函數(shù)能力型問題的類型及其解題策略

王曉宇

摘要：這里介紹的函數(shù)能力型問題是指學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，探索數(shù)學(xué)問題的能力，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。這些能力能體現(xiàn)對問題的領(lǐng)悟過程，基于實(shí)踐，筆者總結(jié)出了相應(yīng)的解決問題的應(yīng)對策略。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)；探索；創(chuàng)新；能力；策略

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1992-7711（2016）20-059-2一、學(xué)習(xí)能力問題

學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力是指通過閱讀、理解以前沒有學(xué)過的新的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括新的概念、定理、公式、法則和方法，并能應(yīng)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算和推理，解決有關(guān)問題的能力。這類問題的解題策略是先閱讀題目，理解所給的新定義、新概念、新運(yùn)算，在新的情景中的意義，然后類比所學(xué)知識(shí)，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)解決。

例1對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時(shí)滿足：①f（x）在區(qū)間[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”。

（1）求證：函數(shù)y=g（x）=3-5x不存在“和諧區(qū)間”；

（2）已知函數(shù)y=（a2+a）x-1a2x（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出n-m的最大值；

解：（1）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，因?yàn)閤≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]（0，+∞），故函數(shù)y=g（x）=3-5x在[m，n]上單調(diào)遞增。若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則g（m）=m，

g（n）=n.故m，n是方程3-5x=x的同號的相異實(shí)數(shù)根。因?yàn)閤2-3x+5=0無實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=g（x）=3-5x不存在“和諧區(qū)間”。

（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，因?yàn)閤≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]（0，+∞），故函數(shù)y=（a2+a）x-1a2x=a+1a-1a2x在[m，n]上單調(diào)遞增。若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則g（m）=m，

g（n）=n.故m，n是方程a+1a-1a2x=x，即a2x2-（a2+a）x+1=0的同號的相異實(shí)數(shù)根，因?yàn)閙n=1a2>0，所以m，n同號，只須Δ=a2（a+3）（a-1）>0，即a>1或a<-3時(shí)，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]，因?yàn)閚-m=（m+n）2-4mn=-3（1a-13）2+43，故當(dāng)a=3時(shí)，n-m取得最大值233。

說明：對“和諧區(qū)間”的領(lǐng)悟是解題的關(guān)鍵。在（1）的體驗(yàn)后，（2）又作了鋪墊，并借助“和諧區(qū)間”解決問題。這里是將“和諧區(qū)間”轉(zhuǎn)化為方程組g（m）=m，

g（n）=n.問題解決。學(xué)習(xí)能力型問題它的特點(diǎn)是通過閱讀理解，將“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)解決相關(guān)問題。

二、探究能力問題

數(shù)學(xué)中的探究問題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的問題。由于這類問題的知識(shí)覆蓋面大，綜合性強(qiáng)，方法靈活，再加上題意新穎，要求考生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較高的數(shù)學(xué)能力。解決這類問題需要運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，通過觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對問題進(jìn)行探索和研究。

例2對于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得h（x）=a·f1（x）+b·f2（x），那么h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)。

（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)？并說明理由。

第一組：f1（x）=lgx10，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx；

第二組：f1（x）=x2+x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；

（2）設(shè)f1（x）=log2x，f2（x）=log12x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）。若不等式3h2（x）+2h（x）+t<0在[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解：（1）①由題意，得algx10+blg10x=lgx，即（a+b）lgx+（-a+b）=lgx，所以a+b=1，

-a+b=0.解得a=b=12，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函數(shù)。

②設(shè)a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2-x+1，則a+b=1，

a+b=-1，

b=1.該方程組無解，以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函數(shù)。

（2）h（x）=2f1（x）+f2（x）=2log2x+log12x=log2x，因?yàn)椴坏仁?h2（x）+2h（x）+t<0在x∈[2，4]上有解，所以t<-3h2（x）-2h（x）=-（log2x）2-2log2x在x∈[2，4]上有解。設(shè)s=log2x，則s∈[1，2]。設(shè)y=-（log2x）2-2log2x=-3s2-2，則當(dāng)s=1時(shí)，ymax=-5，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是t∈（-∞，-5）。

說明：數(shù)學(xué)探究題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，解題過程較復(fù)雜，技巧性強(qiáng)，因此，要求我們要合情合理地分析，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合，更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。解此類問題的方法是：分析問題的特征——假設(shè)存在——演繹推理——得出

結(jié)論。

三、創(chuàng)新能力問題

數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力一般是指對已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法進(jìn)行推廣拓展，對未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域通過探索得到新的結(jié)果的能力。常見類型有類比分析型，拓展推廣型和設(shè)計(jì)構(gòu)造型。

例3已知函數(shù)y=x+ax有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在（0，a]上是減函數(shù)，在[a，+∞）上是增函數(shù)。

（1）如果函數(shù)y=x+2bx（x>0）的值域?yàn)閇6，+∞），求b的值；（2）研究函數(shù)y=x2+cx2（c>0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)y=x+ax和y=x2+ax2（a>0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例。研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）

解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)y=x+2bx（x>0）的最小值是22b，則22b=6，所以b=log29。

（2）設(shè)0y1，函數(shù)y=x2+cx2在[4c，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)0

（3）可以把函數(shù)推廣為y=xn+axn（a>0），其中n是正整數(shù)。

①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+axn在（0，2na]上是減函數(shù)，在[2na，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-2na]上是增函數(shù)，在[-2na，0）上是減函數(shù)；

②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xn+axn在（0，2na]上是減函數(shù)，在[2na，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-2na]上是減函數(shù)，在[-2na，0）上是增函數(shù)。

說明：函數(shù)y=xn+axn（a>0），其中n是正整數(shù)，顯然當(dāng)n是偶數(shù)與奇數(shù)時(shí)其性質(zhì)是不相同的，因此在探索“類似”性質(zhì)時(shí)，應(yīng)該考慮其不同之處，由“不同之處”適當(dāng)“修正”對應(yīng)的結(jié)果。利用類比推理可以推測未知，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，尋找解決問題的思路和方法。因此在解決某些問題時(shí)，若能合理地運(yùn)用類比推理，可以幫助我們解決相關(guān)問題。而應(yīng)用推廣拓展的手段可以發(fā)現(xiàn)新命題。也就是通過擴(kuò)大命題中有關(guān)對象的范圍，或擴(kuò)大命題結(jié)論的范圍來得到新的定理、公式或性質(zhì)。

能力型問題旨在考查學(xué)生的閱讀、分析、歸納、概括和自學(xué)能力。因此在解題時(shí)，必須注意：閱讀定義、定理和公式時(shí)要理解其中的因果關(guān)系；閱讀解題過程時(shí)，在看懂過程的同時(shí)要注重內(nèi)蘊(yùn)的數(shù)學(xué)思想方法；在方法模擬問題中，要注意遷移發(fā)展，探索創(chuàng)新。