小題細(xì)做——有感于一次復(fù)習(xí)課教學(xué)觀摩

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)　施建樹

小題細(xì)做——有感于一次復(fù)習(xí)課教學(xué)觀摩

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)施建樹

高三復(fù)習(xí)教學(xué)是知識點的濃縮式教學(xué)，這需要教學(xué)中對于重要知識問題進行整合、有效的設(shè)計，而不能僅僅就題論題．近期觀摩了本地區(qū)某校W老師關(guān)于向量小題知識的復(fù)習(xí)課，令筆者對于復(fù)習(xí)課教學(xué)的設(shè)計感慨較多，W老師從高等數(shù)學(xué)中體現(xiàn)向量數(shù)量積與其和差之間的關(guān)系式（即極化恒等式）出發(fā)，設(shè)計了近年來考查較為熱門的一系列類似問題，整堂課的設(shè)計僅僅圍繞題根a· b=［（a+b）2-（a-b）2］出發(fā)，讓筆者也深深認(rèn)識到了如何將小題進行了一番大作．

一、綜述

1.從內(nèi)容而言：W老師在教學(xué)內(nèi)容的選取上花了不少心思，以向量小題為例，通過極化恒等式這種比較新穎的手段來解決向量中難度較大的數(shù)量積綜合問題，不僅給很多學(xué)生甚至老師一種視覺上的享受，更能有效地幫助學(xué)生解決向量中的疑難問題，而且題目的設(shè)置也恰到好處，“樹高千丈，葉落歸根”不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的博大精深，更宣揚了一種推本溯源的思想，與此次“根本教學(xué)法”的宗旨不謀而合．總之，這堂課的開場就讓筆者出乎意料．筆者對可以通過極化恒等式來幫助學(xué)生“秒殺”靈活多變的高考向量題也并不熟悉，因此本課也讓筆者受益匪淺．

2.從目標(biāo)而言：W老師對這堂課要實現(xiàn)的目標(biāo)很明確，清楚學(xué)生應(yīng)該理解什么，掌握什么，學(xué)會什么，她真正成為了學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、指導(dǎo)者和合作者，而學(xué)生真正是一個個發(fā)現(xiàn)者、探索者，有效地發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用．W老師希望學(xué)生能借助極化恒等式來解決向量與三角、立體幾何等的綜合問題，在教學(xué)中更是滲透著數(shù)形結(jié)合這種很重要的思想方法．所以，整堂課始終貫穿著用“極化恒等式”解決向量數(shù)量積問題這條主線，在例題的選取和安排上也是精心布置的．

二、過程

W老師以課本為起點，通過課本題目的練習(xí)，讓學(xué)生自己來探索a·b與a+b，a-b之間的關(guān)系，進而得到極化恒等式：a·b=（a+b）2-（a-b）2］，引入自然貼切，學(xué)生易于掌握.W老師為學(xué)生創(chuàng)造了一個自主探索的機會，讓學(xué)生主動去建構(gòu)知識，而不是被動地吸收老師給出的現(xiàn)成結(jié)論，這是一個很好的實踐和創(chuàng)新的機會．

在“尋根問底”這個環(huán)節(jié)中，W老師對極化恒等式作了進一步的說明，通過數(shù)形結(jié)合的方法，給出了極化恒等式的另一種形式通過這種形式可以發(fā)現(xiàn)，這是一種數(shù)形結(jié)合的思想，是在圖形的基礎(chǔ)上闡釋極化恒等式的意義，即兩個向量的積可以用來表示以這兩個向量組成的平行四邊形的“和（差）對角線”的平方差的這樣可以使學(xué)生更好地理解并應(yīng)用極化恒等式，為后面的高效教學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ)．

在“根繁葉茂”環(huán)節(jié)中，W老師通過三個例題很好地詮釋了極化恒等式這一工具，而且例題的選擇是很有針對性和代表性的，立意新穎，難度較大，通過該等式的巧妙解決，讓學(xué)生真真實實地感受到極化恒等式“秒殺”向量題的實效性，凸顯它的魅力，激起學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情．

但筆者認(rèn)為覺得在例題的編排順序以及析題的過程上可以作一些改進或者調(diào)整．例題的編排最好能按時間的先后順序以及試題的難度來安排，所以筆者建議將例2和例3的順序予以對調(diào)．另外，W老師在例題1的講解中，用到了“極化恒等式法”、“建系法”、“向量運算法”三種方法，分析比較全面和細(xì)致，但是筆者覺得在時間上分配得有點多，其實這個題目的難度不大，很多同學(xué)都能自己完成，所以筆者覺得在以“極化恒等式法”為主線的基礎(chǔ)上，另外兩種方法給予適當(dāng)?shù)狞c播就可以了．而在例2和例3的講解中，解法單一，造成了“華山一條道”的局面，特別是例3，此題作為填空題的壓軸題，難度很大，得分率相當(dāng)?shù)?，而學(xué)生對于“極化恒等式法”畢竟比較陌生，在后來的求解的最值的時候，很多同學(xué)一臉茫然，顯然并不能很好地理解和掌握該解法．而且W老師似乎沒有給學(xué)生機會來展示或交流對這兩個例題的想法或解法，其實觀察下來，還是有不少同學(xué)在嘗試用建系、運算等方法在解，而老師沒有及時地關(guān)注和鼓勵學(xué)生的想法，這會挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和積極性．所以，老師應(yīng)該指引和鼓勵學(xué)生嘗試多角度地解決此題，真正地打開學(xué)生的思維，寧可少講一題，也要講透一題，只有這樣才能做到會一題通一類．因此W老師對例2作了深入的研究，體現(xiàn)了小題細(xì)做：

例2已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|= 5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_________．

圖1

圖2

方法2（建系法）：如圖2，由已知條件可知，AC⊥BC，AO⊥BO，AOBC四點共圓，且AC=3，AB=5，BC=4，故可建系如圖2所示，則C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB為圓直徑，所以圓心坐標(biāo)為則該圓的方程為：

因此，可得a·c∈［-2，18］．

方法3（幾何運算法）：如圖3所示，不妨設(shè)∠AOC=θ，則∠ABC=θ，故cosθ= cos∠ABC=（在Rt△ABC中）.又因為|

a-c|=3，即得a2+c2-2a·c=9，從而有a2+

圖3

說明：處理向量的數(shù)量積問題一般有三個角度可以考慮，一是利用“極化恒等式”工具，二是通過建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)為代數(shù)運算，三是利用向量的線性運算，實施向量的轉(zhuǎn)化．方法1具有一定的巧妙性，往往可以避免復(fù)雜的運算，為考試贏得更多的時間；方法2實用性較強，通過建系，能把向量問題轉(zhuǎn)為一種代數(shù)的運算，該法的關(guān)鍵是如何建系，一般要應(yīng)遵循簡潔的原則，所需點的坐標(biāo)易求、快捷為上．而方法3則要求學(xué)生必須熟練地掌握向量的線性運算，還要善于捕捉向量背后的幾何背景，找出幾何圖形的特點，然后借助平面幾何性質(zhì)以及向量運算的幾何意義解決問題．

通過W老師這一節(jié)課，可以發(fā)現(xiàn)“極化恒等式”對于向量數(shù)量積問題的解決有很大的幫助，可以達(dá)到省時省力的雙贏局面.與此同時也需要認(rèn)識到，用極化恒等式來高效迅速地解決與向量相關(guān)的習(xí)題，并不只是追求一種簡單的解題技巧，不只是為了純粹地提高應(yīng)試的水平，而是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到在數(shù)學(xué)問題的解決中，理解問題并揭示問題的本質(zhì)，并迅速地判斷出問題可能的結(jié)果.因此，我們絕對不能把它當(dāng)成唯一的依靠，在掌握它的同時，更要嘗試其他的方法，多方位地打開試題，只有這樣，智慧之花才能開得更加燦爛．

三、思考

聽了W老師的課讓筆者受益良多，筆者也頗有些感悟：

1.所有試題均源于課本，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)特別是在高三復(fù)習(xí)時一定要回歸課本．老師一定要指導(dǎo)學(xué)生用好書本，夯實基礎(chǔ)，才能幫助學(xué)生構(gòu)建一張牢固的知識網(wǎng)絡(luò)．當(dāng)然，這里需要認(rèn)識回歸課本的含義，什么是回歸課本，回歸課本并不是簡單地重現(xiàn)教材中的知識，而是在此基礎(chǔ)上形成認(rèn)識上的飛躍,要充分發(fā)揮課本中例、習(xí)題的功能，并對這些例題進行探究性復(fù)習(xí)．只有這樣學(xué)生掌握的知識才能得以螺旋式上升．

2.作為教師要具有語言魅力，語言必須要做到嚴(yán)謹(jǐn)簡練，并且要具有親和力，對學(xué)生要多表揚多鼓勵，拉近與學(xué)生的距離．

3．要為學(xué)生創(chuàng)造自主探索的機會，使學(xué)生主動地去構(gòu)建知識，而不是被動地去吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論．就像這次學(xué)生探索“極化恒等式”一樣，只有親自實踐，才能讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，感知知識的本來面目，讓學(xué)生在“再創(chuàng)造”中實現(xiàn)知識、情感、價值觀的充分發(fā)展．

4．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該要有精準(zhǔn)的點播，精準(zhǔn)的啟發(fā)，在此過程中教師在必要的時候放手讓學(xué)生討論，就可以抵達(dá)實效教學(xué)的境界．這里所強調(diào)的實效教學(xué)，就是指教師要對每一個教學(xué)內(nèi)容進行認(rèn)真的設(shè)計并對教學(xué)過程進行認(rèn)真的組織，尤其需要重視的是，例題的選擇一定要高度重視代表性，只有具有了代表性，才具有了典型性，才能發(fā)揮以點帶面的作用．而在講授的時候，則需要重視橫向與縱向的聯(lián)系，以確保學(xué)生在問題解決的過程中思維能夠得到有效的培養(yǎng)，能夠有效地將碎片化的知識組織成知識網(wǎng)絡(luò)，從而提高知識在學(xué)生大腦中的有效組織程度．

5．課堂教學(xué)不追求數(shù)量，堅持質(zhì)量為上．在上課的時候經(jīng)常會出現(xiàn)例題來不及講的情況，為了追求例題的數(shù)量，往往會把有些例題草草了之，這樣的講解只能停留在知識的表層，學(xué)生也不可能真正地掌握知識．所以，當(dāng)我們遇到一些典型問題時一定要深入探究，全方位地進行思考，努力做到會一題通一類．

1.鮑建生，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1）.

2.鄭毓信.變式理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006（1）.