利用函數(shù)知識(shí)巧解規(guī)律探索題

王維松

利用函數(shù)知識(shí)巧解規(guī)律探索題

王維松

規(guī)律探索問題是中考常考題型，類型比較多，此類題型解法也多種多樣，有一些規(guī)律探索問題根據(jù)數(shù)字規(guī)律，巧用函數(shù)知識(shí)可以很快解決.其關(guān)鍵是把變量和序號(hào)放在一起加以比較，就容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.

一、巧用一次函數(shù)解題

例1有一列數(shù)：8，14，20，26，32，……，則第20個(gè)數(shù)是_______.

【解析】第一個(gè)數(shù)是8，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A，則A（1，8）；

第二個(gè)數(shù)是14，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B，則B（2，14）；

第三個(gè)數(shù)是20，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C，則C（3，20）.

設(shè)第n個(gè)數(shù)為y=kn+b，

把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：解得：k=6，b=2，用C點(diǎn)檢驗(yàn)，符合題意，正確.

所以規(guī)律為y=6n+2.取n=20，則y=122.

【點(diǎn)評(píng)】我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差相等，便可運(yùn)用一次函數(shù)求解規(guī)律探索問題，只要把序號(hào)作為自變量，每個(gè)變量作為函數(shù)值，用待定系數(shù)法就可以解決.

例2用邊長(zhǎng)為1 cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長(zhǎng)是_______cm（用含n的代數(shù)式表示）.

【解析】第一個(gè)圖周長(zhǎng)是4 cm，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A，則A（1，4）；

第二個(gè)圖周長(zhǎng)是8 cm，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B，則B（2，8）；

第三個(gè)圖周長(zhǎng)是12 cm，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C，則C（3，12）.

設(shè)第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)為y=kn+b，

把A（1，4），C（3，12）分別代入y=kn+b中得：解得：k=4，b=0，

用B點(diǎn)檢驗(yàn)，符合題意，正確.

所以規(guī)律為y=4n.

即第n次所搭圖形的周長(zhǎng)是4n cm.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于此類型的題目，我們應(yīng)該先觀察圖形排列順序的規(guī)律，然后把它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)規(guī)律用函數(shù)模型表示圖形的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律加以解答.

二、巧用二次函數(shù)解題

例3有一列數(shù)1，3，6，10，15，21，……，第50個(gè)數(shù)是_______.

【解析】本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試.

當(dāng)序號(hào)為1時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是1，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A，則A（1，1）；

當(dāng)序號(hào)為2時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是3，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B，則B（2，3）；

當(dāng)序號(hào)為3時(shí)，對(duì)應(yīng)的值是6，由序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C，則C（3，6）.

對(duì)應(yīng)的數(shù)值y是序號(hào)n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=an2+bn+c.

把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中，得：

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，y=10，正確.

∴第50個(gè)數(shù)是1275.

【點(diǎn)評(píng)】一組數(shù)據(jù)，每相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)作差得到的新數(shù)據(jù)等差，如果是4組以上的數(shù)據(jù)，就可以任取三個(gè)數(shù)據(jù)，用函數(shù)關(guān)系y= ax2+bx+c列出方程組，分別求出a、b、c的值，再將第四組數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，如果不正確，說明不能用函數(shù)找規(guī)律.

例4下圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為1，5，12，22，……被稱為五角形數(shù)，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則第n個(gè)五角形數(shù)m是_______.

【解析】觀察圖形的序號(hào)與點(diǎn)數(shù)有下列關(guān)系：

序號(hào)：1234……

點(diǎn)總數(shù)：151222……

設(shè)m與n的函數(shù)解析式是m=an2+bn+c

【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)，如果題中隱去了序列號(hào)，要加上序列號(hào)，以便列出方程組求解.

三、運(yùn)用其他類型函數(shù)解題

例5觀察下列圖形（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請(qǐng)寫出第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)有（）個(gè).

A.4nB.3n-2

C.n4D.4n-1

【解析】觀察本圖形，會(huì)發(fā)現(xiàn)序號(hào)與三角形個(gè)數(shù)關(guān)系十分復(fù)雜，但根據(jù)所給選項(xiàng)知道結(jié)果是冪的形式，且呈現(xiàn)以下規(guī)律：

序號(hào)：1234……

點(diǎn)總數(shù)：1222426……

設(shè)三角形的個(gè)數(shù)為y=2an+b，代入上述兩組數(shù)據(jù)，得

解這個(gè)方程組得：a=2，b=-2，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，y=16，正確.

∴第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)為y=22n-2=4n-1，選D.

【點(diǎn)評(píng)】一般地運(yùn)用an類型函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)商相等.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校）