直擊中考——二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)在中考中的考點(diǎn)很多，經(jīng)常以拉分題形式出現(xiàn)在卷末.下面以今年的中考題為例，讓我們一起來(lái)看看中考從哪些角度考查這類題型.

一、二次函數(shù)的幾何型應(yīng)用

例1 （2016·江蘇泰州）二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，若線段AB在x軸上，且AB為[23]個(gè)單位長(zhǎng)度，以AB為邊作等邊△ABC，使點(diǎn)C落在該函數(shù)y軸右

【考點(diǎn)】等邊三角形、二次函數(shù).

【分析】由題意，點(diǎn)C滿足兩個(gè)條件，一是△ABC是等邊三角形，二是點(diǎn)C在函數(shù)y軸右側(cè)的圖像上.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，a2-2a-3），過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線段CD，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD=[3]，可得CD=3，列出關(guān)于a的方程，求出a的值，得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，a2-2a-3），

∴CD=[a2-2a-3].

∵△ABC是等邊三角形且AB=[23]，

∴AD=[3]，∴CD=3，

∴[a2-2a-3]=3.

∴a2-2a-3=3，得出a=1±[7].

圖2

或a2-2a-3=-3，得出a=0或a=2.

∵a>0，∴a=1+[7]或2.

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1+[7]，3）或（2，-3）.

【總結(jié)】題中的點(diǎn)C滿足兩個(gè)條件，若先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)等邊三角形的線段關(guān)系得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中，此種做法顯得繁瑣且方程難以解出，因此解題時(shí)如若遇到這種情況，不妨換種思路，先利用點(diǎn)C在拋物線上的條件設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合等邊三角形的知識(shí)列出方程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”.

二、二次函數(shù)的代數(shù)型應(yīng)用

例2 （2016·江蘇揚(yáng)州）某電商銷售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用a元（a>0）.未來(lái)30天，這款時(shí)裝將開展“每天降價(jià)1元”的夏令促銷活動(dòng)，即從第1天起每天的單價(jià)均比前一天降1元.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝單價(jià)每降1元，每天銷量增加4件.在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤(rùn)隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，a的取值范圍應(yīng)為 .

【考點(diǎn)】利潤(rùn)問(wèn)題、二次函數(shù).

【分析】根據(jù)題意可以先列出第t天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤(rùn)關(guān)于天數(shù)t的函數(shù)，再根據(jù)利潤(rùn)隨天數(shù)的增大而增大的條件，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、天數(shù)t的范圍，列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍.

解：由題意，第t天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后一件時(shí)裝的利潤(rùn)為（70-a-t）元，第t天時(shí)裝的銷量為（20+4t）件，設(shè)第t天獲得的利潤(rùn)為y元，則y=（70-a-t）（20+4t）=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

∵此二次函數(shù)圖像——拋物線的開口向下，且當(dāng)0≤t≤30時(shí)，y隨t的增大而增大，∴拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)大于或等于30，

∴-[260-4a-8]≥30，解得：a≤5.

∵a>0，∴a的取值范圍是：0

【總結(jié)】此題有兩大關(guān)鍵，一是正確列出利潤(rùn)y關(guān)于天數(shù)t的函數(shù)，二是結(jié)合圖像及性質(zhì)確定拋物線對(duì)稱軸的范圍.突破此兩大難點(diǎn)，需要對(duì)知識(shí)點(diǎn)的熟練掌握和一定的分析問(wèn)題的能力.

三、二次函數(shù)的綜合型應(yīng)用

例3 （2016·江蘇南京）圖中是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測(cè)P處，仰角分別為α，β，且tanα=[12]，tanβ=[32]，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）水面上升1m，水面寬多少？（[2]取1.41，結(jié)果精確到0.1m）

【考點(diǎn)】三角函數(shù)、二次函數(shù).

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的意義，過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線段PB，設(shè)PB為x，用x表示OB、AB，由OA=4，列出方程求出x，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、P，求出拋物線的解析式，當(dāng)縱坐標(biāo)為1時(shí)，求出相應(yīng)的兩個(gè)橫坐標(biāo)，從而求出水面的寬度.

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OA，垂足為B.

設(shè)PB=x，在Rt△POB中，∵tanα=[12]，∴[PBOB]=[12]，∴OB=2x，同理：AB=[23]x，

∵OA=4，∴2x+[23]x=4，可得x=[32]，

∴OB=3，PB=[32]，點(diǎn)P的坐標(biāo)為[3，32].

（2）設(shè)此拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2+bx.由函數(shù)y=ax2+bx 圖像經(jīng)過(guò)（4，0）、[3，32]可得[16a+4b=0，9a+3b=32，]解得[a=-12，b=2.]

∴拋物線的解析式為y=-[12]x2+2x.

當(dāng)水面上升1m 時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為1，即-[12]x2+2x=1，解得x1=2-[2]，x2=2+[2].

∴x2-x1=2+[2]-（2-[2]）=2[2]≈2.8.

答：水面寬度約為2.8m.

【總結(jié)】本題結(jié)合拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)解析式的特征，運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)求解，當(dāng)然也可以用交點(diǎn)式（雙根式）或一般式求解.其次把實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題，把求水面的寬度轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)與距離之間的關(guān)系求出水面的寬度.此類題目若能順利轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解過(guò)程一般不會(huì)太難.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）