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    改善思考問題方法提高學(xué)生解題能力

    2016-11-25 03:24:01筅江蘇省錫東高級中學(xué)葉琳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年13期
    關(guān)鍵詞:讀題審題條件

    筅江蘇省錫東高級中學(xué) 葉琳

    改善思考問題方法提高學(xué)生解題能力

    筅江蘇省錫東高級中學(xué)葉琳

    數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一就是培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來生活發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng),發(fā)展智能的同時(shí)提高人的素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力.然而出于高考和升學(xué)的壓力,學(xué)生整天在大量的習(xí)題中度過,成為解題的“熟練工”,不少學(xué)生把解題規(guī)律簡單化為“對題型,套解法”,以做大量的模擬試題去代替數(shù)學(xué)能力的提高,但是往往成效不大,疲憊不堪.筆者對本校高三學(xué)生通過不同方式進(jìn)行了實(shí)證調(diào)查,深入訪談和持續(xù)關(guān)注,發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題活動中往往出現(xiàn)如下幾個問題:

    一、學(xué)生解題過程中常見的幾個問題

    1.已有知識缺乏,解題經(jīng)驗(yàn)不足

    學(xué)生己有的知識、能力和經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu),它是接受新知識的基礎(chǔ),調(diào)查中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和能力基礎(chǔ)比較薄弱,存在支離破碎的甚至錯誤的知識.在解題讀題時(shí)學(xué)生對題目的條件及問題設(shè)問的形式陌生,特別是遇到新情境的問題更是束手無策.

    案例1(直線與圓的復(fù)習(xí)課片斷)若a,b,c成等差數(shù)列,點(diǎn)P(-1,2)在直線l:ax+by+c=0上的射影為M,則點(diǎn)N(-,1)到點(diǎn)M的距離的最大值為_____

    圖1 

    教學(xué)片斷回放.(學(xué)生分析思考過程)

    生:a,b,c成等差數(shù)列,得到2b= a+c,設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則ax0+by0+c=0.又因?yàn)镻M⊥l,所以"=-1.后面就想研究點(diǎn)N到點(diǎn)M(x0,y0)的距離d=,上面的三個等式卻不知道怎么用.

    師:距離d里面有x0,y0兩個變量,求最值首先想到消元,但發(fā)現(xiàn)行不通,直線ax0+by0+c=0的變量更多,怎么用2b=a+c這個條件呢?(學(xué)生陷入困惑)

    師:將2b=a+c可以代入直線方程,變成ax+by+2b-a=0,能發(fā)現(xiàn)什么?

    生:a(x-1)+b(y-2)=0,直線l恒過定點(diǎn)Q(1,2).

    師:由PM⊥l可以得到什么?

    生:射影點(diǎn)M的軌跡是“以PQ為直徑的圓”,方程為x2+(y-2)2=1(.如圖1)

    2.讀題審題不細(xì)致

    認(rèn)真細(xì)致地審題是解題的第一步,也是解題成功的必要前提.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說:“最糟糕的情況是學(xué)生沒弄清問題就進(jìn)行演算和作圖.”事實(shí)發(fā)現(xiàn),學(xué)生常對審題掉以輕心,對題目中容易混淆的詞語認(rèn)識不到位,產(chǎn)生錯解.還有很多學(xué)生解題時(shí)審題速度很快,有的沒看完題目就匆匆下筆,認(rèn)為這樣節(jié)省解題時(shí)間,事實(shí)上,審題時(shí)條件和結(jié)論之間的聯(lián)系都沒有分析清楚,往往導(dǎo)致解題的失敗.

    案例2(高三某次模擬試卷填空題第6題)在區(qū)間[-2,2]上任取兩個整數(shù)a,b,使得關(guān)于x的方程x2-2axb2+1=0有實(shí)數(shù)根的概率是_______________.

    學(xué)生解答如下:x2-2ax-b2+1=0有實(shí)數(shù)根滿足Δ= 4(a2+b2)-4≥0,即a2+b2≥1,由幾何概型得到概率為

    上述問題考查的是有關(guān)概率的問題,我們可以看出學(xué)生能夠?qū)㈩}目條件正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,但是很多學(xué)生在讀題時(shí)忽略了“整數(shù)a,b”,而看成是在區(qū)間[-2,2]上取兩個實(shí)數(shù)a,b,本來屬于古典概型的問題卻當(dāng)作幾何概型來處理,導(dǎo)致解題失誤.

    3.解題后不善于歸納和整理

    學(xué)生通過整理解題的不同方案,自我糾正錯誤,錯題整理,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,鞏固知識和技能,滲透數(shù)學(xué)思想.事實(shí)上我們的學(xué)生不善于將問題進(jìn)行歸納和整理,很多只是零碎的解題方法,形不成知識網(wǎng)絡(luò)和解題脈絡(luò).

    案例3(高三某次模擬考試第18題)在等差數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)的和,已知a2,a5,a14成等比數(shù)列,且S20=400.

    (1)求數(shù)列{a}n的通項(xiàng)公式;

    (2)求和:a1+a4+a7+…+a3n+1.

    對于第(1)問很多學(xué)生的解題過程如下:

    等差數(shù)列的公差d是否為零,是學(xué)生容易遺忘的知識點(diǎn),學(xué)生在求解6a1d=3d2時(shí)“毫不猶豫”地將d=0約去,不考慮常數(shù)列的情況,諸如此類的情況還有:ax2+bx+c=0的方程或者不等式中,容易遺漏a=0的情況,等比數(shù)列求和公式中公比q是否為1的情況.盡管學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中對于此類問題已經(jīng)是很熟悉的,但是由于沒有及時(shí)地歸納整理,只是形成了表面知識記憶,沒有形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

    二、提高學(xué)生解題能力的途徑

    數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是提高數(shù)學(xué)解題能力,這一任務(wù)應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終,它是一項(xiàng)長期復(fù)雜的系統(tǒng)工程.筆者嘗試將波利亞的解題表具體化到可操作的步驟:讀題分析—提取組合—解題反思,并付諸于教學(xué)實(shí)踐,檢驗(yàn)對提高學(xué)生的解題能力是否有幫助.

    1.讀題審題訓(xùn)練,生成合理的問題表征

    解題教學(xué)的關(guān)鍵是指導(dǎo)幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行問題表征,尋找解題突破口,讓學(xué)生學(xué)會分析問題,而非就題論題.在教學(xué)過程中,筆者指導(dǎo)學(xué)生讀題時(shí)要密切注意以下幾個方面:(1)要將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題目,比如說實(shí)際問題(像應(yīng)用題),要從題目中大量的文字語言描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言描述出來,要弄清楚問題是屬于哪個數(shù)學(xué)內(nèi)容的.(2)列出題目中所給出的條件和要求的.(3)搜索縮小條件和要求的范圍.結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),確定判斷題目條件和問題中所涉及的知識點(diǎn),可以用什么方法或者技能來解決.在審題時(shí)要兼顧條件與結(jié)論,這樣有利于“弄清問題”.

    圖2 

    案例4(學(xué)生的讀題審題訓(xùn)練)如圖2,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,動點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(含邊界),設(shè),則α+β的取值范圍是___________.

    讀題分析:首先,題目本身就是數(shù)學(xué)語言闡述的題目,故不需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

    其次,條件有5個:“直角梯形ABCD”,“AB⊥AD”,“AD=DC=1,AB=3”,“點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(含邊界)”,;問題是“求α+β的取值范圍”.

    最后,明確條件和問題之后,開始判斷它們的范圍,“點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動”,故點(diǎn)P的范圍在三角形內(nèi),可能要用到線性規(guī)劃來解決.

    在教學(xué)過程中,筆者要求學(xué)生在讀題時(shí)養(yǎng)成把題目條件圈出來的習(xí)慣,很多學(xué)生讀題很馬虎,一目十行,題目還沒看完就下筆去做,結(jié)果不是條件漏看了就是看錯了,導(dǎo)致解題錯誤.匆匆讀題后就急于下手,對問題的意義、涉及的概念、相關(guān)的知識都不甚理解,解題也就極易出錯.讀題時(shí)圈出條件,從視覺感知變得強(qiáng)烈起來,二遍讀題或者審題時(shí)可以關(guān)注圈出來的條件,減少審題馬虎導(dǎo)致的錯誤.

    2.有效提取組合,擬定解題方案

    學(xué)生要有一定的知識儲備和解題經(jīng)驗(yàn)的積累,才有可能形成解題思路.費(fèi)里德曼說解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題.解過的題形成了自己的解題經(jīng)驗(yàn),主要包括題目的類型與模型的積累,解題方法與技巧和數(shù)學(xué)思想方法的積累.

    數(shù)學(xué)問題解決的最基本形式就是化歸,把未知的問題化為已知的問題,把非典型的問題化歸為典型的問題.在和學(xué)生嘗試?yán)貌ɡ麃喗忸}模式解題時(shí),筆者給學(xué)生這樣的解題步驟:①讀題的同時(shí)圈條件,將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,列出條件和問題;②讀題以后,你馬上想起的數(shù)學(xué)知識有哪些?你從已知、題設(shè)能想到什么?從結(jié)論中考慮需要什么信息?這兩者如何產(chǎn)生火花?

    在實(shí)施這樣的解題步驟的過程中,班級的學(xué)生由不習(xí)慣到慢慢適應(yīng),在課堂教學(xué)中思維也漸漸活躍起來,一次的習(xí)題講評課讓筆者至今記憶猶新!實(shí)錄如下:

    案例5如圖(圖3)放置的邊長為1

    的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、

    y軸正半軸上(含原點(diǎn))滑動,則OAAB·OAAC

    的最大值是_____________.

    筆者在呈現(xiàn)出題目后,找學(xué)生起來

    讀題,學(xué)生分析完條件后給出了自己的思路:老師我用平面向量基本定理做的(其中α是的夾角),故得到最大值為2.

    圖3 

    筆者:很好,Z同學(xué)從結(jié)論出發(fā)利用向量基本定理來處理這個問題,過程嚴(yán)謹(jǐn),表述規(guī)范,是同學(xué)們學(xué)習(xí)的榜樣!話音剛落,教室里討論聲想起來,生H站起來:“老師她的解法煩了,我是用平面幾何做的,會很省力的哦.”

    圖4 

    這樣的百家爭鳴的場景正是筆者需要的,筆者:“真的嗎?說說你是怎么做的?”

    生H:過B、C分別作x軸、y軸的垂線,交坐標(biāo)軸于M、N兩點(diǎn)(如圖4),設(shè)AO=a,OD=b,可以證明△AOD,△BAM,△CAN全等,所以O(shè)D=AM=CN,OA=DN=BM,設(shè)B(a+b,a),C(b,a+b),所以的最大值是2.

    此時(shí)生M舉手:“老師我是用矩陣變換做的!”“矩陣變換也可以做?”很多同學(xué)的臉上呈現(xiàn)驚訝的表情,(矩陣變換是附加里面的內(nèi)容)筆者也拿不準(zhǔn)思路究竟對不對,就讓學(xué)生繼續(xù)往下說,設(shè)A(a,0),D(0,b),則x,y)可以看作是繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,(x,y)=≥,求得B的坐標(biāo)后,同理求C的坐標(biāo),最后用數(shù)量積的坐標(biāo)表示,求得答案.下面不由自主地響起了掌聲.

    教學(xué)活動中老師應(yīng)充分展示學(xué)生的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和探索精神,當(dāng)然教師的引領(lǐng)十分重要,對于學(xué)生易混淆的問題,要通過變式問題不斷強(qiáng)化,不斷地練習(xí),讓學(xué)生來領(lǐng)悟其中的解題奧妙,學(xué)會從多角度思考問題的方法.

    3.適時(shí)解題回顧與反思,溫故而知新

    在學(xué)生的問題解決過程中,往往只是用來正確和錯誤地判斷自己的答案,而不是認(rèn)真思考解決問題的過程中所用知識、方法.對于錯的題目等老師公布標(biāo)準(zhǔn)答案,把它抄到筆記本上就沒事了,事實(shí)上沒有反思的解題是不完整的.

    解題結(jié)束后筆者讓學(xué)生總結(jié),首先,回顧解本題用到哪些知識?其次,回顧本題的解題方法是什么?在思考過程中哪里出現(xiàn)了思路中斷或者受到阻礙的原因是什么?在哪里遇到了什么困惑?如何處理的等.解題結(jié)束后筆者和學(xué)生一起分析回顧解題中零星的想法和凌亂的解題思路,梳理解題過程,揭示解題的盲點(diǎn),突破自己的解題障礙,久而久之,就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn),可以是解題策略,解題元認(rèn)知知識等,它們都是今后解題的經(jīng)驗(yàn)指南.

    以上是筆者選擇高三的學(xué)生進(jìn)行的教學(xué)嘗試,主要是想通過學(xué)生的解題表現(xiàn),發(fā)現(xiàn)其解題能力的長處和不足之處,而這正是整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)果的體現(xiàn),從而據(jù)此能更好地為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供參考建議.

    1.董榮森,姚敬東.細(xì)化概念教學(xué)過程揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)——以“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2015(10).

    2.孔幫新.基于多元表征視角下的解題教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育,2015(12).

    3.史曉偉.高中生數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2014(6).F

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