奇異變換半群Singn的深度

陳輝蓉，胡華碧，龍偉峰

(1.貴州醫(yī)科大學(xué)生物工程系，貴陽 550025；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，貴陽 550004)

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奇異變換半群Singn的深度

陳輝蓉1，胡華碧1，龍偉峰2

(1.貴州醫(yī)科大學(xué)生物工程系，貴陽 550025；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，貴陽 550004)

部分橫截集；深度；奇異變換半群

引 言

設(shè)[n]={1,2,…,n}并賦予自然序，Tn和Sn分別是[n]上的全變換半群和對(duì)稱群，稱半群Singn=TnSn為[n]上的奇異變換半群[1]。奇異變換半群Singn中的 Green關(guān)系刻劃[2]：

αLβ?im(α)=im(β)

αRβ?ker(α)=ker(β)

本文未定義的術(shù)語及記法見文獻(xiàn)[3]。

1 準(zhǔn)備工作

定義1 設(shè)A是集合[n]的一個(gè)非空子集，α∈Singn，若對(duì)任意x,y∈A,且x≠y，有xα≠yα，則稱A是α在集合[n]上的部分橫截集，簡稱A是α的部分橫截集[5]。

引理2 設(shè)2≤r≤n-1,則Jr·Jn-1?Jr∪Jr-1。

因此

αβ∈Jr-1?Jr∪Jr-1

綜上所述，由α,β的任意性可得，Jr·Jn-1?Jr∪Jr-1。

引理3 設(shè)1≤s≤n-2,則Js?Js+1·Jn-1。

證明 任取

則β∈Js+1,γ∈Jn-1,且α=βγ，再由α的任意性可得，Js?Js+1·Jn-1。

引理4 設(shè)1≤r≤n-2,則Jr?(Jn-1)n-r。

證明 由引理3可得Js?Js+1·Jn-1，1≤s≤n-2,從而

Jr?Jr+1·Jn-1?(Jr+2·Jn-1)·Jn-1

?(Jr+3·Jn-1)·(Jn-1)2?…

?(Jn-2·Jn-1)·(Jn-1)n-r-3

?(Jn-1·Jn-1)·(Jn-1)n-r-2=(Jn-1)n-r

引理5 設(shè)1≤s≤n-1,則(Jn-1)s?Jn-1∪Jn-2∪…∪Jn-s。

證明 對(duì)s用歸納法證明。

(1)當(dāng)s=1時(shí)，顯然有Jn-1?Jn-1。

(2)假設(shè)s=k時(shí)，結(jié)論成立，即

(Jn-1)k?Jn-1∪Jn-2∪…∪Jn-k

當(dāng)s=k+1時(shí)，由引理2及歸納假設(shè)可得，

(Jn-1)k+1=(Jn-1)k·Jn-1?(Jn-1∪Jn-2

∪…∪Jn-k)·Jn-1=(Jn-1·Jn-1)∪

(Jn-2·Jn-1)∪…∪(Jn-k·Jn-1)?

(Jn-1∪Jn-2)∪(Jn-2∪Jn-3)…

∪(Jn-k∪Jn-k-1)=Jn-1∪Jn-2∪…

∪Jn-k∪Jn-k-1

綜上所述，引理5成立。

由引理5，容易得到如下推論。

推論1 設(shè)1≤s≤n-1,則

引理6 設(shè)n≥3, 則

(J1∪J2∪…∪Jn-2)∪Jn-1

?[(Jn-1)n-1∪(Jn-1)n-2…∪(Jn-1)2]∪Jn-1=

2 主要結(jié)果及證明

定理1 半群Singn的全Jn-1-深度為n-1。

∪Jn-s?Jn-1∪Jn-2∪

∪J2≠Singn

斷言：存在m∈N，使Bm=φ，且當(dāng)l≥m時(shí)，Bl=φ。

[U]Ud≠[U]

進(jìn)而，d是滿足條件[U]=U[k]的最小自然數(shù)，因此半群[U]的全U-深度為d。

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The Depth of Singular Transformation Semigroup Singn

CHENHuirong1,HUHuabi1,LONGWeifeng2

(1.Department of Bioengineering, Guizhou Medical University, Guiyang 550025, China; 2.School of Mathematics and Computing, Guizhou Normal University, Guiyang 550004, China)

partial transversal set; depth; singular transformation semigroup

2015-09-06

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(KLS[2013]01)

陳輝蓉(1962-)，女，貴州仁懷人，副教授，主要從事半群理論方面的研究，(E-mail)chenghuirong1962@163.com

1673-1549(2016)01-0093-03

10.11863/j.suse.2016.01.19

O152.7

A