回歸教材揭本質，學會思考揚理性——三道試題解答引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學　鄭良

回歸教材揭本質，學會思考揚理性——三道試題解答引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學鄭良

哲學家盧梭說過：“誤用光陰比虛擲光陰損失更大，教育錯了的孩子比沒有受到過教育的孩子離智慧更遠.”疲于奔命的我們是否應該稍作停頓嘗試反思：我們的教育是讓孩子智慧更近了還是更遠了呢？“數(shù)學是一種理性的精神，它使人類的思維得以運用到最完善的程度.”（克萊因語）理性思維是數(shù)學的核心思維能力，也是組成個人人格素養(yǎng)的重要部分.發(fā)展理性思維，培養(yǎng)理性精神是數(shù)學學習的核心任務，有利于培養(yǎng)學生求真務實的品格，使其成為有著理性思維的人.階段性考試是教學檢測的一種重要形式，分析考試結果（現(xiàn)象）、反思教學得失、剖析問題根源（成因），進而明確教學方向與改進教學措施.下面筆者以本校高三學生（統(tǒng)一）參加校段考及市統(tǒng)考所反映出來的問題為例，結合教學實踐談談教學理解與感悟.

一、案例呈現(xiàn)與剖析

例1已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合M=｛0，1，2，…，q-1｝，集合A=｛x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…，n｝.

（Ⅰ）當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；

（Ⅱ）設s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n，證明：若an

本題作為“不等式”模塊段考題，取自2014年高考天津卷理科第19題，主要考查集合的含義與表示、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的證明等知識，考查運算求解能力、分析問題和解決問題的能力.第（Ⅰ）問把n和q的值代入，用列舉法表示出集合A，第（Ⅱ）問s與t作差，根據(jù)an

解：（Ⅰ）當q=2，n=3時，M=｛0，1｝，A=｛x|x=x1+x2·2+ x3·22，xi∈M，i=1，2，3｝，可得A=｛0，1，2，3，4，5，6，7｝.

（Ⅱ）證明：由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

大部分學生及部分教師對第（Ⅱ）問給出以下解答（以下簡稱錯證）：

由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

點評：上述錯證的著眼點與關鍵為“an

本題的本質是數(shù)的進制，設k是大于1的整數(shù)，那么，任一個正整數(shù)N總可以寫成N=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0，其中0

例2已知平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求的最小值.

本題作為“不等式”模塊段考題，取自2011年高考湖南卷文科第21題.考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系，考查數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法，考查分析問題與解決問題的能力.第（Ⅰ）問只要按照直接法求曲線方程即可，第（Ⅱ）問使用其中一條直線的斜率為參數(shù)，建立點A，B，D，E的坐標與參數(shù)k的關系，然后用點的坐標表示數(shù)量積，建立起這個數(shù)量積（目標）關于k的函數(shù)，求出函數(shù)的最值.命題組提供的答案如下：

（Ⅱ）由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設為k，則l1的方程為y=k（x-1）.

圖1　

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是

因為l1⊥l2，所以l2的斜率為-.設D（x3，y3），E（x4，

y4）.同理可得+8=16，當且僅當k2=，即k=±1時取最小值16.

大部分學生對第（Ⅰ）問的解答為：由題意可知，平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到x=-1的距離相等，所以點P的軌跡是以點F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線y2=4x.對于第（Ⅱ）問嘗試將A，B，D，E四點分別用k表示，（計算煩瑣）無疾而終.

點評：曲線與方程是解析幾何的重要內容，概念強調曲線上點的“純粹性”與方程的解的“完備性”.軌跡方程的常見求法為直接法、定義法、相關點法（代入法）、參數(shù)法、交軌法等.消除差異“1”是化歸與轉化思想的體現(xiàn)，學生的想法是自然的，但轉化必須等價，當x≥0時，點P到直線x=-1的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，當x＜0時，此規(guī)則不滿足，取而代之，點P到直線x=1的距離比它到y(tǒng)的距離多1，考慮到點F（1，0）在直線x=1上，點P的軌跡為過點F（1，0）且垂直于x=1的直線的一部分，這些內容完全是拋物線定義（平面內到定點F的距離和它到定直線l（定點F不在定直線l上）的距離的比為常數(shù)1）的解讀.原題等價于動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=±1的距離相等.學生的錯解可修正為：

解法2：（Ⅰ）原題等價于動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=±1的距離相等.若直線是x=1，則軌跡是一條射線，方程為y=0（x＜0）；若直線是x=-1，則由定義知，軌跡是拋物線，其方程為y2=4x（x≥0）.

對于第（Ⅱ）問，若分別用k表示A，B，D，E，位置關系有兩種（如保持圖1中A，B位置不變，調整D，E位置），結果一樣嗎？運動變化中有無不變性？能用不同的方式求解嗎？考慮到互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為0，嘗試化歸與轉化為拋物線的焦點弦問題，解法1思路自然清晰.確定直線的條件為直線上的一點與方向或直線上不同的兩點，解法1用直線的斜率來刻畫方向，用焦半徑公式（圓錐曲線的第二定義）來表示曲線上點到焦點距離.還能怎么表示？

（Ⅱ）由題意設FA，F(xiàn)B，F(xiàn)D，F(xiàn)E的有向線段的長度分別為t1，t2，t3，t4，設直線l1的方程為與y2=4x聯(lián)立整理得同理得所

解法3：（Ⅱ）以F為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則軌跡C的極坐標方程為ρ=則|FA|=所以≥16，當且僅當θ=時取等號，即k=±1.

解法1為通性通法，需要學生理解并靈活運用平面向量運算法則，明確解析幾何相關問題的求解思路，熟悉幾何性質及有關定義，通常計算量較大，需要一定的運算能力，解法2與解法3分別利用直線的參數(shù)方程與拋物線的極坐標方程表示長度，充分展示了參數(shù)t，ρ等幾何量的意義與作用，更具針對性.在該試卷中還有類似問題：已知橢圓C1的焦點與雙曲線C2：-y2=1的焦點相同，且雙曲線C2的漸近線與橢圓C1在第一象限內的交點為M若過橢圓C1的左焦點作互相垂直的兩條直線，分別與橢圓C1相交于A、C和點B、D，則四邊形ABCD的面積的最大值與最小值之差為_________.

反復地暗示引領我們解題要因地制宜，突破思維定式，方法與結論可拓展到一般情形的圓錐曲線，本文不再贅述.

為什么學生會出現(xiàn)大面積的錯誤，說明學生缺乏理性思維.曲線與方程反映了曲線C（滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與（一元二次）方程的實數(shù)解的一一對應關系，本質上為兩個對象的充要條件（等價關系）的判定與證明.積累的經驗、結論為方法的發(fā)現(xiàn)、操作的實施提供了可靠的直覺，能否“對號入座”還需邏輯比對、思辨來確認.學生的錯誤根在課堂，教師教學中不注重概念的分析與理解，案例多從正面灌輸，缺乏反面反思、提煉與提升.對于有關拋物線的軌跡問題，文獻［2］多處出現(xiàn)，羅列如下（解答略）：

1.（P73例3）點M到點F（4，0）的距離比它到直線l：x+ 6=0的距離小2.求點M的軌跡.

2.（P73練習2第4題）平面上動點M到定點F（3，0）的距離比M到直線x=-1的距離大2.求動點M滿足的方程，并畫出相應的草圖.

3.（P76習題3-2A組第1題）點M到點F（3，0）的距離等于它到直線的x=-3距離，點M運動的軌跡是什么圖形？你能寫出它的方程嗎？能畫出草圖嗎？

4.（P76習題3-2A組第5題）點M到點F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1.求點M滿足的方程.

例3已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和最大值；

（Ⅱ）若兩不等的正數(shù)m，n滿足mn=nm，函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），求證：f

本題為宿州市2016屆高三第一次教學質量檢測數(shù)學理科第21題，考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間與最值、構造函數(shù)的方法，考查運算求解能力，通過逆用函數(shù)單調性將函數(shù)值的關系轉化為自變量的關系，考查利用化歸與轉化思想分析解決問題的能力以及綜合分析求解實際問題的能力.命題組提供的答案如下：

（Ⅱ）證法1：不妨設0

由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，所以要證f姨<0，只要證，即只要證m+n>2e.

因為02e-m.

因為1e，又n>e，f（x）在（e，+∞）上單調遞減，所以只要證f（n）

令g（x）=（2e-x）lnx-xln（2e-x）（1

圖2　

大部分學生能分析出等價目標m+n>2e，也明晰本題為極值點“偏移”問題（如2011年高考遼寧卷理科第21題，2013年高考湖南卷文科第21題等），第（Ⅰ）問中少數(shù)學生混淆了lnx與lgx，第（Ⅱ）問中不少學生不清楚對數(shù)的基本功能無法對mn=nm變形化歸，化歸后構造函數(shù)應盡量把自變量的范圍控制在（1，e），從而確保2e-x為正數(shù)順利實現(xiàn)分式整式化，本題用等價式判斷g′（x）符號相對麻煩，通過重新審視、估測確定用加強式.

點評：函數(shù)的單調性是中學數(shù)學的核心概念，必修1強調了單調性概念的理解，選修2-2強化了導數(shù)是判斷單調的強有力的工具，以便我們能處理更多較為復雜的函數(shù)問題.極值點“偏移”是實現(xiàn)函數(shù)圖像由對稱向不對稱跨越，借助單調性實現(xiàn)化歸的典型問題，在集體備課時進行過專題研討，但個別教師認為該問題難度較大而不深入鉆研領悟，從學生解答中反映出學生根基不穩(wěn)，解題方向不明（沒有領悟問題的本質），邏輯關系不清，求異、求簡意識不強等問題.下面給出兩種證法：

證法2對g′（x）（h（x））求導確定其單調性及符號，進而確定函數(shù)g（x）的單調性與最值，證法3利用（對數(shù)平均不等式）結論合理化歸.

二、教學感悟

1.界定“核心素養(yǎng)”，明晰培養(yǎng)方向

關注“核心素養(yǎng)”的培育是目前世界各國基礎教育理論研究和實踐變革的重大趨勢.基礎教育課程改革的方向為培養(yǎng)與提升學生的核心素養(yǎng)，（我國界定的）核心素養(yǎng)是指“學生在接受相應學段的教育過程中逐步形成起來的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的人格品質與關鍵能力”［3］什么是素養(yǎng)？素養(yǎng)就是指一個人的素質和修養(yǎng)，是個人的才智、能力和內在涵養(yǎng)，是才干和道德力量的綜合.素養(yǎng)中存在著某種核心的要素，而并不是具體的某種才能或品德，而是理性和理性精神.當一個人建立了理性和理性精神，其才干和品德就會自我提升，素養(yǎng)水平就會越來越高.［4］黑格爾說：“一個志在有大成就的人，他必須知道限制自己，反之，那些什么事都想做的人，其實什么事都不能做成，而終歸于失敗.”一個富有理性的人，恰恰更有希望成為一個情感豐富和有力量的人，因為他能將情感置于理性的控制之下.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》規(guī)定應使學生“具有一定的數(shù)學視野，逐步認識數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數(shù)學的理性精神，體會數(shù)學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”.崇尚數(shù)學的理性精神，主要體現(xiàn)在崇尚數(shù)學的求實、求真、求簡、求新的精神.

2.深化教材理解，發(fā)揮教材功用

例1不僅暴露了學生思維定式，更反映出學生閱讀理解的缺陷.未來社會充斥著信息網絡、多元文化，需要公民掌握先進的科學技術，必先掌握文字工具（讀、寫、算的基本能力），一個連文字工具都沒掌握的人，定然無法打開科學技術的大門，也無法生存于現(xiàn)代社會.教材是文字表述的典范，理應在教學中發(fā)揮更大的作用.數(shù)學是思維之科學.陶行知先生說過：“行動生困難，困難生疑問，疑問生假設，假設生試驗，試驗生斷語，斷語又生了行動，如此演進于無窮.”設疑講究方法，問題既不能讓學生高不可攀，也不能讓學生唾手可得，而應開發(fā)學生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學生“跳一跳”開動大腦積極思維，而后獲得正確的結論.教材作為知識、思想方法的載體，承載著無盡的功能.教師要樹立正確的教材觀，敬畏教材，開發(fā)與利用教材，充分發(fā)揮教材的示范功能.

3.落實終身學習，奠定長遠發(fā)展

盡管基礎教育得到了長足的發(fā)展，但凸顯的弊端與社會發(fā)展的矛盾無法調和，這也是教育改革的必要性與動力.與培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)背道而馳的是教育功利化，師生為了在高考中取得好分數(shù)而想方設法，如統(tǒng)計分析選考題得分情況，只講授得分高的模塊，反復進行“點對點”訓練；在高考復習備考后期針對選擇題、填空題強化特殊技能演練，嘗試低能謀取高分；放棄壓軸題來提高其它題的成功率等，導致學生試卷得到的分數(shù)無法準確反映出學生的真實水平.因此，我們要立足當下，尋找差距，著眼發(fā)展，在現(xiàn)實與理想的中間地帶做足工作.“學生的頭腦并不是一個要被填滿的容器，而是一支需被點燃的火把”，數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性.如在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則除利用一般與特殊的關系，用直角三角形或等邊三角形特例求解外，還可謀求構造性求解，如從2b=a+c>b聯(lián)想橢圓，借助極坐標來推證.因此，教師要養(yǎng)成勤學善思的習慣，才能在教育新形勢下立于不敗之地，才能駕馭課堂，實現(xiàn)以問題為載體，強化探究，讓學生在體驗中夯實知識基礎，感悟思想方法，學會理性思維，感悟理性精神，全面提升素養(yǎng).

1.嚴士健，王尚志，主編.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學3（必修）［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

2.嚴士健，王尚志，主編.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學2-1（必修）［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

3.鐘啟泉.基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題［J］.全球教育展望，2016（1）.

4.鄭杰.教師核心素養(yǎng)的“核心”是理性精神［J］.今日教育，2015（11）.

5.謝建金，董榮森.揭示數(shù)學本質，發(fā)展學生思維能力——以“導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用”教學設計為例［J］.中學數(shù)學（上），2016（4）.Z