr.

    任取α∈AutG'G,則α(ypr)=ypr.設(shè)α(y)=yu,其中0≤u<pm+r.因?yàn)閥pr= α(ypr)=α(y)pr=yupr,所以pm+r|pr(u-1),即pm|(u-1).設(shè)u=1+pmu',其中u'∈Z.根據(jù)引理1.1,容易驗(yàn)證upr=(1+pmu')pr≡1(mod pm+r),因此Φ(α)pr(y)=αpr(y)= yupr=y,這表明Φ(α)是一個(gè)p-元素,從而ImΦ是一個(gè)冪指數(shù)為pr的p-群.由于AutζG是pm+r-1(p-1)階循環(huán)群,從而ImΦ=〈Φ(σ)〉Zpr.定理2.4得證.

    3 定理B的證明

    假設(shè)x1,x2,···,x2n-1,x2n,y是G的一組生成元,并且滿足

    定理3.1 AutG'G?Aut G并且Aut G/AutG'GZ2m-2×Z2.

    證由于G'=〈y2r〉,因此AutG'Z?

    2m.由AutG到AutG'的誘導(dǎo)同態(tài)可得AutG/AutG'G同構(gòu)于的一個(gè)子群.根據(jù)Z2m-2×Z2,假設(shè)Z?2m=〈r1〉×〈r2〉,其中r1:=3和r2:=2m-1的階分別是2m-2和2.

    定義映射

    容易驗(yàn)證θ1和θ2都是G的自同構(gòu).

    如果m=2,那么θ1=θ2.任取α∈Aut G.因?yàn)镚'=〈y2r〉,所以存在0<t<4并且(t,2)=1使得α(y2r)=(y2r)t.從而存在0<t1<4使得≡t-1(mod 4).由于

    為了方便,不至于引起混淆,仍用定理A中的記號(hào),定義同態(tài)映射

    其中Ψ:AutG'G-→Aut(G/ζG)和Φ:AutG'G-→AutζG是自然誘導(dǎo)同態(tài).

    根據(jù)定理2.2,同理可得KerΘ=InnG.

    定理3.2若r>0,則ImΨ=Sp(2n,Z2m).

    證定義Z2m-模G/ζG上的交錯(cuò)雙線性型f:G/ζG×G/ζG-→Z2m;(aζG,bζG)t,其中[a,b]=(y2r)t,0≤t<2m.根據(jù)定理A,同理可得ImΨ≤Sp(2n,Z2m).

    任取T∈Sp(2n,Z2m).設(shè)T在G/ζG的一組基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上對(duì)應(yīng)的矩陣是A=(aij).

    定義映射

    其中0≤ai<2m,i=1,2,···,2n,0≤c<2m+r,并且c'≡c+(mod 2m+r).

    注意到(aij)是一個(gè)非奇異矩陣.容易驗(yàn)證φ是一個(gè)雙射.因此φ是G的一個(gè)自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ是一個(gè)同態(tài)映射.根據(jù)φ的定義,下面的結(jié)論成立.

    (4)φ(y)=y.

    (5)

    根據(jù)定理2.3的證明,同理可得φ∈AutG'G,并且Ψ(φ)=T.結(jié)果可得ImΨ= Sp(2n,Z2m).定理3.2得證.

    如果r=0,那么G=X3(2m)?n,此時(shí),G'=ζG=〈y〉Z2m,在Z2m-模G/ζG上定義一個(gè)二次型,對(duì)任意:=xζG∈G/ζG,有

    則有下面的定理.

    定理3.3若r=0,則ImΨ=O(2n,Z2m).

    證任意α∈AutG'G,x∈G,則α(x)2m=α(x2m)=x2m,因此即 q(Ψ(α)())=q(),因此Ψ(α)∈O(2n,Z2m),由此可得ImΨ≤O(2n,Z2m).

    任取T∈O(2n,Z2m).設(shè)T在G/ζG的一組基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上對(duì)應(yīng)的矩陣是A=(aij).

    定義映射

    其中0≤ai<2m,i=1,2,···,2n,0≤c<2m+r.

    從而[φ(g1),φ(g2)]=[g1,g2].

    類似于定理2.3的證明,同理可得φ∈AutG'G,并且Ψ(φ)=T.總之,ImΨ= O(2n,Z2m).

    證定義映射

    容易驗(yàn)證σ1是G的一個(gè)自同構(gòu).因?yàn)镚'=〈y2r〉和σ1(y2r)=σ1(y)2r=(y2m+1)2r=y2r,所以σ1∈AutG'G.

    由引理1.1可得(2m+1)2r≡1(mod 2m+r)和(2m+1)2r-1≡1+2m+r-1(mod 2m+r).

    由于

    因此Φ(σ1)的階是2r.

    任取α∈AutG'G,則α(y2r)=y2r.設(shè)α(y)=yu,其中0≤u<2m+r.因?yàn)閥2r= α(y2r)=α(y)2r=yu2r,所以2m+r|2r(u-1),即2m|(u-1).設(shè)u=1+2mu',其中u'∈Z.從而Φ(α)(y)=y2mu'+1,其中0≤u'<2r,因此|ImΦ|≤2r,結(jié)果可得ImΦ=〈Φ(σ1)〉Z2r.定理3.4得證.

    [1]Robinson D J S.A course in the theory of groups(2nd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,1996.

    [2]Winter D.The automorphism group of an extraspecial p-group[J].Rocky Mountain J.Math.,1972, 2:159-168.

    [3]Liu H G,Wang Y L.The automorphism group of a generalized extraspecial p-group[J].Sci.China Math.,2010,53(2):315-334.

    [4]Bornand D.Elementary abelian subgroups in p-groups of class 2[D].Lausanne:cole Polytechnique Fdrale de Lausanne,2009.

    [5]海進(jìn)科,王玉雷.有限群的Coleman外自同構(gòu)群是p'-群的一些充分條件[J].數(shù)學(xué)雜志,2008,28(6): 653-658.

    2010 MR Subject Classification:20E36;20F28

    A STUDY ON THE AUTOMORPHISM GROUP OF A CLASS OF A FINITE P-GROUP WITH A CYCLIC CENTER

    WANG Yu-lei1,LIU He-guo2,WU Zuo-hui2
    (1.Department of Mathematics,Henan University of Technology,Zhengzhou 450001,China)
    (2.Department of Mathematics,Hubei University,Wuhan 430062,China)

    In this article,the automorphism group of a class of a finite p-group G with a cyclic center is researched.With the automorphisms which act trivially on the derived subgroup of G,symplectic group and orthogonal group over a ring,the structure of the automorphism group of G is determined,which generalizes the related results of Bornand.

    finite p-group;cyclic center;symplectic space;automorphism group

    MR(2010)主題分類號(hào):20E36;20F28O152.3

    A

    0255-7797(2016)06-1273-10

    ?2015-08-27接收日期:2015-12-03

    國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11301150;11371124);河南省自然科學(xué)基金資助(142300410134; 162300410066).

    王玉雷(1979-),男,河南南陽(yáng),副教授,博士,主要研究方向:代數(shù)學(xué).

    猜你喜歡
    自同構(gòu)同態(tài)素?cái)?shù)
    孿生素?cái)?shù)
    兩個(gè)素?cái)?shù)平方、四個(gè)素?cái)?shù)立方和2的整數(shù)冪
    一類無(wú)限?ernikov p-群的自同構(gòu)群
    關(guān)于半模同態(tài)的分解*
    拉回和推出的若干注記
    關(guān)于兩個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)素?cái)?shù)κ次冪的丟番圖不等式
    關(guān)于有限Abel p-群的自同構(gòu)群
    剩余有限Minimax可解群的4階正則自同構(gòu)
    一種基于LWE的同態(tài)加密方案
    HES:一種更小公鑰的同態(tài)加密算法
    电影成人av| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 国产野战对白在线观看| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 91av网站免费观看| 男人舔女人的私密视频| 欧美日韩国产mv在线观看视频| x7x7x7水蜜桃| 久久中文字幕人妻熟女| 精品国产一区二区三区四区第35| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 黑人猛操日本美女一级片| 久久九九热精品免费| 99精品欧美一区二区三区四区| 国产在线一区二区三区精| 十八禁高潮呻吟视频| 精品一区二区三卡| 在线视频色国产色| 男女床上黄色一级片免费看| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲人成电影观看| 69精品国产乱码久久久| 国产精品久久电影中文字幕 | 女警被强在线播放| 狂野欧美激情性xxxx| 母亲3免费完整高清在线观看| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 18禁国产床啪视频网站| 成年人免费黄色播放视频| 一进一出抽搐gif免费好疼 | 国产男靠女视频免费网站| 久久久久久久国产电影| 国产不卡av网站在线观看| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 精品久久久久久久毛片微露脸| 亚洲国产欧美一区二区综合| 国产成人影院久久av| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 美女 人体艺术 gogo| 国产av又大| 视频在线观看一区二区三区| 国产精品九九99| 99精国产麻豆久久婷婷| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 69av精品久久久久久| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 欧美黄色片欧美黄色片| 啦啦啦 在线观看视频| 黄色视频,在线免费观看| 中亚洲国语对白在线视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 极品人妻少妇av视频| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 91九色精品人成在线观看| 色婷婷久久久亚洲欧美| 亚洲成人免费电影在线观看| av线在线观看网站| 天天影视国产精品| 精品人妻在线不人妻| 欧美激情 高清一区二区三区| 大陆偷拍与自拍| 这个男人来自地球电影免费观看| 性少妇av在线| 黄片播放在线免费| 91在线观看av| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 免费日韩欧美在线观看| 久久香蕉精品热| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 精品国产一区二区三区四区第35| 欧美黑人欧美精品刺激| 日韩三级视频一区二区三区| 亚洲国产欧美一区二区综合| 一级片免费观看大全| 十八禁人妻一区二区| 在线免费观看的www视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 日本五十路高清| 三上悠亚av全集在线观看| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 精品久久久精品久久久| 亚洲成人手机| 欧美激情久久久久久爽电影 | 国产精品乱码一区二三区的特点 | 久久性视频一级片| 亚洲国产欧美一区二区综合| 黄色视频,在线免费观看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 免费看a级黄色片| 久久人人97超碰香蕉20202| 日韩中文字幕欧美一区二区| a级毛片黄视频| 免费在线观看影片大全网站| 黄色 视频免费看| 国产精品免费视频内射| 美国免费a级毛片| 国产成人av激情在线播放| 亚洲精品av麻豆狂野| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 人人澡人人妻人| 又黄又粗又硬又大视频| 欧美乱色亚洲激情| 欧美人与性动交α欧美软件| 国产成人精品久久二区二区免费| 老司机午夜福利在线观看视频| 成人手机av| 最近最新中文字幕大全免费视频| 女性生殖器流出的白浆| 热99久久久久精品小说推荐| 一级a爱片免费观看的视频| 成人国产一区最新在线观看| 成人特级黄色片久久久久久久| 欧美国产精品va在线观看不卡| 真人做人爱边吃奶动态| 久久久久久久久免费视频了| 国产男女内射视频| 国产高清国产精品国产三级| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 99riav亚洲国产免费| 交换朋友夫妻互换小说| 天天添夜夜摸| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 亚洲成人免费电影在线观看| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 国产精品电影一区二区三区 | 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 精品亚洲成a人片在线观看| ponron亚洲| 久久久精品区二区三区| videos熟女内射| 亚洲专区中文字幕在线| 久久香蕉精品热| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 热re99久久国产66热| 国产激情欧美一区二区| xxx96com| 欧美大码av| 日韩欧美在线二视频 | 国产精品影院久久| 欧美 日韩 精品 国产| 久久久精品区二区三区| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 757午夜福利合集在线观看| 国产成+人综合+亚洲专区| 丝袜美足系列| 一区二区三区国产精品乱码| 99精品在免费线老司机午夜| 淫妇啪啪啪对白视频| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 高清在线国产一区| 狂野欧美激情性xxxx| 在线av久久热| e午夜精品久久久久久久| 日本vs欧美在线观看视频| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 久99久视频精品免费| 国产欧美日韩一区二区精品| 男人的好看免费观看在线视频 | 国产视频一区二区在线看| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 人成视频在线观看免费观看| 亚洲av日韩在线播放| 满18在线观看网站| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 国产精品av久久久久免费| 99国产综合亚洲精品| 午夜福利在线免费观看网站| 久久久国产精品麻豆| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲av熟女| 99国产精品一区二区蜜桃av | 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 亚洲国产欧美网| 亚洲午夜理论影院| 亚洲欧美一区二区三区久久| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 91九色精品人成在线观看| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 9191精品国产免费久久| 午夜91福利影院| 国产在视频线精品| 超碰成人久久| 亚洲国产精品合色在线| 色婷婷久久久亚洲欧美| 97人妻天天添夜夜摸| 一二三四在线观看免费中文在| 少妇 在线观看| 日本黄色视频三级网站网址 | a级毛片在线看网站| 18在线观看网站| 久久九九热精品免费| 免费观看a级毛片全部| 女警被强在线播放| 亚洲成a人片在线一区二区| 欧美丝袜亚洲另类 | 一本一本久久a久久精品综合妖精| 国产精品二区激情视频| 亚洲精品美女久久av网站| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 俄罗斯特黄特色一大片| 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲国产欧美一区二区综合| 欧美日韩成人在线一区二区| 麻豆国产av国片精品| 国产麻豆69| 中文字幕色久视频| 免费av中文字幕在线| 黑人欧美特级aaaaaa片| 窝窝影院91人妻| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 757午夜福利合集在线观看| 一级a爱视频在线免费观看| 亚洲熟女毛片儿| 亚洲,欧美精品.| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 高清欧美精品videossex| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 黄色视频不卡| 成年人免费黄色播放视频| 99riav亚洲国产免费| 两人在一起打扑克的视频| 最新美女视频免费是黄的| 国产在线精品亚洲第一网站| 欧美乱码精品一区二区三区| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 老司机在亚洲福利影院| 日本黄色视频三级网站网址 | 99riav亚洲国产免费| 91国产中文字幕| 国产成人av教育| 在线av久久热| 搡老乐熟女国产| 久久国产亚洲av麻豆专区| 超碰成人久久| 亚洲三区欧美一区| 久久久久久久国产电影| 国产成人系列免费观看| 黄色女人牲交| 亚洲熟妇熟女久久| 国产有黄有色有爽视频| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 国产精品亚洲一级av第二区| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 久久国产乱子伦精品免费另类| 久久亚洲精品不卡| 欧美日本中文国产一区发布| 午夜福利免费观看在线| 亚洲av欧美aⅴ国产| tocl精华| 亚洲精品乱久久久久久| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 久久国产亚洲av麻豆专区| 亚洲五月色婷婷综合| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 久久九九热精品免费| 国产精品一区二区免费欧美| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 人妻一区二区av| 亚洲黑人精品在线| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 亚洲国产欧美网| 国产亚洲一区二区精品| 国产日韩欧美亚洲二区| 亚洲视频免费观看视频| 国产男女超爽视频在线观看| 99国产精品一区二区蜜桃av | 激情在线观看视频在线高清 | 精品免费久久久久久久清纯 | 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 免费在线观看影片大全网站| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 黄色女人牲交| 久久国产精品大桥未久av| 又大又爽又粗| 99久久精品国产亚洲精品| 欧美一级毛片孕妇| 久久青草综合色| 亚洲国产精品合色在线| 久久久久久免费高清国产稀缺| videos熟女内射| 午夜福利,免费看| 国产精华一区二区三区| 一级毛片精品| av不卡在线播放| 国产亚洲精品久久久久久毛片 | 99香蕉大伊视频| 99久久综合精品五月天人人| 国产成人av激情在线播放| 国产精品久久久久成人av| 亚洲成人免费电影在线观看| 波多野结衣av一区二区av| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 丝袜美腿诱惑在线| 18在线观看网站| 久久久国产成人精品二区 | 国产精品免费大片| 啦啦啦在线免费观看视频4| 久久久久国产精品人妻aⅴ院 | 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 最新在线观看一区二区三区| 成人影院久久| 国产精品久久久久成人av| 午夜精品国产一区二区电影| 精品人妻在线不人妻| 色94色欧美一区二区| 黄片大片在线免费观看| 久久草成人影院| 中文字幕av电影在线播放| 国产精品99久久99久久久不卡| 男女午夜视频在线观看| 99精品欧美一区二区三区四区| 18禁美女被吸乳视频| 免费在线观看黄色视频的| 高清在线国产一区| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 中文字幕制服av| 丰满的人妻完整版| 亚洲av熟女| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 久久 成人 亚洲| 国产99白浆流出| 免费在线观看完整版高清| 欧美在线一区亚洲| 在线av久久热| 欧美精品啪啪一区二区三区| 亚洲全国av大片| videosex国产| 国产色视频综合| 亚洲国产欧美网| aaaaa片日本免费| 成人影院久久| 成年人午夜在线观看视频| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 宅男免费午夜| 免费人成视频x8x8入口观看| 免费在线观看黄色视频的| 久久影院123| 亚洲专区国产一区二区| 国产成人系列免费观看| 午夜福利免费观看在线| 亚洲熟女精品中文字幕| www.熟女人妻精品国产| 热99国产精品久久久久久7| 国产男靠女视频免费网站| 啦啦啦 在线观看视频| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 欧美激情高清一区二区三区| 欧美日韩一级在线毛片| 黑人欧美特级aaaaaa片| 亚洲色图av天堂| 亚洲美女黄片视频| av有码第一页| 在线观看免费午夜福利视频| 黑人欧美特级aaaaaa片| 少妇 在线观看| avwww免费| 一夜夜www| 色婷婷av一区二区三区视频| 一区二区三区国产精品乱码| 国产成人欧美| 在线免费观看的www视频| av超薄肉色丝袜交足视频| 欧美成人免费av一区二区三区 | av在线播放免费不卡| 中亚洲国语对白在线视频| 亚洲精品乱久久久久久| 一本综合久久免费| 国产亚洲精品第一综合不卡| 日韩欧美免费精品| 国产97色在线日韩免费| 美国免费a级毛片| 亚洲精品国产区一区二| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 国产成人精品在线电影| 久久午夜亚洲精品久久| 高清在线国产一区| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 亚洲少妇的诱惑av| 亚洲精品粉嫩美女一区| 桃红色精品国产亚洲av| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 在线观看免费高清a一片| 亚洲熟女毛片儿| 两个人免费观看高清视频| 在线看a的网站| 老司机午夜十八禁免费视频| 日日夜夜操网爽| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 国产欧美亚洲国产| 99久久国产精品久久久| 超碰成人久久| 精品乱码久久久久久99久播| 久久这里只有精品19| 一级黄色大片毛片| 在线免费观看的www视频| 黄色片一级片一级黄色片| 老司机深夜福利视频在线观看| avwww免费| 国产区一区二久久| 激情在线观看视频在线高清 | 国产精品永久免费网站| 黄色成人免费大全| 人妻一区二区av| 黄色片一级片一级黄色片| 国产成+人综合+亚洲专区| av欧美777| 日本wwww免费看| 欧美日韩精品网址| 久久久国产精品麻豆| 久久人妻av系列| 精品久久久久久,| 亚洲国产欧美一区二区综合| 9191精品国产免费久久| 国产欧美日韩一区二区三| 国产熟女午夜一区二区三区| 人妻丰满熟妇av一区二区三区 | av超薄肉色丝袜交足视频| 亚洲色图综合在线观看| 午夜视频精品福利| 国产伦人伦偷精品视频| 成年女人毛片免费观看观看9 | 99热只有精品国产| 女人被狂操c到高潮| www.自偷自拍.com| 一级片免费观看大全| 精品国产乱子伦一区二区三区| 国产一区在线观看成人免费| 日韩有码中文字幕| 国产成+人综合+亚洲专区| 欧美精品高潮呻吟av久久| 久久精品91无色码中文字幕| 久久精品国产综合久久久| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 超色免费av| 欧美人与性动交α欧美软件| 精品久久久久久,| 午夜福利在线观看吧| 亚洲成人手机| 欧美av亚洲av综合av国产av| 欧美日韩视频精品一区| 中文字幕高清在线视频| 99精品欧美一区二区三区四区| 亚洲人成电影免费在线| 午夜精品国产一区二区电影| 老司机影院毛片| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲精品在线美女| 中文字幕人妻丝袜制服| 亚洲色图综合在线观看| 国产亚洲精品第一综合不卡| 国产av又大| 97人妻天天添夜夜摸| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 大片电影免费在线观看免费| 久久久久久免费高清国产稀缺| 在线看a的网站| 美国免费a级毛片| 国产免费现黄频在线看| 欧美成人免费av一区二区三区 | 久久人妻福利社区极品人妻图片| 黑人猛操日本美女一级片| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 一区二区三区精品91| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 精品久久久久久久久久免费视频 | 老汉色∧v一级毛片| 麻豆av在线久日| 美女国产高潮福利片在线看| 男女之事视频高清在线观看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 久久国产精品影院| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 国产精华一区二区三区| 人妻 亚洲 视频| 日韩视频一区二区在线观看| 免费不卡黄色视频| 99国产精品免费福利视频| x7x7x7水蜜桃| 99国产精品一区二区三区| 国产xxxxx性猛交| 亚洲一码二码三码区别大吗| 黄色丝袜av网址大全| 欧美日韩av久久| www.999成人在线观看| 成熟少妇高潮喷水视频| 妹子高潮喷水视频| 90打野战视频偷拍视频| 高清av免费在线| 丝袜在线中文字幕| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 国产成人欧美在线观看 | 免费在线观看亚洲国产| 午夜福利影视在线免费观看| 精品国产一区二区三区四区第35| 天天添夜夜摸| 久99久视频精品免费| 亚洲av成人一区二区三| av欧美777| 女人被狂操c到高潮| 国产精品综合久久久久久久免费 | 久久ye,这里只有精品| 亚洲中文字幕日韩| 人妻一区二区av| 18在线观看网站| 精品国内亚洲2022精品成人 | 国产一区二区三区视频了| 国产三级黄色录像| 老司机福利观看| 亚洲精品在线美女| 国产精品九九99| 国产单亲对白刺激| 又紧又爽又黄一区二区| 久久久水蜜桃国产精品网| 中文字幕色久视频| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 久久中文字幕一级| 两个人看的免费小视频| 久久久国产欧美日韩av| 视频在线观看一区二区三区| 国产成人av激情在线播放| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲一区二区三区不卡视频| 最近最新免费中文字幕在线| 成人av一区二区三区在线看| 亚洲一区高清亚洲精品| 宅男免费午夜| 亚洲av片天天在线观看| 久久久久久久久久久久大奶| 999精品在线视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 国产亚洲精品久久久久5区| 麻豆成人av在线观看| 视频区图区小说| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 我的亚洲天堂| 91av网站免费观看| 日韩中文字幕欧美一区二区| 久久这里只有精品19| 精品人妻在线不人妻| 亚洲精品av麻豆狂野| 亚洲av熟女| 热re99久久精品国产66热6| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 热99久久久久精品小说推荐| 男男h啪啪无遮挡| 免费人成视频x8x8入口观看| 欧美日韩亚洲高清精品| 精品久久蜜臀av无| 一二三四社区在线视频社区8| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 在线观看午夜福利视频| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 伦理电影免费视频| 露出奶头的视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 在线观看免费视频网站a站| 看免费av毛片| 亚洲av熟女| 久久久久久人人人人人| 国产男女内射视频| 99在线人妻在线中文字幕 | 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 精品久久久久久久久久免费视频 | 亚洲一区二区三区欧美精品| www.自偷自拍.com| 国产高清videossex| 国产免费现黄频在线看| 一级a爱视频在线免费观看| 视频区图区小说| 久久天堂一区二区三区四区| 久久精品亚洲精品国产色婷小说| 国产精华一区二区三区| 国产又爽黄色视频| 精品国内亚洲2022精品成人 | 高清欧美精品videossex| 国产精品偷伦视频观看了| 91成人精品电影| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 亚洲性夜色夜夜综合| 成人特级黄色片久久久久久久| 两人在一起打扑克的视频| 18禁国产床啪视频网站| 我的亚洲天堂| 视频区欧美日本亚洲| www日本在线高清视频| 香蕉国产在线看| 极品少妇高潮喷水抽搐| 婷婷丁香在线五月| 亚洲精品一二三| 亚洲国产欧美网| 在线观看免费日韩欧美大片| 亚洲成人免费av在线播放| 精品国产乱子伦一区二区三区| 亚洲七黄色美女视频| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 夫妻午夜视频| 99国产综合亚洲精品| 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 日韩欧美一区视频在线观看| 一级毛片高清免费大全| 大型av网站在线播放| 亚洲伊人色综图| 制服人妻中文乱码| 国产成人精品无人区| 91字幕亚洲|