試析一類排列組合題型的常見解法與錯(cuò)解

左峰輝（北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京　100176）

試析一類排列組合題型的常見解法與錯(cuò)解

左峰輝
（北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京100176）

本文分為典型例題分析和歸納結(jié)語兩部分，通過利用計(jì)數(shù)原理對(duì)于典型解法的分析，理清對(duì)于m個(gè)元素任意放入n個(gè)位置類型題的常見錯(cuò)誤并歸納基本解法，指出其中的解題要點(diǎn)和注意條件。并對(duì)教學(xué)提出建議。

一類排列組合問題；計(jì)數(shù)原理；錯(cuò)解分析；典型解法

排列組合中對(duì)于m個(gè)元素任意放入n個(gè)位置類型題題的解法看似簡(jiǎn)單，實(shí)際在應(yīng)用中也有許多需要注意的地方。正確的解決此類題目，對(duì)于理解排列組合的基本原理，基本方法；理清錯(cuò)解的原因，及對(duì)正確地解題有積極的意義。

一、典型例題分析

例1，現(xiàn)有3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，問有多少種不同的投法？

解法1，從郵筒入手，因?yàn)槊總€(gè)郵筒都可以投3封信，又考慮4個(gè)郵筒都可以投入3封信，4個(gè)郵筒相當(dāng)于可以分4步完成投信，根據(jù)分

評(píng)步注計(jì)：數(shù)分原析理，解共1中有的 3解4種法投。法每。個(gè)郵筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每個(gè)郵筒有4種投法。解法1沒有搞清楚每一步中要考慮的是完成該步共有多少種方法，故解法1是錯(cuò)誤的。

解法2，既然每個(gè)郵筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每個(gè)郵筒有4種投法?？紤]共有4共郵筒，既分4步完成投信。故共有 44種投法。

評(píng)注：分析解2中的解法。每個(gè)郵筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每個(gè)郵筒有4種投法。這種說法應(yīng)該說是沒有問題的，但這里投入2封信只是一類投法，實(shí)際上它包含共3種方法，投入1封信也是一類投法，實(shí)際上它包含共3種方法。每個(gè)郵筒共有共8種投法。故解法2也是錯(cuò)解。

解法3，既然每個(gè)郵筒共有8種投法?？紤]共有4共郵筒，既分4步完評(píng)成投注信：。分故析共解有3中 84的種解投法法。。雖然每個(gè)郵筒共有8種投法是不錯(cuò)的，但對(duì)應(yīng)每種在第一個(gè)郵筒的投法，第二個(gè)郵筒的投法卻是不同的。例如，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)郵筒投入2封信時(shí)，第二個(gè)郵筒可能投入1封信，也可以是0封信。這時(shí)第二個(gè)郵筒不能再投入3封信了。既當(dāng)?shù)谝粋€(gè)郵筒不同的投入方法時(shí)，第二個(gè)郵筒的投法要分別討論。故解法3也是錯(cuò)解。

而如果還是按此思路直接按分步原理解題，則在第一步，既在考慮第一個(gè)郵筒的投法種數(shù)時(shí)就必須分類，并針對(duì)第一步的每一種投法在第二步種再進(jìn)行分類。如此需要分類解決。為簡(jiǎn)便起見，將可能的分類的情況分類來討論如下。

解法4 按照4個(gè)郵筒分別投入的信件數(shù)可以分為：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等幾類方法。對(duì)應(yīng)的投法總數(shù)為：=64種。

由此我們得到從郵筒入手需用分類討論，注意避免重復(fù)與遺漏。

同時(shí)，我們還可以從信件入手，解法如下。

解法5，從信件入手， 因?yàn)槊糠庑哦伎梢酝度?個(gè)郵筒中的每一個(gè)，既每封信有4種投法。共有3封信，相當(dāng)于投信可以分3步完成，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有34=64種投法。

評(píng)注：解法5是直接應(yīng)用分步原理解題，是本題的最簡(jiǎn)潔解法。

例2，現(xiàn)有3封不同的信投入4個(gè)相同的袋子，問有多少種不同的投法？

由上例分析，其最簡(jiǎn)潔的解法如下：

解法1，從門票入手， 因?yàn)槊繌堥T票都可以分配到4個(gè)袋子中的每一個(gè)，既每張門票都有4種分配方法。共有3張門票，相當(dāng)于分配可以分3步完成，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有3種投法。

評(píng)注：分析解1中的解法。4個(gè)袋子是相同的，并不對(duì)應(yīng)4種分法。解1的解法含有重復(fù)的計(jì)數(shù)。解法1是錯(cuò)解。

正確的解法是：按照4個(gè)袋子分別分配的信封數(shù)可以分為：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等幾種方法。對(duì)應(yīng)的分法總數(shù)為：

又注：此題不可以從信封入手去分步，而只能從袋子入手分類討論。

例3，現(xiàn)有3張游泳館的門票分配給4班級(jí)，問有多少種不同的分法？

由例1分析可知，其最簡(jiǎn)潔的解法如下：

解法1，從門票入手， 因?yàn)槊繌堥T票都可以分配到4個(gè)班級(jí)中的每一個(gè)，既每張門票都有4種分配方法。共有3張門票，相當(dāng)于分配可以分3步完成，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 43種投法。

評(píng)注：分析解1中的解法。3張游泳館門票是相同的，不適合作為分步的依據(jù)。解1的解法含有重復(fù)的計(jì)數(shù)。解法1是錯(cuò)解。

正確的解法是：按照4個(gè)班級(jí)分別分配的門票數(shù)可以分為：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等幾種方法。對(duì)應(yīng)的分法總數(shù)為：

又注：此題不可以從門票入手去分步，而只能從班級(jí)入手分類討論。

例4，現(xiàn)有3張相同的的郵票隨機(jī)放入4個(gè)相同的信封，問有多少種不同的分法？

評(píng)注：本題也不可以從郵票入手去分步，而只能從信封入手分類討論。且不同的分類法即是分法種數(shù)。

二、結(jié)語

對(duì)于m個(gè)元素任意放入n個(gè)位置類型題（其中元素的認(rèn)定可以依據(jù)“必須用完”為依據(jù)，而位置可以依據(jù)“可以為空”來區(qū)分。）由以上討論可以得到以下結(jié)論：

①都可以應(yīng)用計(jì)數(shù)原理來解，也說明了計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)作用。

②都可以從位置入手分類討論。注意避免重復(fù)與遺漏。

③只有當(dāng)元素與位置都互不同時(shí)，從元素入手，其最簡(jiǎn)潔的解法才是 nm。也可以從位置入手分類討論。需要選擇元素并排列。

④當(dāng)元素不同時(shí)而位置相同時(shí)，可以由位置入手，分類考慮。需要⑤選當(dāng)擇元元素素不

相需

同排時(shí)列而。位不置可不從同元時(shí)素，入可手以；由其位解置不入是手n，m分。類考慮。不需要選擇元素但要排列。不可從元素入手；其解不是 nm。

⑥當(dāng)元素相同時(shí)而位置也相同時(shí)，也可以由位置入手，分類考慮。不需要選擇元素也不需排列。注意其中對(duì)于每一類分類不需再排列了。不可從元素入手；其解也不是 nm。

教學(xué)中需結(jié)合學(xué)生和課時(shí)情況安排教學(xué)的難度，以使學(xué)生理解正解與錯(cuò)解的原因，使學(xué)生知其然并知其所以然。引導(dǎo)學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)又靈活的學(xué)風(fēng)。

［1］華瑞芬.排列組合中的球與盒子問題［J］.高中生學(xué)習(xí)（高二版），2013年，第11期.

［2］陶興模.排列組合題中的錯(cuò)解剖析［J］.高考金刊，2004年，第11期.

［3］薄濤.高中數(shù)學(xué)排列組合的多樣解題思路［J］.考試周刊，2012第53期.

［4］人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心 編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修2-3 ［M］.北京：人民教育出版社.

G712

A

1671-864X（2016）05-0132-01

左峰輝，女，北京電子科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教師，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)應(yīng)用。