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    講清兩個(gè)側(cè)面引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀

    2016-11-22 10:14楊桂春
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)知識(shí)

    楊桂春

    【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)既是演繹的又是實(shí)驗(yàn)歸納的,但人們往往只看到其演繹的一面而忽略了其實(shí)驗(yàn)歸納的過程,這不利于學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì).本文從合情推理的意義與價(jià)值、數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序、數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩個(gè)動(dòng)力、數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性等角度,分析比較數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面及其關(guān)系,對(duì)引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀做了一些嘗試.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí);兩個(gè)側(cè)面;數(shù)學(xué)觀

    一、一個(gè)有趣的例子

    1777年,法國數(shù)學(xué)家蒲豐(Comtede Buffon )提出了一個(gè)有趣的求π值的實(shí)驗(yàn)方法:在平面上畫兩條距離為a的平行線,將一根長度為l(l

    我們知道圓周率π是圓周長與直徑的比值,是一個(gè)有確定值的精確概念,卻可用與圓周毫不相干的投針實(shí)驗(yàn)來近似地得出,真是不可思議.其實(shí)這個(gè)結(jié)論反映了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系,這里不去研究.問題是:數(shù)學(xué)作為一門邏輯性的演繹學(xué)科,實(shí)驗(yàn)歸納扮演什么樣的角色呢?進(jìn)而引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)觀的疑問:數(shù)學(xué)是演繹的,還是實(shí)驗(yàn)歸納的?抑或兩者兼而有之?數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力是什么?數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)是什么?

    二、數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)的本質(zhì)

    數(shù)學(xué)觀是人們對(duì)數(shù)學(xué)的總體看法,也就是人們對(duì)什么是數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí),從認(rèn)識(shí)論的角度來說,每個(gè)人都有自己的數(shù)學(xué)觀,大多數(shù)人趨于共識(shí)的認(rèn)識(shí)構(gòu)成了主流的數(shù)學(xué)觀.數(shù)學(xué)的本質(zhì)究竟是什么?

    關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)究竟是什么,主要有以下幾種觀點(diǎn):

    恩格斯說:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).

    著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為:數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí).

    數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為:數(shù)學(xué)是人為規(guī)定的一套語言、符號(hào)系統(tǒng).

    數(shù)學(xué)哲學(xué)家認(rèn)為:數(shù)學(xué)是確定無疑的絕對(duì)真理.也有人認(rèn)為正好相反:數(shù)學(xué)是可誤的且可糾正的等等.

    數(shù)學(xué)觀決定著人們對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度和解決數(shù)學(xué)問題的方法.20世紀(jì)初,數(shù)學(xué)家在如何解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)問題上由于各自不同的數(shù)學(xué)觀(羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯,馮·諾伊曼認(rèn)為數(shù)學(xué)是符號(hào)游戲,布勞威認(rèn)為數(shù)學(xué)是心智的構(gòu)造)便產(chǎn)生了三種解決方案,并由此發(fā)展出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派:邏輯派、形式派、直覺派.

    三、數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面

    波利亞指出數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué),即數(shù)學(xué)具有二重性.“一方面,以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué),好像是僅含證明的純論證性的材料,它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué),是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);另一方面,從形成過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性歸納科學(xué).”由于數(shù)學(xué)教科書記載的是定型的數(shù)學(xué)知識(shí),因此,數(shù)學(xué)展現(xiàn)給人們都是第一個(gè)側(cè)面,很少反映第二個(gè)側(cè)面,從而在學(xué)生思想中形成數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[學(xué)科的深刻印象,掩蓋了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與歸納的面目,從而形成片面的數(shù)學(xué)觀.這種片面的數(shù)學(xué)觀將妨礙學(xué)生正確理解和運(yùn)用數(shù)學(xué),也影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

    四、教師的責(zé)任

    數(shù)學(xué)教育工作者自身的數(shù)學(xué)觀對(duì)教學(xué)方式及學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成的影響是很大的.

    如果把數(shù)學(xué)看成是絕對(duì)的真理、看成靜態(tài)知識(shí)的堆砌,那么數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是教師把這些知識(shí)原樣地傳授給學(xué)生,學(xué)生只需模仿和記憶,教學(xué)評(píng)價(jià)則以學(xué)生掌握知識(shí)量作為評(píng)價(jià)指標(biāo).

    如果認(rèn)為數(shù)學(xué)真理不是絕對(duì)的,把數(shù)學(xué)看成問題、語言、命題、理論和觀念組成的復(fù)合體,是動(dòng)態(tài)的認(rèn)識(shí)發(fā)展系統(tǒng),那么數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)和創(chuàng)造能力,提升人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)人的發(fā)展.

    既然存在著不同的數(shù)學(xué)觀,作為數(shù)學(xué)教育工作者,必須選擇正確的數(shù)學(xué)觀并把它融入數(shù)學(xué)教育工作中去,數(shù)學(xué)教育的任務(wù)應(yīng)該是既把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生又培養(yǎng)其創(chuàng)新精神,同時(shí)又使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

    講清數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面,引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀,是廣大數(shù)學(xué)教育工作者的責(zé)任,也是值得深入探討的一個(gè)問題.

    筆者認(rèn)為,在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),使學(xué)生了解以下幾點(diǎn),對(duì)形成正確的數(shù)學(xué)觀是有益的.

    (一)合情推理的意義與價(jià)值

    科學(xué)思維具有兩重性:一類是進(jìn)行論證推理的邏輯思維;另一類則是形象思維.形象思維最直接的層面是合情推理.邏輯思維是在 “抓到真理”后進(jìn)行完善和 “補(bǔ)充證明”的思維,而合情推理則是 “發(fā)現(xiàn)真理”的思維.

    合情推理是波利亞的“啟發(fā)法” 中的一個(gè)推理模式,它是指觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、矯正與調(diào)控等方法,是波利亞多年深入研究數(shù)學(xué)問題解決過程得出的理論成果.波利亞認(rèn)為,可以機(jī)械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的;在問題解決過程中,人們總是針對(duì)具體情況,不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問句、提示,以啟動(dòng)與推進(jìn)思維的小船.

    他明確提出有兩種推理:論證推理可用來確定數(shù)學(xué)知識(shí),合情推理可用來為猜想提供依據(jù),即波利亞給我們指出數(shù)學(xué)思維不是純“形式”的,它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴(yán)格的證明,而且有許許多多其他方面:推廣、歸納、類推以及從具體情況中辨認(rèn)出或者說抽取出某個(gè)數(shù)學(xué)概念等等,數(shù)學(xué)教師應(yīng)使學(xué)生了解這些十分重要的 “非形式”思維過程.在日常生活中,合情推理幾乎無處不在,比如:“它可能是……” (猜測(cè)),“做出來看一看” (實(shí)驗(yàn)),“由上所述可得……” (歸納),“將人心比自心”(類比),“可以想象” (聯(lián)想),“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)” (檢測(cè))等.

    合情推理是產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想的主要源泉,受惠于合情推理,數(shù)學(xué)猜想不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步.從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看,每一個(gè)重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),除演繹推理外還要大量地依賴于合情推理,許多數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想,包括著名各界難題的解決,往往是在對(duì)數(shù)式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法的,而后再進(jìn)行邏輯驗(yàn)證,同時(shí)隨著問題的解決,使數(shù)學(xué)方法得到提煉或數(shù)學(xué)研究范圍得到擴(kuò)展,使數(shù)學(xué)發(fā)展前進(jìn)一步.

    合情推理是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維,我們的數(shù)學(xué)教學(xué),歷來強(qiáng)調(diào)邏輯思維,而對(duì)合情推理有所忽視,“既教證明,又教猜想”,結(jié)合情推理能力的教學(xué)以適當(dāng)?shù)牡匚?,是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要,是全面提升學(xué)生優(yōu)秀文化素質(zhì)的需要,是全面開發(fā)大腦潛力的需要.忽視了合情推理能力的培養(yǎng),勢(shì)必使學(xué)生的推理意識(shí)和能力形成缺陷,對(duì)今后的發(fā)展造成不可估量的損失.

    合情推理是培養(yǎng)探索能力的基本手段,是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的重要武器,是“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的重要途徑,無論是對(duì)于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展,還是對(duì)于學(xué)生自身的發(fā)展,合情推理都具有非常重要的意義,因此,我們應(yīng)該格外重視合情推理能力的培養(yǎng).

    (二)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序

    數(shù)學(xué)教材是根據(jù)教學(xué)需要,按照知識(shí)的邏輯程序編排的.一般說來,知識(shí)產(chǎn)生的歷史程序與教材反映的邏輯程序并不完全一致且不為學(xué)生所知,如初等代數(shù)教材中都是先研究指數(shù)函數(shù)再用指數(shù)來定義和研究對(duì)數(shù)函數(shù),這在邏輯上是和諧的.而歷史上,指數(shù)與對(duì)數(shù)是毫不相干的數(shù)學(xué)概念先后形成的,而且是對(duì)數(shù)在前,指數(shù)在后,是歐拉發(fā)現(xiàn)了兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而有了現(xiàn)在的邏輯程序.這種邏輯程序?qū)斫夂脱芯恐笖?shù)與對(duì)數(shù)的知識(shí)是頗有益處的,繞過了前人所走的一切彎路.

    按邏輯程序編寫的教學(xué)內(nèi)容,由于不能正確、客觀地反映數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程而掩蓋了數(shù)學(xué)形成過程中歸納與實(shí)驗(yàn)的一面,造成數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥無味的消極影響.為了消除這種消極影響,教師在教學(xué)時(shí)要講清數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的淵源及形成的過程,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序及相互之間的差異,了解人為造成這種差異的動(dòng)機(jī)與效果.這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,形成正確的數(shù)學(xué)觀是有益的.

    (三)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩個(gè)動(dòng)力

    數(shù)學(xué)的發(fā)展主要受兩個(gè)因素的驅(qū)使,一個(gè)是使數(shù)學(xué)知識(shí)趨于完善的內(nèi)在需求.為了解決數(shù)學(xué)自身的問題,彌補(bǔ)原有知識(shí)的缺陷,人們做出一些新的規(guī)定,從而演繹出新的數(shù)學(xué)知識(shí).如為了使“開平方”運(yùn)算得以有意義的實(shí)施,人們引進(jìn)了虛數(shù)單位i,規(guī)定i2=-1,并規(guī)定形如a+bi (a,b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫復(fù)數(shù),并規(guī)定了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,從而演繹出復(fù)數(shù)的理論體系.在這個(gè)過程中邏輯起了主導(dǎo)作用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯與演繹的一面,往往是先從理論上完善后考慮應(yīng)用.

    另一個(gè)是解決實(shí)際問題的需求也刺激了數(shù)學(xué)的發(fā)展.為了解決實(shí)際問題,人們不斷嘗試和選擇著新的方法,在這過程中實(shí)驗(yàn)與歸納起了主導(dǎo)作用.這時(shí)的數(shù)學(xué)方法是零零星星的,從理論上來講是不完善的,如微積分在應(yīng)用了相當(dāng)長時(shí)間時(shí),理論基礎(chǔ)尚未完全建立起來.在嘗試過程中,有許多失敗的教訓(xùn),最終失敗的記錄隨著時(shí)間的推移而被淡化了,而有益的嘗試經(jīng)過邏輯加工而成型了,以演繹的形式傳了下來,展現(xiàn)于世人面前.其實(shí)邏輯演繹與實(shí)驗(yàn)歸納對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展都是極其重要的,沒有邏輯數(shù)學(xué)無法嚴(yán)密,沒有實(shí)驗(yàn)歸納數(shù)學(xué)就難創(chuàng)新,往往是先應(yīng)用后理論完善.

    (四)數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性

    為了更好地研究、傳播及應(yīng)用,數(shù)學(xué)中必須做出一些規(guī)定用以規(guī)范和界定不同的數(shù)學(xué)對(duì)象,這與社會(huì)中制定(規(guī)定)法律來規(guī)范人們的言行是類似的.

    規(guī)定是人為的,人們總是試圖用少量的規(guī)定來達(dá)到所需的目的,對(duì)數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性的研究體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)歸納與演繹推理的兩個(gè)側(cè)面.因此,正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的規(guī)定也是形成正確的數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要因素,教學(xué)時(shí)必須講清規(guī)定的必要性與合理性.數(shù)學(xué)中的所有定義都是規(guī)定的.定義一般都是從一些客觀對(duì)象中抽象出來的,抽象的過程是一個(gè)歸納的過程.如“規(guī)定了方向、原點(diǎn)和長度單位的直線叫數(shù)軸”就是從人們?cè)缫咽熘某訔U、溫度計(jì)及船閘上的標(biāo)尺等中抽象出來的.在教學(xué)過程中必須講清定義的實(shí)際來源.同時(shí),還要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容深入淺出地講清各種定義的合理性,使學(xué)生感到自然、切實(shí).如為了使am÷an及Cmn=n!m!(n-m)!在m=n時(shí)有意義,必須對(duì)a0(a≠0)與0!做出規(guī)定,規(guī)定可以任意做出,如規(guī)定a0=3,0!=8等,但考慮到其合理性及數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧性,人們選擇了a0=1(a≠0),0!=1,這就反映了數(shù)學(xué)演繹的面目.數(shù)學(xué)中的符號(hào)都是人工制訂、約定俗成的,也可說是前人規(guī)定的.符號(hào)的形式及意義不是一旦確定就一成不變的.講清各種數(shù)學(xué)符號(hào)的起源及演變過程也有助于學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).如,開平方符號(hào)“”的演變過程,最初用·a+b 表示a+b的平方根,后來又用 a+b表示,但因都無法區(qū)別a+b與a+b而被廢棄了.了解演變過程同時(shí)也有助于正確使用數(shù)學(xué)符號(hào).

    學(xué)生怎樣認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)受許多因素的影響,如何引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀也非一篇文章能講清,這里談一點(diǎn)個(gè)人的體會(huì)與做法,求教于大家.

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