由特征值和順序主子陣構(gòu)造廣義Jacobi矩陣的逆特征值問題*

徐秀斌, 秦 立

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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由特征值和順序主子陣構(gòu)造廣義Jacobi矩陣的逆特征值問題*

徐秀斌, 秦 立

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

廣義Jacobi矩陣；特征值；順序主子陣；逆特征值問題

0 引 言

本文討論的廣義Jacobi矩陣Gp,q是指具有如下形狀的矩陣:

(1)

若所有的bi,ci為實數(shù),則當(dāng)bi=ci>0時,Gp,q是Jacobi矩陣[1];當(dāng)bi=ci<0時,Gp,q是負(fù)Jacobi矩陣[2-3]，當(dāng)bi=-ci>0時,Gp,q是廣義反Jacobi矩陣[4].

逆特征值問題在粒子物理的核光譜學(xué)、結(jié)構(gòu)設(shè)計、振動反問題、Sturm-Liouville反問題和數(shù)學(xué)物理反問題的離散化及結(jié)構(gòu)動力模型的校正等問題中有廣泛的應(yīng)用.這一方面的研究近年來比較活躍,其中之一是對問題DD(problemdoubledimension)的研究[1-3,5-7].

文獻(xiàn)[1]證明了:若問題DD的解存在,則其解必唯一;文獻(xiàn)[8]提供了一個求解問題DD的算法,但是這種算法需要計算矩陣的所有特征值與其所屬的特征向量,這是相當(dāng)費(fèi)時的;文獻(xiàn)[9]給出了問題DD有解的充分必要條件,但其結(jié)果及證明都比較復(fù)雜;文獻(xiàn)[10]給出了問題DD有解的另一個充分必要條件,并且提供了一個求解問題DD的算法,這個算法不用求解矩陣的所有特征值與其所屬的特征向量;文獻(xiàn)[4]給出了由特征值和順序主子陣構(gòu)造廣義反Jacobi矩陣的逆特征值問題的充分必要條件.

1 主要結(jié)果

類似于文獻(xiàn)[11]中有關(guān)結(jié)果的證明,可證得引理1～引理4.

引理1

引理2 若1≤k≤2n-1,則

(2)

若k≥2n,則

(3)

式(3)中，E2k,E2k+1分別為其變量的2k,2k+1次齊次多項式.

由推論1和數(shù)學(xué)歸納法可得

引理4 對k=1,2,…,2n-1,有

(4)

c(2k+1)1=f2k+1+(b1b2…bk)(bmkc(k)k+ak+1c(k)k+1).

(5)

式(4)和式(5)中:

(6)

f2k+1=a1c(2k)1+∑k-1j=1(b1b2…bj)(bmjc(2k-j)j+aj+1c(2k-j)j+1).

(7)

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1 問題GDD有解的充分必要條件是

(8)

式(8)中,T1,T2,…,T2n由下式給出:

(9)

當(dāng)問題GDD有解時,解由下式給出:當(dāng)k=n,n+1,…,2n-1時,

(10)

ak+1=c(2k+1)1-f2k+1-(b1b2…bk-1)(bm+1k)c(k)k(b1b2…bk-1bk)m+1.

(11)

式(10)和式(11)中: f2k, f2k+1分別由式(6)和式(7)給出.

由Cayley-Hamilton定理知,

即

(12)

必要性證畢.

則由式(9)得

(13)

(14)

綜上得(h(G2n))j·=0,即h(G2n)的第j行都為0.因為j=1,2,…,2n,所以h(G2n)=0,即h(G2n)為所要求的G2n的零化多項式,而零化多項式必定會被其最小多項式整除.廣義Jacobi矩陣G2n的最小多項式就是它的特征多項式,且它的最高次為2n,而h(G2n)的最高次也恰為2n,因此h(λ)即為G2n的特征多項式.

根據(jù)bk,ak+1的構(gòu)造,可得Gn是G2n的順序主子陣.

注1 當(dāng)問題GDD有解時,其解必唯一.

注2 當(dāng)m=1,a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn-1為實數(shù)且所有的bi>0時,定理1即為文獻(xiàn)[11]中的主要結(jié)果.

2 數(shù)值算法

用以下算法求解問題GDD:

步驟2:由下式計算G2n的特征多項式的各項系數(shù)T1,T2,…,T2n:

令k=n.

步驟3:根據(jù)式(10),可計算得bk.根據(jù)引理2及式(8),可計算得下一步所需要的數(shù):

步驟4:根據(jù)式(11),可計算得ak+1.根據(jù)引理2及式(8),可計算得下一步所需要的數(shù):

步驟5:k←k+1,若k≤2n-1,則轉(zhuǎn)到步驟3,否則終止.

3 數(shù)值例子

例1 給定

求

由h(λ)=λ4+(-1-4i)λ3+(-5+7i)λ2+(11+i)λ+(-2-5i)得

根據(jù)以上算法可得

經(jīng)檢驗,該矩陣的特征值就是給定的值.

4 結(jié) 語

[1]Hochstadt H.On the construction of a Jacobi matrix from mixed given data[J].Linear Algebra Appl,1979,28(28):113-115.

[2]Wei Ying.A Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with mixed data[J].Linear Algebra Appl,2013,439(10):2774-2783.

[3]Wei Ying.Inverse eigenvalue problem of Jacobi matrix with mixed data[J].Linear Algebra Appl,2015,466(10):102-116.

[4]彭振赟,張磊,胡錫炎.由譜數(shù)據(jù)和主子矩陣構(gòu)造廣義反Jacobi矩陣[J].湖南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1998,25(5):10-13.

[5]Wu Xiaoqian,Jiang Erxiong.A new algorithm on the inverse eigenvalue problem for double dimensional Jacobi matrices[J].Linear Algebra Appl,2012,437(7):1760-1770.

[6]Wu Xiaoqian.A divide and conquer algorithm on the double dimensional inverse eigenvalue problem for Jacobi matrices[J].Appl Math Comput,2012,219(8):3840-3846.

[7]Wei Ying,Dai Hua.An inverse eigenvalue problem for Jacobi matrix[J].Appl Math Comput,2015,251:633-642.

[8]Boley D,Golub G H.A survey of matrix inverse eigenvalue problems[J].Inverse Problems,1987,3(4):595-622.

[9]Dai Hua.On the construction of a Jacobi matrix from its spectrum and a submatrix[J].Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics:English Edition,1994,11(1):55-59.

[10]Xu Shufang.On the Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with mixed given data[J].SIAM J Matrix Anal Appl,1996,17(3):632-639.

[11]胡錫炎,張磊,黃賢通.由譜數(shù)據(jù)和主子陣構(gòu)造Jacobi矩陣[J].數(shù)值計算與計算機(jī)應(yīng)用,1997,18(2):143-150.

(責(zé)任編輯 陶立方)

On the generalized Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with given eigenvalues and the leading principal submatrix

XU Xiubin, QIN Li

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The following problem was discussed: constructed a 2n×2ngeneralized Jacobi matrix such that its eigenvalues were the given complex valuesλ1,λ2,…,λ2nand its leadingn×nprincipal submatrix was the given generalized Jacobi matrix. A sufficient and necessary condition for the solvability of the problem and an algorithm for solving this problem were obtained, a numerical example was presented to illustrate the algorithm.

generalized Jacobi matrix; eigenvalue; leading principal submatrix; inverse eigenvalue problem

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.04.001

2016-05-25；

2016-06-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(61170109)

徐秀斌(1962-)，男，浙江蘭溪人，教授，博士.研究方向：數(shù)值逼近.

O241.6

A

1001-5051(2016)04-0361-06