一元函數(shù)分部積分法探析

【摘要】由分部積分法計(jì)算過程中選取u，v遇到的問題，通a過對分部積分法的基本原理的分析和實(shí)際計(jì)算中出現(xiàn)的現(xiàn)象分析，從而得出用分部積分法解題的步驟“先湊微分，再交換位置”，最后得出湊微分的優(yōu)先原則。

【關(guān)鍵詞】分部積分 湊微分 優(yōu)先次序

一、問題提出

在不定積分計(jì)算中，常遇到不定積分的被積函數(shù)是有任意的兩類基本初等函數(shù)乘積的情形，形如：不定積分的求解問題。針對這類積分的求解，如果用直接積分法、湊微分、換元積分的方法求解往往比較困難，因此需要引進(jìn)另一種基本積分方法，就是分部積分的方法。但是在這類積分的分部計(jì)算中，學(xué)生往往分不清楚到底把那部分設(shè)成u（x）那一部分設(shè)成v′（x）。如果設(shè)被積函數(shù)為u（x），v′（x）不恰當(dāng)，就會(huì)使得計(jì)算過程更加復(fù)雜，浪費(fèi)了計(jì)算的時(shí)間和精力，也沒有得出正確答案。因此，需要有一個(gè)簡潔的方法使得學(xué)生便于掌握，解題過程更加簡潔明快。

二、分部積分法基本原理分析

在求導(dǎo)四則運(yùn)算法則中有兩函數(shù)乘積的形式求導(dǎo)公式：

對上式兩邊同時(shí)取不定積分∫得：

由“被積函數(shù)先求導(dǎo)后不定積分的性質(zhì)”與“兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于兩函數(shù)不定積分兩函數(shù)的性質(zhì)”得：

移項(xiàng)得

或

則稱（※）這個(gè)公式為分部積分公式。分部積分法其基本思想是把兩個(gè)函數(shù)的乘積的求導(dǎo)法則反過來用于求不定積分。其實(shí)這個(gè)方法也可以這么理解：對于不定積分，其被積函數(shù)的原函數(shù)比較難求，但求的積分可以轉(zhuǎn)化成求u（x）v（x）-的積分，其要比簡單易求，亦是把難求的積分矛盾轉(zhuǎn)化成易求的積分。

三、實(shí)踐應(yīng)用得出結(jié)論

應(yīng)用分部積分的原理計(jì)算幾個(gè)實(shí)例。

例1 求∫x cos xdx

解：若取，代入分部積分公式

比求原積分還復(fù)雜難求。

若改取，代入分部積分公式

例2 求

解：若在公式中取u=ex，v=2，則

而右端積分=比左端積分更難求，

因此改取u=x，v=ex，則

由此可知，在用分部積分公式計(jì)算積分時(shí)，u（x），v（x）的選擇不是隨意的，選擇哪個(gè)作為u（x），選擇哪個(gè)作為v（x），需要適當(dāng)選取，否則有可能使得計(jì)算很復(fù)雜甚至計(jì)算不出來。

同時(shí)，由以上兩例也說明，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，可考慮用分部積分法，且在分部積分公式中取冪函數(shù)為u.

例3 求

解 取u=lnx，v=x，則

例4 求.

解 取u=arctanx，v=x2，則

以上兩例說明，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，可考慮用分部積分法，并在公式中取對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)部分為u.

從以上四個(gè)實(shí)例可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：對分部積分法較熟悉后，可不必明顯寫出公式中的u，v，只需做到“心中有數(shù)”；分部積分法解題步驟“先湊微分，再交換位置”；u，v的選取以∫vdu比∫udv易求為原則；被積函數(shù)為兩個(gè)基本初等函數(shù)乘積時(shí)，基本初等函數(shù)取為v′（x）有優(yōu)先次序。在解題過程中，第一步“先湊微分”，既是∫vdu比∫udv易求為原則，那么把那個(gè)函數(shù)看成v′（x），把v′dx湊成dv？是以被積函數(shù)中兩個(gè)基本初等函數(shù)乘積“指數(shù)函數(shù)（優(yōu)先）、三角函數(shù)（次之）、冪函數(shù)（可以）、對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)（不動(dòng)，始終為u）”的優(yōu)先次序原則“先湊微分”；第二步“再交換位置”是指：如等式，先湊微分把v′dx湊成dv即第一步計(jì)算結(jié)果，然后照抄u（x）乘以v（x）減去∫u（x）dv（x）的u（x），v（x）交換位置后的結(jié)果∫v（x）du（x）。

四、結(jié)束語

分部積分法的解法可以總結(jié)為“先湊微分，再交換位置”分兩個(gè)步驟完成，只有理解“先湊微分”的原則（優(yōu)先次序）和“再交換位置”是交換誰的位置（即u（x），v（x）位置）的含義，使得解題會(huì)更加的方便快捷。

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作者簡介：常安成（1979-）男，漢族，山東定陶人，現(xiàn)為湖南信息學(xué)院基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研室主任、碩士、講師。主要研究方向：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與動(dòng)力系統(tǒng)、大學(xué)數(shù)學(xué)教育。主持湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題。在國際SCI刊源雜志上發(fā)表研究論文3篇。