畫(huà)好圖 探出路 定相似

胡華春

相似三角形在中考中占有十分重要的地位，現(xiàn)就中考中常見(jiàn)的與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題和同學(xué)們一起來(lái)研究解題策略與方法.

問(wèn)題1 （改編自蘇州市2007年中考第29題）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）、D（1，-3）和E（6，7），如圖1.連接AE、BE、BD.在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

這是典型的不定三角形與定三角形的相似問(wèn)題，因此，我們要嘗試尋找△AEB與△PBD之間是否有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

△AEB中，由三頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出三條邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E做EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2，AB=5，AE=[72]，BE=[53]，同時(shí)可得∠EAB=45°.

△PBD中，不妨先假定一個(gè)點(diǎn)P，如圖2.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)邊BD 和∠PBD是不變的，其他的邊和角都隨點(diǎn)P的位置的改變而改變.此時(shí)，動(dòng)中取靜，先計(jì)算BD和∠PBD，以靜制動(dòng).過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，可得BD=[32]，∠PBD=45°.

從而∠EAB=∠PBD=45°，△PBD中的定角∠PBD為45°，與△AEB中的∠EAB成為對(duì)應(yīng)角.

根據(jù)相似三角形的判定方法，已知一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等時(shí)，再尋找另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等或者尋找?jiàn)A這組對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.要解決點(diǎn)P的坐標(biāo)，即要解決與點(diǎn)P有關(guān)的線段的長(zhǎng).因此，選擇夾∠EAB和∠PBD的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)使這兩個(gè)三角形相似.但是線段BP的長(zhǎng)度是可以改變的，也就是夾這兩個(gè)角的兩組邊對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，需要分兩種情況：

[PBBD]=[ABAE]或[PBBD]=[AEAB].

代入相關(guān)數(shù)據(jù)，可得PB=[157]或[425]，從而點(diǎn)P[137，0]或[-225，0].

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠PBD=135°，顯然△PBD中不可能有45°角，從而與△AEB不可能相似.

問(wèn)題2 （改編自蘇州市2012年中考第29題）如圖3，平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（b，0），C[0，b4]，b>2 ，請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題是三個(gè)不定三角形之間的兩兩相似問(wèn)題，可以按照問(wèn)題1的步驟去思考，看是否能確定某兩個(gè)三角形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，盡可能找出隱含條件出來(lái).先在第一象限任意取一點(diǎn)Q，連接CQ、OQ、AQ、BQ，如圖4，容易發(fā)現(xiàn)△QCO和△QOA有公共邊，△QOA和△QAB不僅有公共邊，而且有一條邊在同一直線上.∠QAB是△QOA的外角，由三角形的外角大于與之不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角可得，∠QAB>∠OQA，∠QAB>∠QOA.而要△QOA和△QAB相似，必須這兩個(gè)三角形中有對(duì)應(yīng)相等的角，則有∠QAB=∠QAO=90°，從而只需夾這兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)就是線段AQ的長(zhǎng).

由于點(diǎn)Q的位置不確定，△QOA和△QAB中另外的兩對(duì)角的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以[AQAO]=[ABAQ]或[AQAO]=[AQAB]，代入數(shù)據(jù)，可得AQ2=b-1或b-2，顯然b-2應(yīng)舍去.即當(dāng)△QOA∽△BQA時(shí)符合題意，可得∠OQB=90°，如圖4.

△QCO和△QOA要相似，則△QCO必為直角三角形，又∠COQ不可能為90°，故∠OCQ=∠QAO=90°或∠CQO=∠QAO=90°.

當(dāng)∠OCQ=∠QAO=90°時(shí)，如圖4，△QCO≌△OAQ，從而AQ=OC=[b4]，得[b4][2]=b-1，b=8±[43]，顯然，AQ=[2+3].

當(dāng) ∠CQO=∠QAO=90°時(shí)，又∠OQB=90°，得點(diǎn)C、Q、B在一直線上，如圖5.

此時(shí)，圖5中的所有直角三角形均兩兩相似，從而由△COB∽△OAQ得，[OCOA]=[OBAQ]，得[b4]=[bAQ]，AQ=4.

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，[2+3]）或（1，4）時(shí)滿足題意.

上述兩個(gè)問(wèn)題的解決關(guān)鍵點(diǎn)是尋找兩個(gè)三角形中的一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等這一隱含條件.而尋找這個(gè)隱含條件的方法就是結(jié)合草圖，計(jì)算相關(guān)圖形中的邊角或運(yùn)用邊角關(guān)系排除不相等的角，從而確定一個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).然后，進(jìn)行分類(lèi)討論，列出與所求相關(guān)的比例式，即可求解.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）