在解三角形問題中不可小視的簡單性質(zhì)定理和解法細節(jié)

黨泉元

有關(guān)解三角形的問題，是近幾年高考的熱點，應(yīng)說是一道基礎(chǔ)題，但好多同學(xué)得分不高.就其原因是忽視了簡單而重要的性質(zhì)的應(yīng)用，比如平面幾何中與三角形有關(guān)的性質(zhì)定理不可小視，應(yīng)該予以重視.本文就是對這一問題進行了簡單分析和說明.

如圖1，在△ABC中，A，B，C分別是邊a，b，c的對角，AD是角A的角平分線，有下面的簡單而又重要的定理及性質(zhì)：

性質(zhì)1A+（B+C）=π； （A+B）+C=π；（A+C）+B=π.

評注可把三個角看成兩個角，看起來很簡單，但這一變形作用很大，不可小視.

由性質(zhì)1及由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得到下面的重要性質(zhì)：

性質(zhì)2若兩角互補，則正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，正切值互為相反數(shù).即

sinA=sin（B+C）；sinC=sin（A+B）；sinB=sin（A+C）；cosA=-cos（B+C）；cosC=-cos（A+B）；cosB=-cos（A+C）.

評注在高考當中我們可以把它當成常見而重要的公式直接用，不僅可避免走很多彎路，還可以節(jié)省時間.

性質(zhì)3角平分線性質(zhì)定理：ABAC=BDDC.

性質(zhì)4三角形面積公式：

S=12bcsinA=12absinC=12acsinB.

例1（2014全國文科Ⅱ卷17題）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（Ⅰ） 求C和BD；

（Ⅱ） 求四邊形ABCD的面積.

解（Ⅰ）如圖2，（畫圖可以使問題更直觀形象，讓學(xué)生養(yǎng)成隨時動手畫圖的習(xí)慣，認識圖形的重要性）

由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA，①

BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC.②

又因為cosC=-cosA（性質(zhì)2），

由①②得cosC=12，故C=60°.

評注解決這一問題的關(guān)鍵是找到互補兩角A和C的橋梁BD把A和C聯(lián)系起來，在這里必須畫出圖形連接BD，同時利用好兩角互補余弦值互為相反數(shù)這一既簡單又常用的性質(zhì)，不可小視這兩個條件，好多同學(xué)忽視了這兩個條件從而無從下手，因此沒得分.

（Ⅱ）由cosC=12可得cosA=-12，

再由平方關(guān)系可得sinA和sinC.

所以S=12AB·DA·sinA+12BC·CD·sinC=23（性質(zhì)4）.

評注解決這一問，只要對平方關(guān)系sin2α+cos2α=1和三角形面積公式熟悉即可.

例2（2015年全國文科Ⅱ卷17題）△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B.

解如圖3所示，因為AD平分∠BAC，所以可設(shè)∠BAD=∠BAC=α.

評注這樣設(shè)，結(jié)合圖形可以在直觀上簡化問題.

（Ⅰ）解法一由正弦定理得

BDsinα=ADsinB①，CDsinα=ADsinC②.

由②式比①式得

sinBsinC=CDBD=12.

評注此處可以用多種方法化簡，應(yīng)仔細觀察并思考可知兩式相比更妙，平時要多訓(xùn)練習(xí)，同時要注意AD和α是找到sinB和sinC聯(lián)系的橋梁，牽線搭橋的作用，好多同學(xué)無從下手是因為沒找到聯(lián)系.

解法二

如圖3，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c （這樣設(shè)，結(jié)合圖形同樣可以在直觀上簡化問題使表示更簡潔）.

由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得bc=CDBD=12.

又由正弦定理可知

sinBsinC=bc=12.

評注此法解決的前提是知道三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)以及正弦定理，對能力要求較強.

（Ⅱ）解法一

sinB=sin（60°+C）（性質(zhì)2），

又sinBsinC=12，化簡可得cosC=0.

評注此處用到∠B和（∠A +∠C）互補這一隱含條件，還必須用到（性質(zhì)2）的結(jié)論，這是解題的關(guān)鍵，否則無法往下進行.

又∠C是三角形的內(nèi)角，所以∠C=90°，

故∠B=30°.

解法二

sinC=sin（60°+B） （性質(zhì)2），

化簡可得

sinC=32cosB+12sinB.

又sinBsinC=12，

所以 2sinB=32cosB+12sinB.

化簡得tanB=33，所以∠B=30°.

評注此法思路同“法一”，區(qū)別是直接得出∠B，所以∠C=90°.

此處還可選擇多種方法，但仔細思考觀察可發(fā)現(xiàn)三邊恰好構(gòu)成直角三角形，從而使問題簡化，故∠B=30°.

上述解法對知識的綜合能力以及知識的積累要求較強，要靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論使問題更簡單.