基于小波包能量譜的古木結(jié)構(gòu)損傷識別

楊帆，王鑫

（天水師范學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 天水 741001）

基于小波包能量譜的古木結(jié)構(gòu)損傷識別

楊帆，王鑫

（天水師范學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 天水 741001）

通過對古木結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行有限元分析，提出了隨機(jī)激勵作用下古木結(jié)構(gòu)的小波包能量變化率指標(biāo)，表明該指標(biāo)對于古木結(jié)構(gòu)的損傷比較敏感，可以準(zhǔn)確地判定古木結(jié)構(gòu)損傷出現(xiàn)的位置，損傷程度越大，此指標(biāo)越大。隨后又提出了古木結(jié)構(gòu)損傷程度的判定方法，并驗(yàn)證了其適用性，為研究環(huán)境激勵下古木結(jié)構(gòu)的損傷識別奠定了理論基礎(chǔ)。

古木結(jié)構(gòu)；有限元；小波包能量譜；損傷識別；小波包能量變化率

0　引言

古木結(jié)構(gòu)在環(huán)境的侵蝕下、材料出現(xiàn)的老化和荷載的長期作用及其疲勞效應(yīng)下，難免會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的損傷，因此需要在第一時間結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)及時發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的損傷并進(jìn)行預(yù)警。傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)不能準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)的損傷，大多數(shù)是通過振動的損傷評估方法由瞬態(tài)信號的傅立葉變換得出模態(tài)參數(shù)[1,2]，而傅立葉變換最大缺陷是對高頻模態(tài)分析不足，從時域到頻域的變換過程中時域的信息會丟失，不可能準(zhǔn)確評價結(jié)構(gòu)的損傷特性。小波分析有放大、縮小和平移等功能，通過檢查不同放大倍數(shù)下的變化來研究信號的變化特征，有優(yōu)良的時-頻域特性，但缺點(diǎn)是高頻段分辨率差。小波包變換是小波變換的擴(kuò)充，它將頻帶多層次劃分，對多分辨分析沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步來分解，通過分析信號的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，提高了時-頻分辨率，因此小波包應(yīng)用更加廣泛。

丁幼亮等[3]提出了小波包能量譜的大跨橋梁結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警指標(biāo)，劉濤等[4]在小波包能量譜的損傷預(yù)警基礎(chǔ)上建立了大跨懸索橋損傷預(yù)警方法，Hong等[5]對模態(tài)振型進(jìn)行連續(xù)的小波變換，利用Lipschitz指數(shù)判定損傷出現(xiàn)的位置，李功宇等[6]采用曲率模態(tài)分析方法準(zhǔn)確識別懸臂梁損傷出現(xiàn)位置，并進(jìn)一步判斷懸臂梁的損傷程度，韓建剛等[7]提出小波包變換的能量變化率指標(biāo)對梁體進(jìn)行損傷定位研究。

本文提出小波包能量變化率指標(biāo)對古木結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別，表明小波包能量變化率指標(biāo)對于損傷識別較敏感，能夠準(zhǔn)確地判定損傷的具體位置，隨后研究了小波包能量變化率指標(biāo)應(yīng)用于古木結(jié)構(gòu)損傷識別的有效性。

1　小波包分析

小波包由小波函數(shù)線性組合而成，其中i、j、k分別為小波包函數(shù)的頻率參數(shù)、尺度參數(shù)和平移參數(shù)：

小波函數(shù)ψi由右式求解:

對于任意信號的第j階和第j+1階小波包分解的遞推關(guān)系是:

其中，H和G分別表示對應(yīng)于h(k)和g(k)的濾波算子，經(jīng)過j水平的小波包分解后，初始信號f(t)為:

小波包系數(shù)為:

2　損傷識別參數(shù)的選擇

2.1選擇合理的小波函數(shù)

從消失矩和支撐長度來看，選用Daubechies損傷定位的小波函數(shù)。N越大，Daubechies的消失矩越高，時域的分辨率越好；但Daubechies支撐長度越寬，小波的時域局域性越差。因此需合理確定Daubechies小波階次N。

對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)進(jìn)行第i層小波包分解，fij表示第i層分解節(jié)點(diǎn)(i，j)上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，每個頻帶的結(jié)構(gòu)響應(yīng)fij能量為[8]:

結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)在第i分解層的小波包能量譜向量Ei為:

小波包能量譜各頻帶能量系數(shù)Eij時頻集中程度通過代價函數(shù)M{Eij}來反映，采用lp范數(shù)熵作為代價函數(shù)，在同一小波包分解層上，計(jì)算不同小波函數(shù)的代價函數(shù)值，確定較適合的Daubechies小波階次N。通常不同的階次計(jì)算小波函數(shù)的代價函數(shù)值越小越好，lp范數(shù)熵(1≤p≤2)為[8]：

2.2選擇合理的小波包分解層數(shù)

實(shí)際工程中把結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)進(jìn)行小波包分解，計(jì)算每一分解層次上的小波包能量譜的代價函數(shù)，由代價函數(shù)和計(jì)算時間綜合考慮來確定適當(dāng)?shù)男〔ò纸鈱哟?，通常小波包能量譜代價函數(shù)值越小，計(jì)算機(jī)計(jì)算消耗時間越少，小波包分解層次將越好。類似選擇小波函數(shù)階次，采用lp范數(shù)熵代價函數(shù)來確定合適的小波包分解層數(shù)，lp范數(shù)熵(1≤p≤2)為[8]：

2.3小波包能量變化率指標(biāo)

定義j水平下的信號能量Efj為:

由正交性條件得到:

任偉新等[9,10]定義能量變化率指標(biāo)，j分解水平下信號小波包能量變化率指標(biāo)Δ(Efj)為：

本文進(jìn)一步提出對損傷定位更敏感的指標(biāo)——新的能量變化率指標(biāo)NΔ(Efj)：

3　算例

3.1古木結(jié)構(gòu)的損傷模擬

本文采用有限元軟件對環(huán)境激勵下一榀古木框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷模擬，選取木梁長4 m，木柱高6m，梁截面尺寸為300 mm×700 mm，柱截面直徑500 mm。梁柱榫卯連接采用Combinl4單元。用beam188梁單元模擬木柱、木梁，榫卯連接的彎曲剛度為[11]：1×1010kN·m/rad，木材的彈性模量取1×1010N/m2，泊松比為0.25，密度為410 kg/m3，采用Rayleigh定義的粘性比例阻尼。計(jì)算中未考慮屋面質(zhì)量，墻體不承重，不予考慮。柱子擱置在凹槽柱礎(chǔ)上，不能完全限制柱子轉(zhuǎn)動，柱與基礎(chǔ)連接簡化成固定鉸支座的力學(xué)模型符合實(shí)際情況[12,13]，建立古木結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖1所示。

圖1　古木結(jié)構(gòu)的有限元模型(a)和節(jié)點(diǎn)詳圖(b)

在模型支座1施加水平方向的激勵荷載選用交通荷載[14]，激勵荷載的時程曲線及頻譜如圖2所示，獲得結(jié)構(gòu)的加速度荷載時程，采用Matlab程序計(jì)算了小波包能量譜。

圖2　激勵荷載的時程曲線圖（a）及頻譜曲線圖（b）

表1　列出了古木結(jié)構(gòu)的損傷工況，損傷程度通過折減損傷單元的彈性模量來實(shí)現(xiàn)，其中10%、18%、20%分別指損傷單元的彈性模量減少10%、18%、20%[8]。

對損傷工況1、2進(jìn)行分析，得出完好結(jié)構(gòu)和損傷工況1、2梁跨中第31節(jié)點(diǎn)的豎向加速度時程曲線如圖3所示。從圖3看出各損傷工況的信號有一定差別，但很難判斷出古木結(jié)構(gòu)的損傷情況。因此下面從小波函數(shù)的選擇、小波分解層次的選擇、損傷定位參數(shù)的選擇討論古木結(jié)構(gòu)的損傷識別過程。

3.2確定計(jì)算參數(shù)

3.2.1小波函數(shù)的選擇

因梁跨中撓度較大，以完好結(jié)構(gòu)梁跨中第31節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)為例，采用不同階次Daubechies小波對其進(jìn)行小波包分解，分解層次為4，計(jì)算范數(shù)熵代價函數(shù)值如表2所列。從表2看出小波階次為20時，范數(shù)熵為5592.46，其值相對其他小波階次最小，因此損傷識別的小波函數(shù)選取Daubechies20。

圖3　梁跨中第31節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)圖示

表2　分解層次為4時不同db小波的代價函數(shù)值一覽表

3.2.2小波包分解層數(shù)的選擇

采用Daubechies20小波對梁跨中第31節(jié)點(diǎn)完好狀態(tài)下的豎向加速度響應(yīng)進(jìn)行小波包分解，分解層次分別取1～8，計(jì)算lp范數(shù)熵的代價函數(shù)值如表3所列。從表3看出分解層次為4時，代價函數(shù)值為5592.46，相應(yīng)計(jì)算時間為0.109 s，代價函數(shù)和計(jì)算時間均相對較小，因此損傷識別的小波包分解層次取4。

表3　Daubechies 20不同分解層次的代價函數(shù)值和計(jì)算時間一覽表

3.3損傷識別的判定

本文選擇db20對梁上各節(jié)點(diǎn)完好結(jié)構(gòu)和損傷工況1、2的豎向加速度響應(yīng)信號進(jìn)行小波包分解，分解層次取4。運(yùn)用公式（16）求出各節(jié)點(diǎn)的能量變化率指標(biāo)，再將其值與梁上各節(jié)點(diǎn)編號繪制如圖4所示。

圖4　小波包能量變化率指標(biāo)柱狀圖(一)

從圖4（a）、(b)看到，梁跨中節(jié)點(diǎn)31小波包能量變化率指標(biāo)數(shù)值最大，與它相鄰的節(jié)點(diǎn)30、32值次之，離節(jié)點(diǎn)31越遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)值越小，到節(jié)點(diǎn)27、35值最小，可以判定在節(jié)點(diǎn)30、31、32之間存在損傷，正好是梁的損傷單元52、53所在位置，可判定在此處發(fā)生了損傷，此指標(biāo)可準(zhǔn)確地判定梁的損傷位置。隨著損傷程度增大，小波包能量變化率指標(biāo)的值在增大，因此可以定量和定性地判斷古木結(jié)構(gòu)梁的損傷情況。

同樣對上述梁各節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)信號進(jìn)行小波包分解，小波函數(shù)和分解層次與上述相同，能量變化率指標(biāo)采用公式(17)計(jì)算，得到各損傷工況下梁上各節(jié)點(diǎn)的能量變化率指標(biāo)如圖5所示。

圖5　小波包能量變化率指標(biāo)柱狀圖（二）

從圖5（a）、(b)同樣看出，節(jié)點(diǎn)31能量變化率指標(biāo)最大，與它相鄰的節(jié)點(diǎn)30、32的值次之，離節(jié)點(diǎn)31越遠(yuǎn)的值越小，到節(jié)點(diǎn)27、35值最小，可判定在節(jié)點(diǎn)30、31、32間存在損傷，與損傷工況1、2的損傷單元52、53所在位置吻合，可判定在此處發(fā)生損傷，此指標(biāo)可準(zhǔn)確地判定梁的損傷位置。工況2的能量變化率指標(biāo)明顯比工況1大，與工況2的損傷程度大于工況1相符。隨著損傷程度增大，能量變化率指標(biāo)增大，因此可以定量和定性地判斷古木結(jié)構(gòu)梁的損傷情況。比較圖4、圖5可看出，相同的損傷工況、選用相同的小波函數(shù)和分解層次，采用式（17）能量變化率指標(biāo)明顯大于式（16）能量變化率指標(biāo)，說明本文提出的能量變化率指標(biāo)能更加敏感地表征古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置，而且損傷程度越大，小波包能量變化率指標(biāo)越大。

3.4判定損傷程度

由圖4、圖5可看出，損傷指標(biāo)的圖形形狀基本相似，數(shù)值大小有差異。設(shè)想若能找到損傷程度和損傷指標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系，畫出其關(guān)系曲線，知道了損傷指標(biāo)，就可以判斷損傷程度了。

假設(shè)古木結(jié)構(gòu)梁跨中出現(xiàn)損傷，對梁跨中損傷程度10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%進(jìn)行數(shù)值模擬，得到相應(yīng)的豎向加速度信號，由式（17）計(jì)算梁跨中的損傷指標(biāo)——小波包能量變化率指標(biāo)，采用matlab數(shù)值擬合找到節(jié)點(diǎn)31損傷程度與損傷指標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，各損傷工況節(jié)點(diǎn)31的損傷識別指標(biāo)如表4所列，繪出其關(guān)系曲線如圖6所示。

表4　損傷識別指標(biāo)一覽表

圖6　損傷程度與損傷指標(biāo)的關(guān)系曲線圖

由圖6得到損傷指標(biāo)和損傷程度的函數(shù)關(guān)系式為：y=0.01668x2-0.1002x+2.703，對某損傷程度的結(jié)構(gòu)施加一定的激勵荷載，得到相應(yīng)的加速度時程曲線，進(jìn)行小波包分解，用式（17）求出損傷指標(biāo)，就能在圖6找到相應(yīng)的損傷程度。

有效性的驗(yàn)證：假設(shè)梁跨中損傷程度為18%，對損傷工況3進(jìn)行數(shù)值模擬，得到梁上各節(jié)點(diǎn)的豎向加速度時程曲線，進(jìn)行小波包分解，繪制損傷指標(biāo)如圖7所示，節(jié)點(diǎn)31的損傷指標(biāo)值y=6.590，由圖6曲線可逆推出x=18.56%，誤差為3.1%，因此該損傷指標(biāo)與損傷程度的關(guān)系式能對古木結(jié)構(gòu)的損傷程度進(jìn)行較準(zhǔn)確的識別。

圖7　工況3小波包能量變化率指標(biāo)柱狀圖

4　結(jié)　語

（1）本文提出了小波包能量變化率指標(biāo)，對隨機(jī)荷載作用下的古木結(jié)構(gòu)梁上各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號進(jìn)行小波包分解，然后計(jì)算此指標(biāo)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷定位。

（2）小波包的能量變化率指標(biāo)對于古木結(jié)構(gòu)梁的損傷較敏感，可準(zhǔn)確地判定古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置。本文提出的能量變化率指標(biāo)更能表征古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置，損傷程度越大，小波包能量變化率指標(biāo)越大。

（3）在損傷位置判定的情況下，又提出損傷程度的判定方法并驗(yàn)證了其有效性，為研究環(huán)境激勵下古木結(jié)構(gòu)的損傷識別奠定了理論基礎(chǔ)。

[1]FarrarCR,JaureguiDA.Comparativestudyofdamage identification algorithms applied to a bridge:I.Experiment[J]. Smart Mater.Struct,1998（7）:704-719.

[2]FarrarCR,JaureguiDA.Comparativestudyofdamage identification algorithms applied to a bridge:II.Numerical Study [J].Smart Mater.Struct.,1998（7）:720-731.

[3]丁幼亮,李愛群,繆長青,等.基于小波包能量譜的大跨橋梁結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警指標(biāo)[J].中國 公路 學(xué)報(bào),2006,19(5):34-40.

[4]劉濤,李愛群,丁幼亮,等.大跨懸索橋損傷預(yù)警方法[J].特種結(jié)構(gòu)，2005，22(3):83-85.

[5]Hong JC,Kim YY,Lee Hc.et.all.Damage detection using the Lipschitz exponent estimatedby the wavelet transform:application to Vibration modes of a beam[J].Int.J.Solids,stnlct.,2002（39）: 1803-1816.

[6]李功宇,鄭華文.損傷結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)分析[J].振動、測試與診斷,2002,22(2):136-141.

[7]Han JG,Sun ZS,Ren WX.Wavelet based damage identification of beams[A].In:Proceedings of the eighth international symposium on structural engineering for young experts[c].Beijing:sp,2004：356-363.

[8]李愛群,丁幼亮.工程結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[9]Jian-Gang Han,Wei-Xin Ren,Zeng-Shou Sun.Wavelet packet based damage identification of beam structures[J].International Journal of Solids and Structures,2005（42）：6610-6627.

[10]韓建剛,任偉新,孫增壽.基于小波包變換的梁體損傷識別[J].振動、測試與診斷,2006,26(1):5-10.

[11]孟昭博.西安鐘樓的交通振動響應(yīng)分析及評估[D].西安:西安建筑科技大學(xué)，2009.

[12]孟昭博,袁俊,吳敏哲,等.古建筑高臺基對地震反應(yīng)的影響[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008，40(6):835-840.

[13]趙均海,俞茂宏,高大峰,等.中國古代木結(jié)構(gòu)的彈塑性有限元分析[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),1999,31(2):131-133.

[14]韓廣森.城市軌道交通微幅振動對古建筑的影響[D].西安:西安建筑科技大學(xué),2011.

TU312

A

1009-7716（2016）03-0177-05

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.03.051

2015-11-30

楊帆（1969-），男，甘肅慶陽人，講師，院長，從事土木工程方面的教學(xué)與研究工作。