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      利用向量求解二面角大小

      2016-12-07 14:56:22鄧虹
      試題與研究·教學(xué)論壇 2016年34期
      關(guān)鍵詞:面角平面角二面角

      鄧虹

      目前,立體幾何中學(xué)習(xí)的空間角有線線角、線面角、面面角,其中面面角又叫二面角,是高中立體幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn),常常出現(xiàn)在高考的解答題中,難度屬于中等題。它的解法可以使用傳統(tǒng)的幾何方法(如定義法、三垂線定理法、垂面法、射影法等),但是這些解法在思維上難度都太大,往往思路明確,算無結(jié)果。

      我們知道,向量是連接幾何與代數(shù)的橋梁,我們可以利用向量的方法把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,利用代數(shù)運(yùn)算算出最終結(jié)果。這樣減少了思維按照一類方法計(jì)算下去,很多學(xué)生特別是中等生容易接受。

      下面我將從空間向量方法的角度,談?wù)勗鯓永每臻g向量求二面角。

      二面角的文字語言:在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

      二面角圖形語言:

      二面角符號語言:α,β是兩個(gè)半平面,m,n是兩條直線,α∩β=l,m?奐α,n?奐β,m⊥l,n⊥l,且m∩l=D,n∩l=D,那么角θ叫α-l-β二面角,也是二面角的平面角。

      綜上求二面角,就是求α-l-β二面角的平面角。

      用向量法求二面角的步驟:

      (1)建立空間直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)點(diǎn);

      (2)求平面α的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量為n2=(x2,y2,z2);

      (3)求n1和n2的法向量的夾角的余弦值

      (4)根據(jù)題目觀察,結(jié)合cos的值得出二面角θ的大小。

      在這里需要注意的是:

      因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄康姆较騿栴}如圖1和圖2,容易知道在圖1中二面角θ的大小與Φ互補(bǔ),在圖2中二面角θ的大小與Φ相等。

      往往在實(shí)際解決問題時(shí),題目會讓你求出銳二面角的角度或者余弦值。在實(shí)際中我們是要學(xué)生學(xué)會求二面角的方法,對于是鈍角還是銳角也沒有嚴(yán)格的要求。

      下面我將用高考試題把求二面角的步驟應(yīng)用一遍:

      例題:如圖三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C。

      (Ⅰ)證明:AC=AB1;

      (Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

      解:(Ⅰ)略

      解決本題的關(guān)鍵主要有以下幾點(diǎn):一是要建立空間直角坐標(biāo)系,盡量把盡可能多的點(diǎn)放到坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上,這樣有利于找點(diǎn)和后面的計(jì)算;二是法向量是非零向量,它是用不定方程組求出來的,解有無數(shù)組,找出最簡單的一組就好,一般是令x=1;三是二面角的大小有時(shí)是鈍角,有時(shí)是銳角,這要根據(jù)具體的題目來分析,觀察法也是個(gè)好方法。

      求解二面角大小是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型,而用向量的方法求解也是我們常用的方法,要求學(xué)生有很強(qiáng)的計(jì)算能力和空間想象能力,平時(shí)教師就應(yīng)該要求學(xué)生把計(jì)算進(jìn)行到底,要用快速的計(jì)算來彌補(bǔ)思維的不足。

      (作者單位:福建省沙縣金沙高級中學(xué))

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