求導數(shù)的方法的研究

【摘 要】本文對按定義求導的方法、利用導數(shù)的幾何意義求導的方法、利用函數(shù)的和差積商的求導法則、利用反函數(shù)的求導法則、利用復合函數(shù)的求導法則、隱函數(shù)的求導方法參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法、利用微分的求導方法、高階導數(shù)的求導方法這九個求導的基本方法進行了歸納總結(jié)，可以對我們求函數(shù)的導數(shù)起到一定的啟發(fā)作用。

【關(guān)鍵詞】導數(shù);求導的方法

微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念之一是導數(shù)，因此研究求導數(shù)的方法就顯得尤為重要，下面我就從幾個方面來研究求導數(shù)的方法。

一、按定義求導的方法

導數(shù)的定義：

例如 ?求的導數(shù)，其中為常數(shù)

解 ：

二、利用導數(shù)的幾何意義求導的方法

導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在一點的導數(shù)在幾何上表示曲線在這點處的切線的斜率。

例如：已知等邊雙曲線在點處的切線方程為則曲線在點處的導數(shù)為切線方程的斜率

三、利用函數(shù)的和差積商的求導法則

例如求的導數(shù)

解：

.

四、利用反函數(shù)的求導法則

例如求.的導數(shù)

解：

.

五、利用復合函數(shù)的求導法則

例如求的導數(shù)

解：

.

六、隱函數(shù)的求導方法

例如已知x3+y3-3axy=0求y?

解：方程兩邊求導數(shù)得既然

3x2+3y2y?-2ay-3axy?=0，

于是 ? ?（y2-ax）y?=ay-x2 ，

七、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法

例如已知求

解 ：，

八、利用微分的求導方法

例如求的導數(shù)

解：

九、高階導數(shù)的求導方法

（a）求函數(shù)y=2x2+ln x的二階導數(shù)：

解： （1），

（b）求下列函數(shù)所指定的階的導數(shù)：

（1） y=excos x， 求y（4） ;

（2） y=xsh x， 求y（100） ;

解： （1）令u=ex， v=cos x ， 有

u?=u?=u??=u（4）=ex;

v?=-sin x ， v?=-cos x ， v??=sin x， ?v（4）=cos x，

所以 ? ?y（4）=u（4）×v+4u??×v?+6u?×v?+4u?×v??+u×v（4）

=ex[cos x+4（-sin x）+6（-cos x）+4sin x+cos x]=-4excos x .

（2）令u=x， v=sh x， 則有

u?=1， u?=0;

v?=ch x， v?=sh x， ···， v（99）=ch x ， v（100）=sh x，

所以

=100ch x+xsh x .

（c）求下列函數(shù)的n階導數(shù)的一般表達式：

（1） y=xn+a1xn-1+a2xn-2+···+an-1x+an （a1， a2， ···， an都是常數(shù)）;

解：

（1） y?=nxn-1+（n-1）a1xn-2+（n-2）a2xn-3+ …+an-1，

y?=n（n-1）xn-2+（n-1）（n-2）a1xn-3+（n-2）（n-3）a2xn-4+···+an-2，

···，

y（n）=n（n-1）（n-2）···2·1x0=n！ .

以上從定義求導的方法、利用導數(shù)的幾何意義求導的方法、利用函數(shù)的和差積商的求導法則、利用反函數(shù)的求導法則、利用復合函數(shù)的求導法則、隱函數(shù)的求導方法參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法、利用微分的求導方法、高階導數(shù)的求導方法這九個求導的基本方法進行了歸納總結(jié)。當然有些應(yīng)用要用多種求導方法，我們在具體應(yīng)用時，應(yīng)該根據(jù)具體情況靈活應(yīng)用。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學習題全解指南[M]北京：高等教育出版社，2007.4

[2]同濟大學數(shù)學系 高等數(shù)學 上冊[M]北京： ?高等教育出版社，2014.7

作者簡介：

程國華（1963～），男，江西省南昌人，研究方向：數(shù)學建模。