Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析

李創(chuàng)第， 李 暾， 尉宵騰， 葛新廣， 鄒萬(wàn)杰

(1.廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 柳州 545006； 2. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004)

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Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析

李創(chuàng)第1， 李 暾1， 尉宵騰2， 葛新廣1， 鄒萬(wàn)杰1

(1.廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 柳州 545006； 2. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004)

對(duì)單自由度廣義Maxwell和多自由度Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先通過(guò)構(gòu)建單自由度和多自由度耗能結(jié)構(gòu)在原始空間和擴(kuò)階空間上的特征值和特征向量的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系，將耗能結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力的時(shí)域響應(yīng)計(jì)算公式用結(jié)構(gòu)原始空間上的特征值和特征向量解析表出；然后針對(duì)7種經(jīng)典均勻調(diào)制白噪聲地震激勵(lì)和2種經(jīng)典均勻調(diào)制濾過(guò)白噪聲地震激勵(lì)，獲得了耗能結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力的非平穩(wěn)均方響應(yīng)的解析解，并使耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)的解析分析與計(jì)算，完全轉(zhuǎn)化為耗能結(jié)構(gòu)在原始空間的特征值和特征向量的解析分析與計(jì)算，從而構(gòu)建了基于耗能結(jié)構(gòu)非擴(kuò)階特征值和特征向量分析，獲得耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析解的一整套方法。

Maxwell阻尼器；耗能結(jié)構(gòu)；阻尼器受力響應(yīng)；非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；解析解

黏滯和黏彈性阻尼器等被動(dòng)控制技術(shù)已被廣泛應(yīng)用[1-4]。由于實(shí)際地震動(dòng)具有非平穩(wěn)隨機(jī)特性，各種均勻調(diào)制白噪聲和濾過(guò)白噪聲非平穩(wěn)地震動(dòng)模型已用于結(jié)構(gòu)分析[5-11]，故分析阻尼器耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)特性具有理論和工程意義。Maxwell模型阻尼器本構(gòu)方程簡(jiǎn)單，易于擴(kuò)階，模型計(jì)算參數(shù)便于從試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合[12-13]，且一般流體阻尼器比較符合Maxwell模型，黏彈性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示或用廣義Maxwell模型表示，故Maxwell模型阻尼器耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性分析受到日益重視[14-17]。文獻(xiàn)[14]用擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法分析了Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)特性；文獻(xiàn)[15-16]用擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法分析了Maxwell黏滯阻尼器耗能結(jié)構(gòu)在Knain-Tajimi譜隨機(jī)地震作用下的位移平穩(wěn)方差響應(yīng)，由于尚未獲得平穩(wěn)響應(yīng)解析解，故研究側(cè)重于大量數(shù)值計(jì)算結(jié)構(gòu)的歸納與總結(jié)；而且上述研究均尚未涉及對(duì)耗能結(jié)構(gòu)安全有重大影響的阻尼器受力的響應(yīng)分析；此外，采用常規(guī)擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法，導(dǎo)致耗能結(jié)構(gòu)在原始空間和擴(kuò)階空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，擴(kuò)階變量多，計(jì)算效率低，工程人員較難理解。

本文通過(guò)構(gòu)建耗能結(jié)構(gòu)在原始空間和擴(kuò)階空間上特征值和特征向量的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系，獲得耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)位移、速度、特別是阻尼器受力響應(yīng)的解析解，建立耗能結(jié)構(gòu)基于非擴(kuò)階特征值和特征向量分析的非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析解的一整套分析方法。

1 單自由度耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析式

1.1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

(1)

(2)

式中：阻尼器松弛參量μj=kj/cj，(j=1,2,…,n)。

圖1 單自由度耗能結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of the SDOFenergy dissipation structure

將式(2)代入式(1)，運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為：

(3)

式中:頻率、阻尼比和阻尼參量ω0、ξ0和βj分別為：

1.2 原始結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

在零初始條件下，對(duì)方程(3)取拉氏變換，得：

(5)

(6)

由文獻(xiàn)[18]，結(jié)構(gòu)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的特征向量uj的方程為：

(7)

D(sj)uj=0

(8)

由上述兩式，可求得原始結(jié)構(gòu)(n+2)個(gè)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的非零特征向量uj，(j=1～n+2)。

1.3 擴(kuò)階結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

(1)擴(kuò)階結(jié)構(gòu)方程

令：

(9)

(10)

則原始結(jié)構(gòu)方程(3)可擴(kuò)階為：

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

由線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論[19]，擴(kuò)階方程組(11)的穩(wěn)定條件是其所有特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，故引入擴(kuò)階變量v(t)和yj(t) (j=1,2,…,n)后，原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(3)的參數(shù)ω0、ξ0、μl、βl(l=1,2,…,n)的取值范圍是：使擴(kuò)階方程組(11)的所有特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)的一切值。至于具體分析，可按常用的Routh-Hurwitz判據(jù)分析即可[19]。

(2)擴(kuò)階結(jié)構(gòu)特征值分析

方程(11)的特征值方程為：

其中：I為 (n+2)階單位矩陣。當(dāng)n=1時(shí)，將行列式按最后一列展開(kāi)，得：

(16)

當(dāng)n=2時(shí)，將行列式按最后一列展開(kāi)，并利用式(16)，得：

(17)

以此類推，當(dāng)n=n時(shí)，特征值方程(15)化為：

(18)

故原始結(jié)構(gòu)和擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的特征值方程(7)和(18)完全相同，所求的的特征值sj(j=1～n+2)也完全相同。

(3)擴(kuò)階結(jié)構(gòu)特征向量分析

方程(11)與特征值sj對(duì)應(yīng)的右、左模態(tài)φj和ψj方程為：

[Isj+A]φj=0

(19)

[Isj+A]Tψj=0

(20)

其中：j=1～n+2。

令：

(21)

將式(21)代入式(19)，并經(jīng)化簡(jiǎn)，可得：

D(sj)φ1j=0

(22)

φ2j=sjφ1j

(23)

(24)

對(duì)比式(8)和(22)知，φ1j=uj；故右復(fù)模態(tài)φj為：

(25)

同理，由式(20)，可得：

ψj=

(26)

式(18)、(25)、(26)表明：擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的特征值與原始結(jié)構(gòu)的特征值完全相同，且擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的特征向量可用原始結(jié)構(gòu)的特征向量表出。

1.4 擴(kuò)階結(jié)構(gòu)響應(yīng)的降階解析式

由復(fù)模態(tài)理論[20]，在零初始條件下，擴(kuò)階方程(11)的解為：

(27)

(28)

式中：

(29)

(30)

γj=2sj+2ξ0ω0+

(31)

故結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)為：

(32)

式中：

(33)

同理，結(jié)構(gòu)速度和阻尼器受力響應(yīng)分別為：

(34)

(35)

式中：

(36)

式(32)、(34)、(35)表明：結(jié)構(gòu)的各種響應(yīng)s(t)的計(jì)算歸結(jié)于原始結(jié)構(gòu)的特征值sj的計(jì)算，s(t)有統(tǒng)一形式的表達(dá)式：

(37)

2 多自由度耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析式

2.1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

圖2 多自由度耗能結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Calculation diagram of the Multi-DOFenergy dissipation structure

(38)

(i=1,2,…,n)

(39)

式中:阻尼器松弛參量αi、阻尼器向量p、位置轉(zhuǎn)換向量J和矩陣Tp分別為：

αi=k0i/c0i，(i=1,2,…,n)

(40)

(41)

(42)

(43)

將式(39)代入式(38)，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可化為：

式中，阻尼器系統(tǒng)的松弛矩陣h(t)為：

(46)

2.2 原始結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

在零初始條件下，對(duì)方程(45)取拉氏變換，得：

(47)

(48)

由文獻(xiàn)[18]，結(jié)構(gòu)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的特征向量uj的方程為：

(49)

D(sj)uj=0

(50)

由上述兩式，可求得原始結(jié)構(gòu)3n個(gè)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的非零特征向量uj，(j=1～3n)。

2.3 擴(kuò)階結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

(1)擴(kuò)階結(jié)構(gòu)方程

令：

(51)

可將結(jié)構(gòu)方程(38)、(39)擴(kuò)階為：

(52)

式中：

(53)

(54)

(55)

顯然，引入擴(kuò)階變量v(t)后，系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的取值范圍是使擴(kuò)階方程組(52)的所有特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)的一切值[19]，至于具體分析，可按常用的Routh-Hurwitz判據(jù)分析即可[19]。

(2)結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

擴(kuò)階方程(52)的特征值λj對(duì)應(yīng)的右、左特征向量Φj和Ψj方程分別為：

[Bλj+A)]Φj=0

(56)

[Bλj+A]TΨj=0

(57)

令：

(58)

將式(58)代入式(56)，并經(jīng)化簡(jiǎn)，可得：

D(λj)φ1j=0

(59)

φ2j=λjφ1j

(60)

(61)

對(duì)比式(50)和(59)知，擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的3n個(gè)特征值λj=sj，右特征向量Φj的分量φ1j=uj，故擴(kuò)階右特征向量Φj與原特征向量uj的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

(62)

同理，由式(57)，可得Ψj與uj的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

(63)

式(59)、(62)、(63)也表明：擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的特征值與原結(jié)構(gòu)的特征值完全相同，且擴(kuò)階結(jié)構(gòu)的特征向量可用原始結(jié)構(gòu)的特征向量表出。

2.4 擴(kuò)階結(jié)構(gòu)響應(yīng)的降階解析式

由復(fù)模態(tài)理論[20]，在零初始條件下，擴(kuò)階方程(52)的解為：

(64)

(65)

(66)

(67)

故結(jié)構(gòu)各種響應(yīng)降階解析式為：

(68)

(69)

(70)

式(69)～(70)表明：結(jié)構(gòu)的各種響應(yīng)計(jì)算歸結(jié)于原結(jié)構(gòu)特征值sj和特征向量uj的計(jì)算。

(71)

(72)

(73)

由式(68)～(70)，結(jié)構(gòu)位移、速度、阻尼器等組合響應(yīng)S(t)均可統(tǒng)一表示為：

(74)

3 耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)解析式

3.1 非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型

(75)

(76)

(77)

式中：E[·]表示取數(shù)學(xué)期望值；S0為地震譜強(qiáng)度；δ(·)為dirac函數(shù)。

由于函數(shù)δ(τ)的性質(zhì)，取I(t)=2πA2(t)為調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)，則式(77)可進(jìn)一步表示為：

(78)

(79)

(80)

(81)

q=-α+jβ

(82)

(83)

(84)

相關(guān)參數(shù)S0、ωg、ξg的具體取值可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

3.2 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)表達(dá)式

由式(37)和(74)知，對(duì)應(yīng)于單和多自由度Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)，它們的位移、速度、層間位移、層間速度、阻尼器受力等一般結(jié)構(gòu)響應(yīng)量S(t)均可統(tǒng)一表示為：

(85)

式中：N為減震結(jié)構(gòu)特征值的總數(shù)；ρj為結(jié)構(gòu)響應(yīng)S(t)對(duì)應(yīng)的已知組合系數(shù)；bj(t)為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)對(duì)地震激勵(lì)的響應(yīng)，即：

(86)

(87)

由式(85)和(87)，結(jié)構(gòu)一般響應(yīng)S(t)的非平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)的表達(dá)式為：

E[S(t)S(t+τ)]=

(88)

(89)

3.3 均勻調(diào)制白噪聲地震激勵(lì)下的響應(yīng)特性

將式(78)代入式(89)，可得此種情況響應(yīng)特性的表達(dá)式為：

(90)

下面給出幾種經(jīng)典調(diào)制情況下上式的具體解析解。

3.3.1 階躍型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)

由于：

(91)

故式(90)化為：

(92)

3.3.2 余弦型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)[10]

由于：

I(t)=U(t)(c+dcosωt)

(93)

式中：c,d,ω為已知常數(shù)；c≥d。

故式(90)化為：

(94)

3.3.3 正弦型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)[10]

由于：

I(t)=U(t)(c+dsinωt)

(95)

式中：c,d,ω為已知常數(shù)；c≥d。

故式(90)化為：

(96)

3.3.4 分段連續(xù)型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)[6]

由于：

(97)

式中：I0,c,t1,t2均為常數(shù)。

故式(90)化為：

0≤t≤t1

(98)

t1≤t≤t2

(99)

t≥t2

(100)

3.3.5 Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)[7]

由于：

A(t)=U(t)(e-a1t-e-a2t)

(101)

I(t)=2πU2(t)(e-a1t-e-a2t)2

(102)

式中：a1、a2為常數(shù)。

故式(90)化為：

(103)

3.3.6 Iyengar型調(diào)幅函數(shù)

由于：

A(t)=U(t)(b+ct)e-at

(104)

I(t)=2πU2(t)(b+ct)2e-2at

(105)

式中：a,b,c為常數(shù)。

故式(90)化為：

(106)

3.3.7 Goto-Toki型調(diào)幅函數(shù)[9]

由于：

(107)

(108)

式中：A0,tp為常數(shù)。

故式(90)化為：

(109)

3.4 均勻調(diào)制濾過(guò)白噪聲地震激勵(lì)下的響應(yīng)特性

將式(79)代入式(89)，可得此種情況響應(yīng)特性的表達(dá)式為：

(110)

下面給出2種經(jīng)典調(diào)制情況下上式的具體解析解。

3.4.1 階躍型調(diào)制強(qiáng)度函數(shù)

由于：

A(t)=U(t)

(111)

故式(110)化為：

(112)

3.4.2 Shinozuka-Sato型調(diào)幅函數(shù)[7]

由式(101)，故式(110)化為：

(113)

4 算 例

圖3 單自由度耗能結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.3 Calculation diagram of the SDOF energy dissipation structure

計(jì)算結(jié)果為：結(jié)構(gòu)位移非平穩(wěn)響應(yīng)方差如圖4～圖6所示；結(jié)構(gòu)速度非平穩(wěn)響應(yīng)方差如圖7～圖9所示；阻尼器受力的非平穩(wěn)響應(yīng)方差如圖10和圖11所示。

從以上計(jì)算結(jié)果可以看出：

(1)系統(tǒng)在階躍型白噪聲(也即突加平穩(wěn)白噪聲)激勵(lì)下，在瞬態(tài)過(guò)程消失后，系統(tǒng)的隨機(jī)均方響應(yīng)趨于平穩(wěn)值。

(2)系統(tǒng)在分段連續(xù)型白噪聲激勵(lì)下，系統(tǒng)的隨機(jī)均方響應(yīng)隨強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)而變化，均方響應(yīng)曲線的平坦部分對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)在平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)均方值。

(3)在Shinozuka-Sato型調(diào)幅濾過(guò)白噪聲激勵(lì)下，系統(tǒng)的隨機(jī)均方響應(yīng)與調(diào)幅函數(shù)曲線相似，呈單峰形狀。

(4)在阻尼器兩分支Maxwell單元的松弛性能參數(shù)不變的情況下，同步增加兩分支Maxwell單元的剛度和阻尼系數(shù)，也即工況Ⅰ～工況Ⅳ，系統(tǒng)的位移和速度均方響應(yīng)減少，而系統(tǒng)的阻尼器受力均方響應(yīng)增大，說(shuō)明增加同類型的阻尼器，可進(jìn)一步減少結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

圖4 階躍型白噪聲激勵(lì)下位移響應(yīng)方差

Fig.4 Response variance of displacement under Step-white noise excitation

圖5 分段連續(xù)型白噪聲激勵(lì)下位移響應(yīng)方差

Fig.5 Response variance of displacement under Piecewise continuous white noise excitation

圖6 Shinozuka-Sato型調(diào)幅濾過(guò)白噪聲激勵(lì)下位移響應(yīng)方差

Fig.6 Response variance of displacement under amplitude modulation filtered white noise excitation with Shinozuka-Sato type

圖7 階躍型白噪聲激勵(lì)下速度響應(yīng)方差

Fig.7 Response variance of velocity under Step-white noise excitation

圖8 分段連續(xù)型白噪聲激勵(lì)下速度響應(yīng)方差

Fig.8 Response variance of velocity under Piecewise continuous white noise excitation

圖9 Shinozuka-Sato型調(diào)幅濾過(guò)白噪聲激勵(lì)下速度響應(yīng)方差

Fig.9 Response variance of velocity under amplitude modulation filtered white noise excitation with Shinozuka-Sato type

圖10 階躍型白噪聲激勵(lì)下阻尼器響應(yīng)方差Fig.10 Response variance of damper under Step-white noise excitation

圖11 分段連續(xù)型白噪聲激勵(lì)下阻尼器響應(yīng)方差Fig.11 Response variance of damper under Piecewise continuous white noise excitation

5 結(jié) 論

對(duì)單自由度廣義Maxwell和多自由度Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)解析分析問(wèn)題的系統(tǒng)研究，可得出如下結(jié)果：

(1)單自由度和多自由度Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)在原始空間和擴(kuò)階空間上的特征值完全相同，且擴(kuò)階空間上的特征向量可用原始空間上的特征向量完全表出。

(2)耗能結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力的響應(yīng)計(jì)算公式可通過(guò)原始空間上的特征值和特征向量解析表出。

(3)耗能結(jié)構(gòu)在7中經(jīng)典均勻調(diào)制白噪聲和2種經(jīng)典均勻調(diào)制濾過(guò)白噪聲地震激勵(lì)下的位移、速度和阻尼器受力的均方響應(yīng)解析解也可通過(guò)結(jié)構(gòu)原始空間上的特征值和特征向量解析表示。

利用上述結(jié)果，可使Maxwell耗能結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析與計(jì)算轉(zhuǎn)化為耗能結(jié)構(gòu)在原始空間的特征值與特征向量的分析與計(jì)算，從而使分析與計(jì)算得到簡(jiǎn)化，結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，特別是阻尼器的受力特性得到更好地理解和把握。

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Response analysis of energy dissipation structures with Maxwell dampers under non-stationary seismic excitation

LI Chuangdi1, LI Tun1, WEI Xiaoteng2, GE Xinguang1, ZOU Wanjie1

(1. Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China；2. Department of Civil Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Non-stationary random seismic responses of a SDOF structure with generaliged Maxwell dampers and a MDOF structure with Maxwell dampers were studied systematically. The closed-form exact relationships among eigenvalues and eigenvectors of both systems in a structural extended state space and an original space were established, the exact solutions to displacement and velocity of energy dissipation structures and force of dampers were expressed using the system’s eigenvalues and eigenvectors in structural original space. Then, under seven kinds of classical amplitude uniformly modulated white noise seismic excitations and two kinds of classical amplitude uniformly modulated filtered white noise seismic excitations, the exact non-stationary mean-square response solutions to displacement and velocity and damper force of energy dissipation structures were obtained, respectively they were also expressed with eigenvalues and eigenvectors of the system in structural original space, so the analytical methods of exact non-stationary seismic response solutions for and samper force dissipation structures with Maxwell dampers based on analysis of eigenvalues and eigenvectors in their structural original space were established.

Maxwell dampers; energy dissipation structures; forced response of dampers; non-stationary random process; analytical solutions

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51468005;51368008)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃

2015-03-19 修改稿收到日期：2015-09-23

李創(chuàng)第 男，博士，教授，1964年生

TU313.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.029