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    淺析基金定投中定期定額的原理和投資方法

    2016-11-25 19:12:52季恒
    時(shí)代金融 2016年27期
    關(guān)鍵詞:單筆最大化定期

    一、基金定投的概念

    在現(xiàn)實(shí)投資中,一般會(huì)分成兩種投資方式,一種是單筆投資,另一種則是分次投資。

    對(duì)于單筆投資,華爾街流傳這樣一句話:“要在市場中準(zhǔn)確地踩點(diǎn)入市,比在空中接住一把飛刀更難?!彼腥硕枷M谧畹忘c(diǎn)買入,最高點(diǎn)賣出,而能做到這點(diǎn)的萬中無一,哪怕是相對(duì)低點(diǎn)和高點(diǎn),大多數(shù)人都不能很好的判斷。

    相比之下,分次投資更適合大多數(shù)人,把資金分次買入相應(yīng)資產(chǎn),從而均衡成本、避免最壞的情況,可以使自己立于不敗之地。隨著電子化交易的實(shí)現(xiàn),在基金投資領(lǐng)域,這種分次投資的方法逐漸演化成:以基金為投資標(biāo)的,按照既定的模式,自動(dòng)化完成分筆投資,即基金定投。

    二、基金定投的分類

    按照期限與金額設(shè)定方式的不同,基金定投以分成四種類別:

    其中,定期定額是基金定投中最初也最基本的模式,投資者通過提交申請(qǐng),約定扣款時(shí)間和扣款金額,并確定扣款頻次、持續(xù)時(shí)間和申購對(duì)象,由銷售機(jī)構(gòu)在約定扣款日自動(dòng)扣款,完成基金申購。本文主要分析的及時(shí)定期定額模式下的投資方法。

    三、定期定額的原理和投資方法

    基金定投的根本目的是追求收益的最大化,下面以定期定額為投資模式,從數(shù)理分析的角度,討論其投資有效性、建立收益的模型、并分析不同維度上最求收益最大化的策略。

    (一)定期定額收益的基本原理

    定期定額有兩個(gè)固定,一個(gè)是固定日期,比如按月定投約定每月的1日為扣款日期;另一個(gè)是固定金額,比如每次扣款金額為1000元。固定日期避開了擇時(shí),使得投資更趨緊于隨機(jī)變化下的均值情況;固定金額則可以在基金凈值低的時(shí)候購買更多的份額,降低持倉成本,這種降低是依托調(diào)和平均數(shù)的特性。

    1.調(diào)和平均數(shù)帶來更低成本。我們把作為買入基金的價(jià)格(凈值),那么1元錢可以購買的基金份額就是,假設(shè)某只基金在兩個(gè)時(shí)間的凈值(價(jià)格)c1和c2,那么在這兩次購買的份額就是+,而兩次購買花費(fèi)2元,于是持倉均價(jià)就是,是一個(gè)調(diào)和平均數(shù)。如果是單筆購買,即隨機(jī)在兩次時(shí)點(diǎn)買入,則平均情況是,是一種算數(shù)平均數(shù)。數(shù)學(xué)有一個(gè)結(jié)論,就是算數(shù)平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)(只有c1=c2時(shí),兩種平均數(shù)才會(huì)相等),即。

    無論價(jià)格的數(shù)量有多少,只要定投與隨機(jī)單筆購買的價(jià)格池一致,這個(gè)結(jié)果均成立。

    通過定期定額獲得的持倉價(jià)格,小于隨機(jī)單筆購買的平均價(jià)格,這種差額-就是定期定額投資帶來的更低成本,更高收益。

    例如下圖所示,當(dāng)我們?cè)贏BCDE五個(gè)點(diǎn)分別買入一次基金,那么持倉均價(jià)不是1,而是0.882,在E點(diǎn)賣出時(shí)可以獲得0.118的收益率了。

    2.收益的來源。無論是股票還是基金,收益都來自開始的買入價(jià)和最后的賣出價(jià)的差額,把收益設(shè)為R,賣出價(jià)設(shè)為P,買入價(jià)依然是C,而用O和t代表買入階段和賣出階段的時(shí)間,則收益可以簡單的表示為:

    R=Pt-C0

    這個(gè)等式,表明收益需要使最后的賣出價(jià)更高、而開始的買入價(jià)更低。對(duì)定期定投來說,其并不注重?fù)駮r(shí),所以我們把平均收益作為主要分析的對(duì)象。

    對(duì)于隨機(jī)單筆投資而言,平均投資收益就是:

    但對(duì)于定期定額,其平均投資收益則是:

    因?yàn)橥粫r(shí)間的買入價(jià)等于賣出價(jià),所以我們可以認(rèn)為,上面的等式就變成:

    通過定期定額我們獲得了兩塊收益來源,一部分是投資標(biāo)的本身的上升-;另一部分來自于通過調(diào)和平均值的特性,將持倉成本超額降低的0-0,也是定投帶來的超額收益。

    3.收益額最大化。除了考慮價(jià)差之外,投資收益額還取決于投資的時(shí)間效率和投資金額的多少。當(dāng)我們進(jìn)行定期定額投資的時(shí)候,不可避免面臨時(shí)間問題,如果時(shí)間很長則年化收益率必然被攤薄。而且定投的金額大小也會(huì)影響最后的絕對(duì)收益額。假設(shè)第一筆買入和最后賣出的時(shí)間差為T,每次定投的金額為d,扣款的次數(shù)為N,則在考慮時(shí)間和金額后,設(shè)平均的單位時(shí)間收益額*,則有:

    要追求收益額的最大化,就是求*的最大化,從上式可知需要考慮四個(gè)方面:更低的買入價(jià)格0,更高的賣出價(jià)格,更快的買賣T,更大的投資金額N×d?,F(xiàn)實(shí)投資中,我們?cè)谮H回之前往往會(huì)持續(xù)扣款投資,買賣時(shí)差T與定投扣款的次數(shù)N直接相關(guān),而單次扣款金額d又與投資人的薪酬水平密切聯(lián)系,所以一般情況下投資者更關(guān)注的是買賣價(jià)差。

    4.內(nèi)部回報(bào)率最大化。當(dāng)資金沒有投入基金時(shí),可以選擇其他的投資方式,在這種前提下我們追求每一份現(xiàn)金流的時(shí)間和其對(duì)應(yīng)的平均收益,即內(nèi)部回報(bào)率。內(nèi)部回報(bào)率最大化,就是資金的使用效率最大化。

    設(shè)平均的內(nèi)部回報(bào)率為,則有

    通過兩分法,可以近似求得。即,內(nèi)部回報(bào)率最大化,近似等于單位時(shí)間價(jià)差最大化。

    (二)降低持倉均價(jià)

    在進(jìn)行定期定額的設(shè)定中,我們會(huì)面臨不同的扣款日期、頻率、標(biāo)的、時(shí)間長度的選擇,那么這些設(shè)定對(duì)于降低持倉成本有什么影響,我們應(yīng)該如何選擇呢?

    1.扣款日期的影響。如果每月的某一天,基金的凈值(價(jià)格)總是相對(duì)較低的時(shí)候,根據(jù)這種周期性的變化,選擇在那一天進(jìn)行定投就可以使持倉價(jià)格更低。能不能找到這樣的一天呢?

    從證券本身的價(jià)值來看,很難說具有周度或者月度的周期性變化;而影響其市場價(jià)格的因素多而負(fù)責(zé),盡管有的資金因?yàn)橐恍┴?cái)務(wù)的需要會(huì)選擇固定在每周或每月的某一天流入或流出,但不同個(gè)人和機(jī)構(gòu)的選擇并不一致。換一個(gè)角度,如果證券價(jià)格具有典型的周期性,那么投資者就可以利用這種周期性低買高買,所有人都這么做的結(jié)果就是周期性的消亡。所以,扣款日期對(duì)于降低定期定額的持倉價(jià)格影響不大。

    2.扣款頻率的影響??劭铑l率是指相同時(shí)間內(nèi)扣款的次數(shù),或者兩次扣款之間的時(shí)間間隔。目前市場上有按日、周、月、季等定期扣款的方式。

    以按季和按月定投為例,在每一個(gè)季度內(nèi),可以按季定投1次3元,也可以按月定投3次1元。

    按季定投的持倉價(jià)格就是季度內(nèi)隨機(jī)選擇某一天的價(jià)格,假定一個(gè)月有30天,平均情況就是所有90個(gè)價(jià)格的算數(shù)平均數(shù):

    按月定投有3個(gè)價(jià)格,可以先計(jì)算出總份額,然后計(jì)算3個(gè)月的持倉價(jià)格,,相當(dāng)于按照這個(gè)價(jià)格進(jìn)行季度定投,那么在任何一天開始的平均情況,就是所有30個(gè)整合價(jià)格的C′算數(shù)平均數(shù):

    對(duì)s的分子分母同時(shí)除以3,將ci,ci+30,ci+60分為一組,即可輕易的判斷后者小于前者,原因還是調(diào)和平均數(shù)小于算數(shù)平均數(shù)。本質(zhì)上,一個(gè)季度內(nèi),按季定投是隨機(jī)的單筆投資,而按月定投則是3次定期定額。同類,一個(gè)月內(nèi),按月定投是隨機(jī)的單筆投資,而按周定投則是4次的定期定額。一周內(nèi),按周定投是隨機(jī)的單筆投資,而按日定投則是5次的定期定額。

    所以,在時(shí)間足夠長的情況下,購買頻次越大,購買的時(shí)間間隔越小,降低持倉均價(jià)的幅度越大。日定投成本<周定投成本<月定投成本<季定投成本。

    3.投資標(biāo)的的影響。不同投資標(biāo)的區(qū)別主要有三個(gè)方面:流動(dòng)性、收益性、波動(dòng)性。流動(dòng)性上,同樣頻率的基金定投基本沒有差別。收益性上,如果某個(gè)投資標(biāo)的平均收益明顯較高,那么收益中0的部分就高,所以要選擇預(yù)期收益性高的標(biāo)的。波動(dòng)性上,在普通投資中通常我們會(huì)選擇波動(dòng)率小,但這一點(diǎn)在定投中卻不同。

    使用扣款2次的例子,說明波動(dòng)性大小與降低持倉成本的關(guān)系。我們可以定義定期定額的降低持倉成本f(Δ),在2次購買下,那么這個(gè)函數(shù)就可以變成:

    假設(shè)整體價(jià)格c1+c2不變,設(shè)x=|c1-c2|≥0,并對(duì)x求導(dǎo),則有:

    當(dāng)c1+c2不變,設(shè)x=|c1-c2|,則x≥0,且f(Δ)x=2x≥0

    |c1-c2|與f(Δ)是正向關(guān)系,兩次購買的價(jià)格差別越大,則定期定額降低持倉成本的幅度越大。

    如果價(jià)格中有0,則會(huì)出現(xiàn)極值:

    所以,。

    但價(jià)格為0的情況并不存在,實(shí)際上,可以假定價(jià)格的波動(dòng)有一定范圍c1+c2≤k1且|c1-c2|≥k2>0,則有:

    所以,。通常降低持倉成本的幅度f(Δ)是會(huì)小于某個(gè)極值,而這個(gè)機(jī)制收到定投標(biāo)的本身獨(dú)特的價(jià)格變化所影響。

    以上是2次扣款的情況,那么對(duì)于多次購買如何呢?我們來看下4次扣款的情況,超額降低成本的函數(shù)如下:

    上式中,第一個(gè)括號(hào)與2次扣款一樣,對(duì)|y1-y2|呈現(xiàn)單調(diào)向上;第二個(gè)括號(hào)中只需比較分母部分即可。

    設(shè)x1=|c1-c2|,x2=|c3-c4|,k3=c1+c2,k4=c3+c4,則有

    分別對(duì)x1x2求導(dǎo),第二個(gè)括號(hào)部分分別與之呈現(xiàn)正相關(guān)。4個(gè)價(jià)格,兩兩之間差距越大(方差越大),則降低成本的幅度越大。如果價(jià)格波動(dòng)有一定范圍,則相應(yīng)的這種降低成本的效果也存在極值。

    4次購買的分析過程可以衍生到多次,包括3次等奇數(shù)次數(shù)也可用相似方法證明,不再重復(fù)證明。

    定投標(biāo)的上,我們會(huì)選擇預(yù)期收益高,而波動(dòng)幅度大的。

    4.投資時(shí)間長度的影響。我們都知道定投要做的時(shí)間長一些,一方面因?yàn)楦蟮姆帜缚梢苑謹(jǐn)們r(jià)格的波動(dòng),另一方面則是因?yàn)殡S著扣款次數(shù)的增加,通過定期定額降低持倉成本的幅度也在提升。

    市場總會(huì)受到短期因素影響出現(xiàn)較大的上下波動(dòng),當(dāng)定投的時(shí)間較短時(shí),這種短期波動(dòng)會(huì)對(duì)我們的持倉帶來顯著的影響。而拉長時(shí)間則能把短期的波動(dòng)分?jǐn)偟簦谑钦w持倉價(jià)格和就會(huì)顯得平滑。

    就降低持倉成本而言,拉長定投時(shí)間,相當(dāng)于增加更多的買入價(jià)格,把c1、c2變成更多的c1、c2、c3…cn,我們定義定投n次的持倉成本為n,即,而同期的價(jià)格平均值為|n,即。

    使用來定義平均情況下、定期定額比隨機(jī)單筆購買超額降低持倉成本的效果,F(xiàn)n越大,則定期定額比單筆購買的降低成本的幅度越大。這種定義下,隨著定投次數(shù)的增加可以產(chǎn)生一組如下的數(shù)列:

    我們對(duì)進(jìn)行變形,可以得到:

    數(shù)列是單調(diào)向上的。

    如果對(duì)|求關(guān)于n的導(dǎo)數(shù),可以得到:

    即數(shù)列向上的增速遞減。

    平均來看,隨著定投次數(shù)的增加,相對(duì)于隨機(jī)單筆投資,定期定額投資超額降低持倉成本的效果越來越好,但降低的幅度呈現(xiàn)邊際遞減。當(dāng)隨機(jī)單筆投資的價(jià)格保持穩(wěn)定的時(shí),這種關(guān)系如下圖所示:

    假設(shè)市場價(jià)格在后續(xù)的波動(dòng)中不出現(xiàn)極端價(jià)格,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種降低成本的能力會(huì)收斂于某個(gè)值(具體計(jì)算略過,可以嘗試假設(shè),對(duì),求極限),而收斂值受到標(biāo)的特有的價(jià)格變化影響。

    在投資時(shí)間長度的影響中我們知道內(nèi)部報(bào)酬率近似等于單位時(shí)間的價(jià)差,隨著時(shí)間拉長,因?yàn)榻档统杀镜倪呺H作用減弱,內(nèi)部報(bào)酬率會(huì)逐漸走低。

    (三)提高賣出的相對(duì)價(jià)格

    賣基金比買更難。影響證券市場未來的走勢因素有很多,我們不能主動(dòng)改變基金的賣出價(jià),也很難選擇到絕對(duì)高點(diǎn)的賣出時(shí)機(jī)。相比之下,相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī)更容易選擇。

    未來一段時(shí)間,基金的價(jià)格波動(dòng)會(huì)有很多種可能,從而形成一種分布,設(shè)分布的中位數(shù)是P50%,那么當(dāng)價(jià)格運(yùn)行到Pi且Pi>P50%時(shí),如果贖回基金,就能在平均水平之上的價(jià)格賣出,即選擇了相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī)。如果基金價(jià)格的波動(dòng)具有歷史重復(fù)性,就可以使用歷史數(shù)據(jù)來確定這種分布,從而對(duì)比出某個(gè)時(shí)間價(jià)格是否相對(duì)較高。

    實(shí)際上,基金的價(jià)格會(huì)有一種長期向上的趨勢,不能簡單類比歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)。購買價(jià)和賣出價(jià)都是基金的幾個(gè),會(huì)呈現(xiàn)同步的變化,所以我們可以近似的使用買賣價(jià)差Pt-0的分布Dis,來衡量賣出的時(shí)機(jī)是否相對(duì)較高。在降低持倉均價(jià)中我們知道,定期定額扣款次數(shù)越多,則降低持倉成本的幅度越大,所以不同扣款次數(shù),分布Dis不一樣。在扣款次后,應(yīng)該把實(shí)際買賣差價(jià)(Pi-0)i放在相同扣款次數(shù)的歷史分布Disi中進(jìn)行比較,選擇相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī),就是選擇定投收益相對(duì)較高的時(shí)機(jī)止盈。

    (四)收益額最大化的策略

    多數(shù)人投資的目標(biāo)是在同一段時(shí)間內(nèi)使收益總額最大化,如在收益額最大化中所述,僅就基金定投而言,需要考慮買入價(jià)、賣出價(jià)、買賣時(shí)差T與投資金額D=N×d。對(duì)于投資者而言,選擇什么樣的策略來最大化其定投的收益呢?

    1.扣款金額不變(贖回后離場)。通常情況下,定期定額都是持續(xù)不斷的進(jìn)行扣款,扣款的次數(shù)與買賣時(shí)差存在直接關(guān)系,即T=N×Δt,其中Δt是兩次扣款的時(shí)間間隔。

    在既定的定投頻率下,如果每次扣款金額不變、即d不變,由收益額最大化中的等式可得:

    使價(jià)差最大化,即可獲得最大的收益。這種情況并不考慮贖回資金的投資,其最好的定投策略,就是盡量提高扣款頻率,選擇波動(dòng)大而預(yù)期收益高的基金標(biāo)的,在堅(jiān)持長期定投的同時(shí)選擇相對(duì)較高的收益時(shí)機(jī)賣出。(參閱降低持倉均價(jià)和提高賣出的相對(duì)價(jià)格)這項(xiàng)策略,適合兩類投資人,一類是把每次贖回的資金轉(zhuǎn)做其他用途的小夫妻;第二類,則是剛剛開始做定投,每月從工資中拿出固定比例參與定投的月光族或上班族。

    2.扣款金額變化(贖回后再投資)。當(dāng)我們贖回上一筆定投基金后,贖回的資金如何處理。如果不擇時(shí)投資,很可能會(huì)再次進(jìn)行基金定投。贖回的資金加上既定的每次扣款額,必然使未來的扣款金額增加??劭罱痤~發(fā)生了變化,但是每次投資的總額則相對(duì)不變,可以假設(shè)每次贖回前的扣款總額D不變,由收益額最大化中的等式可得:

    追求收益最大化,就是買賣價(jià)差最大,而相應(yīng)定投的時(shí)間(或定投的次數(shù))最少。

    對(duì)于有財(cái)富積累的投資者,例如買股抄基者,從理財(cái)配置的角度,更希望能把計(jì)劃的投資總額全部投入,持續(xù)參與基金投資,及時(shí)中間止盈也能迅速將贖回的資金重新投入,從而實(shí)現(xiàn)總收益最大化。這種情況下,我們需要的不再是一次性選擇某個(gè)相對(duì)高點(diǎn)止盈,而是需要在一段時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)多次止盈將累計(jì)收益率最大,并且每次都能把主要的資金投入。

    同樣是依據(jù)歷史的重復(fù)性,我們可以獲得一個(gè)的分布情況,找出最高時(shí)的(t-0)和N,就能對(duì)這種情況下進(jìn)行一定的策略指導(dǎo)。比如我們預(yù)計(jì)未來以10%止盈可以平均5個(gè)月完成一次,而20%止盈則需要平均20個(gè)月完成,理想狀態(tài)下會(huì)選擇10%止盈、并將資金分5個(gè)月定投。但這是理想狀態(tài),實(shí)際上每次獲得止盈收益的時(shí)間不會(huì)相同,在后面我們會(huì)將這項(xiàng)策略稍加調(diào)整,以便更容易實(shí)時(shí)。在操作中,可以選擇從12個(gè)月開始即進(jìn)行實(shí)際收益率與同期限歷史收益水平的對(duì)比。

    (五)定期定額內(nèi)部回報(bào)率最大化的策略

    在內(nèi)部回報(bào)率最大化中,我們得到內(nèi)部回報(bào)率的近似值,與扣款金額變化一樣,都是在追求單位時(shí)間買賣價(jià)差的最大化,這里不再展開。

    作者簡介:季恒(1988-),男,河南信陽人,理財(cái)規(guī)劃師,對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)驗(yàn)班09屆,大學(xué)本科,任職于北京京東金融科技控股有限公司,研究方向:理財(cái)規(guī)劃與投資策略分析。

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