考慮溫度效應(yīng)的圓形均布載荷下瀝青混凝土場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)分析

張震東， 馬大為， 楊 云， 何 強(qiáng)

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094； 2.黃河科技學(xué)院 交通學(xué)院，鄭州 450000)

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考慮溫度效應(yīng)的圓形均布載荷下瀝青混凝土場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)分析

張震東1， 馬大為1， 楊 云2， 何 強(qiáng)1

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094； 2.黃河科技學(xué)院 交通學(xué)院，鄭州 450000)

對(duì)黏彈性材料的積分型本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行Laplace積分變換，推導(dǎo)出采用廣義Maxwell模型描述的黏彈性算子，并引入“時(shí)溫等效”原理來(lái)反映溫度對(duì)瀝青混凝土力學(xué)性能的影響。將直角坐標(biāo)系下黏彈性問(wèn)題的動(dòng)力平衡方程、幾何方程以及物理方程進(jìn)行Laplace變換和二維Fourier變換，建立了多層黏彈性體系的傳遞關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)已知邊界條件給出了場(chǎng)坪表面垂向位移的求解方法，并利用Matlab軟件編寫(xiě)計(jì)算程序。以三層瀝青混凝土場(chǎng)坪為例，分析了考慮溫度效應(yīng)的圓形均布動(dòng)載荷下場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)。結(jié)果表明，溫度越高，場(chǎng)坪下沉量越大，局部彎沉現(xiàn)象越明顯，殘余變形也愈大。

溫度效應(yīng)；黏彈性；瀝青混凝土場(chǎng)坪；傳遞矩陣；動(dòng)力響應(yīng)

瀝青路面的一種重要軍事用途，就是作為導(dǎo)彈發(fā)射車(chē)輛的發(fā)射場(chǎng)坪，發(fā)射裝備主要通過(guò)圓形剛性支撐盤(pán)將載荷傳遞至發(fā)射場(chǎng)坪表面，表面的下沉又會(huì)影響發(fā)射裝備的動(dòng)力響應(yīng)，最終影響到導(dǎo)彈的出筒姿態(tài)，因此，研究瀝青場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)具有重要的工程意義。

瀝青混凝土場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題已經(jīng)進(jìn)行了較多研究，研究方法主要有彈性/黏彈性層狀理論，地基上的板梁理論以及有限元方法。由于彈性/黏彈性層狀理論是根據(jù)路面的實(shí)際結(jié)構(gòu)建立起來(lái)的，而且一般情況下可得到理論解，因此在道路工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。傳遞矩陣法求解彈性/黏彈性層狀體系問(wèn)題時(shí)，具有概念清晰、便于工程應(yīng)用的特點(diǎn)，任瑞波等[1-2]利用傳遞矩陣方法，分析了多層黏彈性半空間體在動(dòng)載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)；上述研究由于在柱坐標(biāo)系下采用Hankel積分變換求解狀態(tài)方程，解決軸對(duì)稱問(wèn)題時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯。為了使傳遞矩陣方法能夠得到更廣泛的應(yīng)用，王有凱等[3-4]發(fā)展了直角坐標(biāo)系下層狀彈性體系的傳遞矩陣技術(shù)，不足之處在于只解決了靜力學(xué)問(wèn)題。湯連生[5]在彈性層狀體系理論基礎(chǔ)上，采用傳遞矩陣方法，結(jié)合黏彈性運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)了交通荷載下三維黏彈性層狀道路系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)解答，但沒(méi)有很好的描述瀝青混合料的黏彈特性。董忠紅等[6-7]將瀝青路面視為層狀體系結(jié)構(gòu)，采用Burgers模型表征面層的黏彈性行為，建立了移動(dòng)荷載下路面的動(dòng)力響應(yīng)模型。

眾所周知，溫度對(duì)黏彈性材料的力學(xué)性能有很大影響，而上述文獻(xiàn)均忽略了溫度效應(yīng)，雖然艾智勇在文獻(xiàn)[8]中引入溫度場(chǎng)，得到了穩(wěn)定溫度場(chǎng)下層狀路面體系平面問(wèn)題的解析層元解，但仍然沒(méi)有考慮瀝青混合料的熱敏感性。

在地基上的板梁理論方面：劉小云等[9-10]將瀝青路面簡(jiǎn)化為非線性黏彈性地基上的黏彈性無(wú)限長(zhǎng)梁，分析了車(chē)輛荷載下路面的動(dòng)力響應(yīng)。盧正等[11-12]將路面視為黏彈性地基上多層Kirchhoff薄板，解決了考慮車(chē)-路耦合的路面動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，然而無(wú)論是梁模型，還是板模型都存在一些假設(shè)，計(jì)算精度不高。相比之下有限元法比較精確，在道路工程中應(yīng)用較多，趙延慶[13]建立了典型瀝青路面的三維動(dòng)態(tài)有限元模型，闡述了溫度、阻尼等因素對(duì)路表彎沉的影響規(guī)律。張麗娟[14]同樣基于有限元方法，采用廣義Maxwell模型描述黏彈性材料的變形模式，計(jì)算蠕變應(yīng)變和彈性應(yīng)變，分析了瀝青混合料的彈性恢復(fù)能力。周曉和[15]采用有限元方法分析了某導(dǎo)彈無(wú)依托發(fā)射場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)。文獻(xiàn)[13-15]主要利用ABAQUS、ANSYS等成熟的有限元軟件進(jìn)行響應(yīng)分析，雖然結(jié)果比較直觀，但偏重于利用有限元軟件自身的本構(gòu)模型進(jìn)行多工況計(jì)算，總結(jié)分析場(chǎng)坪動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，對(duì)機(jī)理研究相對(duì)較少。

針對(duì)現(xiàn)有研究存在的不足，本文采用廣義Maxwell黏彈性模型，結(jié)合“時(shí)溫等效”原理考慮了溫度對(duì)瀝青混合料力學(xué)性能的影響，采用傳遞矩陣方法求解直角坐標(biāo)系下的多層黏彈性半空間問(wèn)題，進(jìn)一步完善了瀝青場(chǎng)坪動(dòng)力響應(yīng)的研究工作。

1 黏彈性模型

1.1 黏彈性算子

黏彈性材料的積分型本構(gòu)方程為：

(1)

式中:σ(T,t)為應(yīng)力；T為溫度；t為時(shí)間；K(T,t)為松弛模量；ε(T,t)為應(yīng)變。

采用卷積形式表示，式(1)可寫(xiě)成：

σ(T,t)=K(T,t)*dε(T,t)

(2)

式中:*為卷積運(yùn)算符號(hào)。

定義如下形式的Laplace變換對(duì)：

(3)

式中:s為復(fù)變量。

對(duì)式(2)進(jìn)行Laplace變換，并利用斯蒂爾吉斯卷積的性質(zhì)，上式可表示為：

(4)

由式(4)可得Laplace變換后的黏彈性算子：

(5)

1.2 廣義Maxwell模型及“時(shí)溫”等效原理

由M個(gè)Maxwell體并聯(lián)組成的廣義模型，可以解釋復(fù)雜的應(yīng)力松弛現(xiàn)象[14]，其松弛模量為：

(6)

Km(T)為第m個(gè)Maxwell單元的彈性模量，τm=ηm/Km為松弛時(shí)間，ηm(T)為第m個(gè)Maxwell單元的黏性常數(shù)。

根據(jù)“時(shí)溫等效”原理，某一溫度條件下的應(yīng)力松弛過(guò)程，可以用不同溫度條件下的模量-時(shí)間曲線擬合而得?！皶r(shí)溫等效”原理可表示為：

K(T,t)=K(T0,t/αT)

(7)

式中:T0為參考溫度，αT為位移因子。

本文采用Arrhenius公式確定位移因子αT[16]：

αT=exp[δH(1/T-1/T0)/R]

(8)

式中:δH為材料活化能，R為摩爾氣體常數(shù)。

(9)

2 多層體系的傳遞關(guān)系

本文在直角坐標(biāo)系中對(duì)多層黏彈性體的軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行分析，假設(shè)x,y方向場(chǎng)坪尺寸足夠大，如圖2所示。

圖1 多層黏彈性體系Fig.1 Multilayered viscoelastic body

2.1 黏彈性問(wèn)題的基本方程

不計(jì)體力時(shí)，直角坐標(biāo)系下黏彈性問(wèn)題的基本方程包括動(dòng)力平衡方程、幾何方程及物理方程，分別對(duì)上述三個(gè)方程進(jìn)行Laplace變換，可得到：

① 動(dòng)力平衡方程

(10)

② 幾何方程

(11)

③ 物理方程

(12)

2.2 單層體系的傳遞關(guān)系

定義如下變量：

(13)

由式(10)～(13)整理得到：

(14)

定義二維Fourier變換對(duì)，如下：

(15)

式中:ξ，ζ為復(fù)變量。

對(duì)式(14)進(jìn)行二維Fourier變換，得到：

將式(16)寫(xiě)成矩陣形式：

(17)

式中:

式(17)給出了單層狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系。

2.3 多層體系傳遞矩陣求解

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，式(17)解的形式為：

(18)

式中：eAnz為指數(shù)傳遞矩陣，上式給出了z= 0處經(jīng)拉氏變換以及二維傅氏變換的位移和應(yīng)力邊界向量與任意深度z處向量之間的關(guān)系。

eAnz可用下式求出：

Tn=eAnz=L-1{[pI-An]-1}

(19)

式中:p為對(duì)z進(jìn)行Laplace變換后的復(fù)變量，由式(19)可求得場(chǎng)坪各層的傳遞矩陣Tn。

Tn24=

假設(shè)層間狀態(tài)完全連續(xù)，通過(guò)逐層傳遞，可得到多層黏彈性體系的傳遞關(guān)系：

(20)

式中:hn為第n層的厚度。

3 場(chǎng)坪表面下沉量求解

場(chǎng)坪表面的圓形均布動(dòng)載荷可表示為：

F(x,y,t)=f(t)×H[r2-(x2+y2)]

(22)

式中:f(t)為載荷平均集度，本文取載荷平均集度變化規(guī)律為f(t)=0.7×sinπt，單位為MPa.s；r為載荷圓形分布區(qū)域半徑；H(x,y)為Heaviside階躍函數(shù)。

由邊界條件，以及式(21)可得到：

對(duì)上式進(jìn)行Laplace逆變換后再進(jìn)行二維Fourier逆變換就可求出場(chǎng)坪表面的垂向位移。

4 算例及結(jié)果分析

本文視基層與土基為彈性體，以3層瀝青混凝土場(chǎng)坪為例(如圖2)分析溫度對(duì)路表彎沉的影響，參數(shù)取值見(jiàn)表1。參考文獻(xiàn)[16]，黏彈性模型參數(shù)取值如表2。

圖2 三層瀝青混凝土場(chǎng)坪Fig.2 Three layered asphalt launching site viscoelastic body

參數(shù)符號(hào)參數(shù)名稱取值ρ1ρ2ρ3面層、基層、土基密度/(kg·m-3) 200020001900h1h2h3面層、基層、土基厚度/m0.18 0.35∞E2E3基層、土基彈性模量/MPa910 100μ1μ2μ3面層、基層、土基泊松比0.40.25 0.25r載荷作用面半徑/m0.1065T0參考溫度/K268

表2 Maxwell模型參數(shù)

本文取載荷作用時(shí)間為1 s，載荷完全卸載后觀測(cè)場(chǎng)坪表面的彈性恢復(fù)情況。采用DURBIN F方法[17]進(jìn)行Laplace逆變換，參考10節(jié)點(diǎn)的復(fù)合二維Guass積分方法[4]處理Fourier逆變換，在MATLAB軟件中編寫(xiě)計(jì)算程序，可得到時(shí)域下直角坐標(biāo)系中場(chǎng)坪表面的下沉量。

圖3給出了不同溫度時(shí)，載荷作用面中心處的下沉量變化曲線。通過(guò)這組曲線可以看出，當(dāng)面層溫度從0℃升高至60℃時(shí)，瀝青混合料黏性越明顯，路面面層剛度下降，引起場(chǎng)坪表面下沉量逐漸增大。另外，面層溫度為0℃時(shí)，載荷卸載后路表彎沉能夠馬上恢復(fù)，說(shuō)明溫度較低時(shí)瀝青混合料的黏彈特性可忽略。

圖3 不同溫度時(shí)，載荷作用面中心O處的下沉量變化Fig.3 Launching site settlement of circle center O at different temperature

黏彈性材料的總應(yīng)變由彈性應(yīng)變以及蠕變應(yīng)變(非彈性應(yīng)變)組成，彈性應(yīng)變?cè)谳d荷卸載后可以完全恢復(fù)，蠕變應(yīng)變只能部分恢復(fù)，造成場(chǎng)坪永久變形。對(duì)比面層溫度為20℃、40℃、60℃時(shí)場(chǎng)坪的響應(yīng)情況，由于溫度越高，蠕變應(yīng)變?cè)诳倯?yīng)變中的比例越大，因此載荷卸載后，彈性恢復(fù)過(guò)程越緩慢，場(chǎng)坪的殘余彎沉越大。

圖4～圖7分別給出了面層溫度為0℃、20℃、40℃、60℃時(shí)不同觀測(cè)點(diǎn)處場(chǎng)坪表面下沉量的變換情況。從中可知：① 距載荷作用面越遠(yuǎn)的觀測(cè)點(diǎn)，垂向位移越小，載荷卸載后的殘余變形亦越小。② 比較不同溫度下各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)下沉量最大差值可以看出，溫度越高，場(chǎng)坪表面的局部彎沉現(xiàn)象越明顯。

圖4 面層溫度為0℃度時(shí)，場(chǎng)坪表面不同觀測(cè)點(diǎn)的下沉量變化Fig.4 Launching site settlement of different points at surface course temperature 0℃

圖5 面層溫度為20℃度時(shí)，路表不同觀測(cè)點(diǎn)的下沉量變化Fig.5 Launching site settlement of different points at surface course temperature 20℃

圖6 面層溫度為40℃度時(shí)，場(chǎng)坪表面不同觀測(cè)點(diǎn)的下沉量變化Fig.6 Launching site settlement of different points at surface course temperature 40℃

圖7 面層溫度為60℃度時(shí)，場(chǎng)坪表面不同觀測(cè)點(diǎn)的下沉量變化Fig.7 Launching site settlement of different points at surface course temperature 60℃

5 結(jié) 論

將“時(shí)溫等效”原理與廣義Maxwell黏彈性模型結(jié)合以反映溫度對(duì)材料力學(xué)性能的影響，根據(jù)直角坐標(biāo)系下黏彈性問(wèn)題的基本方程，通過(guò)Laplace變換和二維Fourier變換，建立了多層黏彈性體系的傳遞關(guān)系，研究了考慮溫度效應(yīng)的圓形均布動(dòng)載荷下場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)分析可得出以下結(jié)論：

(1) 溫度越高，場(chǎng)坪表面的下沉量越大，局部彎沉現(xiàn)象越明顯，載荷卸載后殘余彎沉也越大。

(2) 溫度較低時(shí)，瀝青混凝土的黏彈性特性可以忽略，可視場(chǎng)坪面層為線彈性體。

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Dynamic response of an asphalt launching site under circular distributed load considering temperature effect

ZHANG Zhendong1, MA Dawei1, YANG Yun2, HE Qiang1

(1. College of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China;2. College of Transportation, Huanghe College of Science and Technology, Zhengzhou 450000, China)

By transforming viscoelastic materials’ integral type constitutive equation with Laplace Transformation, the viscoelastic operator described with Maxwell model was deduced. Then time-temperature equivalent principle was introduced to reflect the influence of temperature on mechanical property of asphalt concrete. By means of Laplace transformation and Fourier transformation for dynamic equilibrium equations, geometric equations and physical equations of visco-elastic problems in a rectangular coordinate system, the transfer matrix of axisymmetrical problems in a multi-layered viscoelastic half space was derived. Based on the transferring relation and known boundary conditions, the solution to surface vertical displacements of an asphalt launching site was derived and the computing program was complied by using MATLAB software. Taking a three-layer launching site as an example, its dynamic response under circular distributed load was analyzed. Results indicated that the settlement and residual deflection increase gradually with increase in temperature; the higher the temperature, the more obvious the local deflection phenomenon.

temperature effect; viscoelasticity; asphalt launching site; transfer matrix; dynamic response

裝備預(yù)先研究項(xiàng)目(51328020106)

2015-07-10 修改稿收到日期：2015-11-02

張震東 男，博士生，1988年生

馬大為 男，教授,博士生導(dǎo)師，1953年生

TJ768.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.015